114年大學學測-數學B詳解

 財團法人大學入學考試中心基金會
114學年度學科能力測驗試題
數學B考科

第壹部分、選擇（填）題（占85分）
一、單選題（占 35 分）

解答:$$P=0.5或4.5 \Rightarrow 有2個，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}\\ 題目講得是數線，若是平面，P的軌跡就是橢圓$$

解答:$$A=\begin{bmatrix} a_{1,1}& a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1}& a_{3,2}\end{bmatrix} \Rightarrow A \begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1,1}\\ a_{2,1}\\ a_{3,1} \end{bmatrix}  =\begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}  \\ \Rightarrow A\begin{bmatrix}1& 0\\ -1& 1 \end{bmatrix}  =\begin{bmatrix}a_{1,1}-a_{1,2} & a_{1,2}\\ a_{2,1}-a_{2,2} & a_{2,2}\\ a_{3,1}-a_{3,2}& a_{3,2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4& -6\\ -2& 1\\ 3& 5\end{bmatrix} \\ \Rightarrow a+b+c= 4-6-2+1+3+5=5,故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答:$$\cases{{1\over 2}\lt a\lt 1\\ 1\lt b\lt 2} \Rightarrow \cases{-0.301\lt \log a \lt 0 \\ 0\lt \log b\lt 0.301} \Rightarrow \cases{-0.602\lt \log a^2 \lt 0\\ 0\lt {1\over \log b}\lt 3.322} \\ \Rightarrow \log(a^2)最小,故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答:$$\cases{A:香蕉\\ B:鳳梨\\ C:蘋果\\ D:橘子} \Rightarrow 抽到三種不同款式的樣本:\cases{ABCA, ABCB,ABCC\\ BCDB,BCDC,BCDD\\ ACDA,ACDC, ACDD\\ ABDA, ABDB, ABDD},共12種不同結果\\ 每一種結果的排列數={4!\over 2!}=12 \Rightarrow 機率={12\cdot 12\over 4^4}={9\over 16},故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答:$$斜切就是拋物線或橢圓，直切(與L平行)就是雙曲線，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

解答:$$f(x)=a(x-1)(x-3)+ b(x-1)(x-4)+ c(x-3)(x-4)=x^2 \\ \Rightarrow \cases{f(1)=6c=1\\ f(3)=-2b=9\\ f(4)=3a=16} \Rightarrow \cases{c=1/6\\ b=-9/2\\ a=16/3} \Rightarrow a\gt c\gt b,故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答:

$$由於單點透視，相同柱子離消失點越遠顯得越長；若將E柱柱底往V方向移動，移至D柱相同位置\\，則可得D\gt E；又C柱離V較遠卻與D柱相同高度(3)，所以D\gt C;故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

二、多選題（占 2 5 分）

解答:$$(1) \bigcirc: y=f(x)=x^3-x \Rightarrow f'(x)=3x^2-1 \Rightarrow f''(x)=6x \\\qquad 若f''(x)=0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow 對稱中心(0,f(0))=(0,0) \\(2)\times: f'(0)=-1 \Rightarrow 近似直線:y=-x\\ (3)\times: 平移後y=f(x-a)=(x-a)^3-(x-a) \ne x^3+x+3 \\(4)\times: \cases{y=f(x)=x^3-x\\ y=g(x)=x^3+x} \Rightarrow f(x)+g(x)=2x^3 \ne 0 \Rightarrow 不對稱x軸\\(5) \bigcirc: \cases{y=f(x)=x^3-x\\ y=g(x)=-x^3+x}  \Rightarrow f(-x)=-x^3+x = g(x) \Rightarrow 對稱y軸\\故選\bbox[red, 2pt]{(15)}$$

解答:$$(1) \times: \cases{ A(2,-3)\\ B(-4,3)} \Rightarrow \cases{2\alpha-4\beta=2\\ -3\alpha+3\beta=2} , 兩式相加 \Rightarrow \alpha+\beta =-4無法滿足0\le \alpha,\beta\le 1 \\(2) \bigcirc: \cases{ A(3,2)\\ B(3,4)} \Rightarrow \cases{3\alpha+3 \beta=2\\ 2\alpha +4 \beta=2} \Rightarrow \cases{\alpha=1/3\\ \beta=1/3} \\(3) \bigcirc:  \cases{A(3,4)\\ B(4,-1)} \Rightarrow \cases{3 \alpha+4\beta=2\\ 4\alpha-\beta=2} \Rightarrow \cases{ \alpha= 10/19\\ \beta=2/19} \\(4)\bigcirc: \cases{A(1,2) \\ B(2,1)} \Rightarrow \cases{\alpha+2 \beta=2\\ 2\alpha+ \beta=2 } \Rightarrow \cases{\alpha=2/3\\ \beta=2/3} \\(5) \times: \cases{A(1,-1)\\ B(1,1)} \Rightarrow \cases{\alpha+\beta=2 不合\\ -\alpha+\beta=2} \\故選\bbox[red, 2pt]{(234)}$$

