國立臺南第一高級中學 111 學年度第 2 次教師甄選
第一部分︰填充題
解答:cos4θ=2cos2(2θ)−1=13⇒cos2(2θ)=23⇒cos(2θ)=√63⇒2cos2θ−1=√63⇒cos2θ=√6+36⇒sin2θ=1−√6+36=3−√66⇒sin6θ+cos6θ=(3−√66)3+(3+√66)3=34解答:沒中獎或中獎1次的機率為(23)5+C5113⋅(23)4=32243+80243=112243⇒正確判定=中獎超過1次=1−112243=131243
解答:min{B}B#{B}A#{A}數量6{6}1{1−5}的非空子集25−1=3131×1=315{5},{5,6}2{1−4}的非空子集24−1=1515×2=304{4}∪({5,6}的子集22=4{1−3}的非空子集23−1=77×4=283{3}∪({4,5,6}的子集23=8{1−2}的非空子集22−1=33×8=242{2}∪({3−6}的子集24=16{1}11×16=16⇒共有31+30+28+24+16=129種情形
解答:
假設{O為原點¯OB=a,則{B(a,0)P(a,1);作¯MP∥¯OB及¯AQ⊥¯MP,其中{M∈¯OAQ∈¯OBN=¯AQ∩¯MP,見上圖;因此{¯AN=2sin30∘=1¯NP=2cos30∘=√3⇒¯AQ=2⇒¯OQ=2/tan60∘=2/√3⇒a=¯OB=2/√3+√3=53√3⇒{A(2√33,2)B(53√3,0)P(53√3,1)⇒(53√3,1)=α(23√2,2)+β(53√3,0)⇒{2α+5β=52α=1⇒{α=1/2β=4/5⇒(α,β)=(1/2,4/5)
解答:abcd=100的倍數⇒(a,b,c,d)=(5,5,c,d),cd=4的倍數abcd排列數55144!/2=12552265524125526125534125544655454!/3!=455461255666⇒共有12×5+6×3+4=82⇒機率=8264=41648
解答:
解答:
∠BAC=120∘⇒∠BOC=120∘⇒cos∠BOC=−12=12+12−¯BC22⋅1⋅1⇒¯BC=√3令{¯AB=b¯AC=c,則cos∠BAC=−12=b2+c2−32bc⇒b2+bc+c2−3=0利用 lagrange 算子求極值: 令{f(b,c)=2b+3cg(b,c)=b2+bc+c2−3,{f=λgg=0⇒{fb=λgbfc=λgcg=0⇒{2=λ(2b+c)⋯(1)3=λ(b+2c)⋯(2)b2+bc+c2−3=0⋯(3)(1)(2)⇒23=2b+cb+2c⇒c=4b代入(3)⇒b=1√7⇒c=4√7⇒2b+3c=14√7=2√7
解答:x3+dx2+ex+1=0的三根為{α=(a+b√2i)/3β=(a−b√2i)/3c⇒αβc=−1⇒c⋅a2+2b29=−1⇒c(a2+2b2)=−9⇒a2+2b2cab9−1±30±1±23−3±1±11−9±10f(x)=x3+dx2+ex+1=(x−α)(x−β)(x−c)⇒d+e=f(1)−2=(1−α)(1−β)(1−c)−2=(1−23a+19(a2+2b2))(1−c)−2=8−2=6為最大值,此時a=−1,b=±1,c=−3;
解答:令{f(x,y)=(x3+1)(y3+1)g(x,y)=x+y−1,因此{f=λgg=0⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{3x2(y3+1)=λ⋯(1)3y2(x3+1)=λ⋯(2)x+y=1⋯(3)由(1)及(2)⇒3x2(y3+1)=3y2(x3+1)⇒x2y2(x−y)−(x2−y2)=0⇒(x−y)(x2y2−1)=0⇒{x=y⋯(4)xy=1⋯(5)xy=−1⋯(6)⇒{(4)∩(3)⇒x=y=1/2(5)∩(3)=∅(6)∩(3)⇒(x,y)=(1±√52,1∓√52)⇒{f(1/2,1/2)=81/64f(1±√52,1∓√52)=4(最大值)⇒x2+y2=(1+√52)2+(1−√52)2=3