解答:$$(1)\bigcirc: 每次殺球用時平均\cases{甲:1.2\\ 乙:1.5\\ 丙:1.7\\ 丁:1.2} \Rightarrow 丙最大 \\(2) \bigcirc: \cases{甲:25\times 1.2=30\\ 乙:14\times 1.5=21\\ 丙:20\times 1.7=34\\ 丁:30\times 1.2=36} \Rightarrow 丁最大 \\(3)\times: 樣本平均值相同不代表樣本值相同\\ (4)\times: 僅用次數,平均值及標準差無法判定全距 \\(5)\bigcirc: 並非所有樣本值皆介於\bar x\pm \sigma之間\\ 故選\bbox[red, 2pt]{(125)}$$

解答:

$$假設P為北極\\(1)\bigcirc: 緯度相同的點到北極距離也相同 ,即\stackrel{\large \frown}{AP} =\stackrel{\large \frown}{BP}\\ (2)\times: 越靠近赤道圓周越長，越靠近北極圓周越短，\stackrel{\large \frown}{AB}\lt \stackrel{\large \frown}{CD}\\ (3)\bigcirc: A,C,E皆為經度0，同在最短的圓弧上,見上圖\\ (4)\bigcirc:C,D皆在北半球，經過北極是最短路徑\\ (5) \times:\cases{\angle POE=\pi/2\\ \angle COD=2\pi/3} \Rightarrow \cases{\stackrel{\large \frown}{PE} =\pi R/2\\ \stackrel{\large \frown}{CD}=2\pi R/3} \Rightarrow \stackrel{\large \frown}{PE}:\stackrel{\large \frown}{CD}  =3:4\\ 故選\bbox[red, 2pt]{(134)}$$

解答:$$(1) \bigcirc:\cases{a_1=1\\ a_k= 1+(k-1)d=9 \Rightarrow (k-1)d=8\\ a_n= 1+(n-1)d=81 \Rightarrow (n-1)d=80} \Rightarrow {k-1 \over n-1}={8\over 80} ={1\over 10} \\\qquad \Rightarrow n=10(k-1)+1 此乃奇數 \\(2) \bigcirc:n是奇數\Rightarrow 中間項{1+81\over 2}=41 在數列中\\ (3) \times: \cases{a_1=1 \\ d=4/3} \Rightarrow \cases{a_{7}=1+(7-1)\times 4/3=9\\ a_{61} =1+(61-1)\times 4/3 =81} 滿足條件,但公差d不是整數\\ (4)\times:  \cases{n\le 100 \\n=10(k-1)+1} \Rightarrow (k,n)=(2,11), (3,21), \dots,(9,81),( 10,91),共9個\\ (5)\times: \cases{k=3\\ k=10} \Rightarrow \cases{n=21\\n= 91= 13\cdot 7}\Rightarrow n也可能是91\\ 故選\bbox[red, 2pt]{(12)}$$

三、選填題（占 2 5 分）

解答:$$兩停車位同時沒有空位的機率=0.7\times 0.7= 0.49 \Rightarrow 至少有一個空位的機率=1-0.49= \bbox[red, 2pt]{0.51}$$

解答:

$$\cases{A(0,2) \\B(-1,0) \\ C(4,0) \\O(0,0)} \Rightarrow \cases{\overline{AB} =\sqrt 5\\ \overline{BC}=5\\ \overline{AC} =2\sqrt 5} \Rightarrow \overline{BC}^2= \overline{AB}^2+ \overline{AC}^2 \Rightarrow \angle A=90^\circ \Rightarrow  \triangle ABC={1\over 2}\cdot \sqrt 5\cdot 2\sqrt 5=5 \\ 假設y=mx交\overline{AC}於P點，P在\overline{BC}的垂足Q，則\triangle BCP={1\over 2}\triangle ABC={5\over 2 } ={1\over 2} \cdot \overline{OC} \cdot \overline{PQ} \Rightarrow \overline{PQ}={5\over 4} \\ 又\overleftrightarrow{AC}:y=-{1\over 2}x+2 \Rightarrow P({3\over 2},{5\over 4}) \Rightarrow m={5/4\over 3/2} =\bbox[red, 2pt]{5\over 6}\\ 也可以\triangle ABC \sim \triangle QPC (AAA) \Rightarrow {\overline{PQ} \over \overline{AB}} ={\overline{CQ} \over \overline{AC}} \Rightarrow {5/4\over \sqrt 5} ={\overline{CQ} \over 2\sqrt 5} \Rightarrow \overline{CQ} ={5\over 2} \Rightarrow \overline{OQ}= {3\over 2} \\\Rightarrow m={5/4\over 3/2} ={5\over 6}$$

解答:$$就人數而言有兩種分配:\begin{array}{} & 翻譯& 工程師& 助理\\\hline 研發& 1& 1& 2\\ 測試&1 & 2& 1\\ \hdashline    研發& 1& 2& 1\\ 測試&1 & 1& 2 \\\hline\end{array} \\ 只考慮研發組:\cases{112:翻譯有2種選擇,工程師有3種選擇,助理有3種選擇,共18種\\ 121: 翻譯有2種選擇,工程師有3種選擇,助理有3種選擇,共18種} \\ \Rightarrow 總共18+18=\bbox[red, 2pt]{36}種分配方法$$

解答:$$\cases{O(0,0,0)\\ A(20,0,0)\\ B(0,20,0)\\ C(0,0,10)} \Rightarrow \cases{\vec u= \overrightarrow{AB} =(-20,20,0)\\ \vec v=\overrightarrow{AC}= (-20,0,10)} \Rightarrow \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v\over |\vec u||\vec v|} ={400\over 20\sqrt 2\cdot 10\sqrt 5} \\ \Rightarrow \cos \theta={2\over \sqrt {10}} \Rightarrow \tan \theta=\bbox[red, 2pt]{\sqrt 6\over 2}$$

解答:$$\cases{紅燈變暗的時區A:[3+6m,4+6m],m=0,1,2,\dots \\綠燈變暗的時區B:[6+8n,8+8n],n=0,1,2,\dots \\ 藍燈變暗的時區C:[k+15t,15t+15],t=0,1,2,\cdots} \Rightarrow P=A\cap B=[15+24s,16+24s],s=0,1,2,\dots\\ 欲求P\cap C=\varnothing, 依題意0\le k\le 15，又試題以兩個圈圈來表示k值, 因此10\le k\le 15。\\ k=10 \Rightarrow C:[10+15t,15+15t] \Rightarrow \cases{s=3 \Rightarrow [87,88] \in P\\ k=5 \Rightarrow [85,90] \in C} \Rightarrow P\cap C\ne \varnothing \\ k=11 \Rightarrow C:[11+15t,15+15t] \Rightarrow \cases{s=3 \Rightarrow [87,88] \in P\\ k=5 \Rightarrow [86,90] \in C} \Rightarrow P\cap C\ne \varnothing \\ k=12 \Rightarrow C:[12+15t,15+15t] \Rightarrow \cases{s=3 \Rightarrow [87,88] \in P\\ k=5 \Rightarrow [87,90] \in C} \Rightarrow P\cap C\ne \varnothing \\ k=\bbox[red, 2pt]{13} \Rightarrow C: [13+15t,15+15t] \Rightarrow P\cap C= \varnothing$$

第貳部分、混合題或非選擇題（占 15 分）

解答:$$400焦耳/公尺^2 ={400\over 100}=4 \text{ UVI}  \xrightarrow{上升4500公尺}(1+4\%)^{4500/300} =(1+4\%)^{15} ,故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答:$$f(12)=a\sin(12b) =0 \Rightarrow 12b=\pi \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{b={\pi\over 12}}\\ \Rightarrow f(2) =a\sin(2b) =a\sin({\pi\over 6}) ={a\over 2} =4 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{a=8}$$

解答:$$f(x)= 8\sin\left({\pi \over 12}x \right) \Rightarrow  4\sqrt 2\le 8\sin\left({\pi \over 12}x \right)\le 4\sqrt 3 \Rightarrow {\sqrt 2\over 2}\le\sin\left({\pi \over 12}x\right) \le  {\sqrt 3\over 2} \\ \Rightarrow {\pi\over 4}\le {\pi \over 12}x \le {\pi\over 3} 或{2\pi\over 3}\le {\pi \over 12}x \le {3\pi\over 4} \Rightarrow 3\le x\le 4 或8\le x\le 9 \\ \Rightarrow t的最大可能範圍:\bbox[red, 2pt]{3\le t\le 4, 8\le t\le 9}$$

==================== end =======================

解題僅供參考，學測歷年試題及詳解