解答:f(n)=(√1+√2+⋯+√n)2(13+23+⋯+n3)(3√1+3√2+⋯+3√n)3(12+22+⋯+n2)=(∑nk=1√k)2(∑nk=13√k)3⋅∑nk=1k3∑nk=1k2=(√n∑nk=1√kn)2(3√n∑nk=13√kn)3⋅(n(n+1)2)2n(n+1)(2n+1)6=(∑nk=1√kn)2(∑nk=13√kn)3⋅3n(n+1)2(2n+1)=n2(∑nk=11n√kn)2n3(∑nk=11n3√kn)3⋅3n(n+1)2(2n+1)=(∑nk=11n√kn)2(∑nk=11n3√kn)3⋅3(n+1)2(2n+1)⇒limn→∞f(n)=(∫10√x)2(∫103√x)3⋅limn→∞3(n+1)2(2n+1)=(23)2(34)3⋅34=6481
解答:
解答:令{f(x,y)=(x3+1)(y3+1)g(x,y)=x+y−1,因此{f=λgg=0⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{3x2(y3+1)=λ⋯(1)3y2(x3+1)=λ⋯(2)x+y=1⋯(3)由(1)及(2)⇒3x2(y3+1)=3y2(x3+1)⇒x2y2(x−y)−(x2−y2)=0⇒(x−y)(x2y2−1)=0⇒{x=y⋯(4)xy=1⋯(5)xy=−1⋯(6)⇒{(4)∩(3)⇒x=y=1/2(5)∩(3)=∅(6)∩(3)⇒(x,y)=(1±√52,1∓√52)⇒{f(1/2,1/2)=81/64f(1±√52,1∓√52)=4(最大值)⇒x2+y2=(1+√52)2+(1−√52)2=3
解答:f(n)=(√1+√2+⋯+√n)2(13+23+⋯+n3)(3√1+3√2+⋯+3√n)3(12+22+⋯+n2)=(∑nk=1√k)2(∑nk=13√k)3⋅∑nk=1k3∑nk=1k2=(√n∑nk=1√kn)2(3√n∑nk=13√kn)3⋅(n(n+1)2)2n(n+1)(2n+1)6=(∑nk=1√kn)2(∑nk=13√kn)3⋅3n(n+1)2(2n+1)=n2(∑nk=11n√kn)2n3(∑nk=11n3√kn)3⋅3n(n+1)2(2n+1)=(∑nk=11n√kn)2(∑nk=11n3√kn)3⋅3(n+1)2(2n+1)⇒limn→∞f(n)=(∫10√x)2(∫103√x)3⋅limn→∞3(n+1)2(2n+1)=(23)2(34)3⋅34=6481
解答:
f(x)=(x+1)(x−1)(2x+a(a+3))⇒f(x)=0的三根為−1,1,及−a(a+3)/2又f(x)≥0,∀|x|≤1,因此y=f(x)的圖形為右上左下,第三根−a(a+3)2≥1⇒a2+3a+2≤0⇒−2≤a≤−1
解答:p=(11−12)+(13−14)+⋯+(12021−12022)=(11+13+⋯+12021)−(12+14+⋯+12022)=(11+12+13+⋯+12021+12022)−2(12+14+⋯+12022)=(11+12+13+⋯+12021+12022)−(11+12+⋯+11011)=11012+11013+⋯+12022=(11012+12022)+(11013+12021)+⋯+(11516+11518)+11517=30341012×2022+30341013×2021+⋯+30341516×1518+30342×1517×1517q=11012×2022+11013×2021+⋯+11516×1518+11517×1517+11518×1516+⋯12022×1022=2(11012×2022+11013×2021+⋯+11516×1518+12×1517×1517)⇒pq=30342=1517
解答:
解答:
由{A(6,3)B(2,6)⇒{C(−1,2)D(3,−1)邊長=¯AB=5⇒正方形對角線交點P(5/2,5/2)⇒¯AP=5/√2⇒圖形|x|+|y|<5√2四個頂點A′B′C′D′(上圖藍色區域)與正方形ABCD有相同面積(上圖棕色);現在我們要旋轉A′B′C′D再平移讓A′B′C′D′與ABCD重疊;旋轉的角度就是¯AC與x軸的角度,即θ=tan−11/7⇒{cosθ=7/5√2sinθ=1/5√2⇒{A′(5/√2,0)→A″(7/2,1/2)B′(0,5/√2)→B″(−1/2,7/2⇒↔A″B″:6x+8y=25⇒A″B″C″D″區域|7x+y|+|x−7y|<25;中心點(0,0)平移至P(5/2,5/2)⇒|7(x−5/2)+y−5/2|+|x−5/2−7(y−5/2)|<25⇒|7x+6y−20|+|x−7y+15|=25⇒|725x+125y−2025|+|125x−725y+1525|<1⇒|c1|+|c2|=2025+1525=75
{L1=↔AC:x−3−2=y+12=z+71L2=↔HF:x1=y4=z−3⇒{L1方向向量→u=(−2,2,1)L2方向向量→v=(1,4,−3)⇒→n=→u×→v=(−10,−5,−10)又{P∈L1Q∈L2⇒{P(−2t+3,2t−1,t−7)Q(s,4s,−3s)⇒→PQ=(s+2t−3,4s−2t+1,−3s−t+7)∥→n⇒s+2t−32=4s−2t+11=−3s−t+72⇒{s=1t=2⇒{P(−1,3,−5)Q(1,4,−3)⇒¯PA=6=¯PB=¯PC假設L1與L2的夾角為θ⇒cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=1√26⇒{126=62+62−¯AB22⋅6⋅6−126=62+62−¯AD22⋅6⋅6⇒{¯AB2=72(√26−1)/√26¯AD2=72(√26+1)/√26⇒ABCD面積=√72(√26−1)√26⋅72(√26+1)√26=√722⋅5226=72⋅5√26=18013√26
{O(0,0)A(x,y)B(m,n)⇒{→OA=(x,y)→OB=(m,n)⇒→OA+→OB=(x+m,y+n)因此(m−4)2+(n−4)2=4⇒B在圓C上,其中圓C:(x−4)2+(y−4)2=4又√m2+n2+√x2+y2=√(m+x)2+(n+y)2⇒|→OB|+|→OA|=|→OB+→OA|⇒O、A、B三點在一直線上⇒A在上圖正方形紅線範圍內先求過原點O(0,0)的切線:y=ax⇒(x−4)2+(ax−4)2=4⇒(a2+1)−(8a+8)x+28=0⇒判別式=0⇒64(a+1)2−112(a2+1)=0⇒a=4±√73⇒S=(y=4+√73x)∩(y=1)⇒S=(4−√73,1)⇒4−√73≤x≤1
解答:由於an∈N,因此逐一試試a1,只要能找出a1,其他an就能被推算出;由ai<aj,i<j⇒aa1=4,a1只能是1,2,3,4⇒{a1=1⇒aa1=a1=1≠4,矛盾a1=2⇒aa1=a2=4a1=3⇒aa1=a3=4,嚴格遞增數列,a2無解a1=4⇒aa1=a4=4⇒a1=a4=4,違反嚴格遞增因此a1=2⇒a2=4⇒aa2=2×4⇒a4=8⇒aa4=4×4⇒a8=16
第二部分︰計算題
解答:略:繼續加油========================== END =============================
老師你好 關於填充七 你剛好答案對 但是數對不合 因為b不等於0
回覆刪除a=-3,b=0,c=-1 →(a^2+2b^2)=9,(1-c)=2 →(1+2+1)(2)-2=6 沒錯啊!!!
刪除因為題目規定b不等於0
刪除喔! 對耶,已修訂,謝謝!!!
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