國立臺北科技 大學 l12學 年度碩 士班招 生考試
系所組別 :2131電 機工程系碩士班丙組
第一節 工程數學 試題 (選 考)
解答:(a)4xy″+x2y′+2xy=(4xy′)′+(F(x)y)′=4y′+4xy″+F′y+Fy′=4xy″+(4+F)y′+F′y⇒{x2=4+F2x=F′⇒F=x2−4(b)[4xy′]′+[(x2−4)y]′=0⇒−4xy′=(x2−4)y⇒−4ydy=x2−4xdx⇒−4lny=12x2−4lnx+c1⇒lny=−18x2+lnx+c2⇒y=c3xe−x2/8

解答:(a)y′+y=y4為白努利方程式⇒取v=1y3⇒v′=−3y′y4⇒y′=y4v′−3代回原式⇒y4v′−3+y=y4⇒−13v′+1y3=1⇒−13v′+v=1⇒v′−3v=−3⇒積分因子I(x)=e∫−3dx=e−3x(b)I(x)v′−3vI(x)=−3I(x)⇒v′e−3x−3ve−3x=−3e−3x⇒(ve−3x)′=−3e−3x⇒ve−3x=∫−3e−3xdx=e−3x+c1⇒v=1y3=1+c1e3x⇒y=13√1+c1e3x
解答:(a)L{y″}=s2Y(s)−sy(0)−y′(0)⇒ddsL{y″}=2sY(s)+s2Y′(s)−y(0)=2sY(s)+s2Y′(s)⇒d2ds2L{y″}=2Y(s)+4sY′(s)+s2Y″(s)t(1−t)y″(t)+2y′(t)+2y(t)=ty″−t2y″+2y′+2y=12t⇒L{ty″}−L{t2y″}+2L{y′}+2L{y}=12L{t}⇒−(2sY(s)+s2Y′(s))−(2Y(s)+4sY′(s)+s2Y″(s))+2sY(s)+2Y(s)=12s2⇒−s2Y″(s)−(s2+4s)Y′(s)=12s2⇒Y″(s)+(1+4s)Y′(s)=−12s4積分因子I(s)=e∫(1+4/s)ds=s4es⇒s4esY″(s)+(s4+4s3es)Y′(s)=−12es⇒(s4esY′(s))′=−12es⇒s4esY′(s)=−12es+c1⇒Y′(s)=−12s4+c1s4es⇒Y(s)=4s3+∫c1s4esds
解答:(a)T(x1,x2,x3)=x21+2x22+2√2x1x3=(x1,x2,x3)⋅(x1+√2x3,2x2,√2x1)=[x1,x2,x3][10√2020√200][x1x2x3]=XTAX⇒A=[10√2020√200](b)det

解答:A =\begin{bmatrix} 1 & 1& 1\\ 1& 0 & 1\\ -1& -1 & -1\end{bmatrix} \Rightarrow \det(A)=0 \Rightarrow A不能對角化\\ A^2=\begin{bmatrix} 1 & 0& 1\\ 0& 0 & 0\\ -1& 0 & -1\end{bmatrix} \Rightarrow A^3=0 \Rightarrow A^n=0,n\ge 3\\ \Rightarrow e^{At}=I+At+{1\over 2}A^2t^2+ {1\over 3!} A^3t^3 +\cdots =I+At+{1\over 2}A^2t^2\\ 因此 Y'=AY \Rightarrow Y=e^{At}Y_0 =\left( I+At+{1\over 2}A^2t^2 \right)Y_0\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} y_1(t)\\ y_2(t)\\ y_3(t)\end{bmatrix} =\left( \begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t & t& t\\ t& 0 & t\\ -t& -t & -t\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} t^2/2 & 0& t^2/2\\ 0& 0 & 0\\ -t^2/2& 0 & -t^2/2 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1\end{bmatrix} \\ \quad =\begin{bmatrix} 1+t+t^2/2& t & t+t^2/2\\ t & 1 & t\\ -t-t^2/2 & -t & 1-t-t^2/2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+t\\ 1\\ -1-t\end{bmatrix} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{Y=\begin{bmatrix} y_1(t)\\ y_2(t)\\ y_3(t)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1+t\\ 1\\ -1-t\end{bmatrix} }

解答:\mathbf{(a)}\;A=\begin{bmatrix} 1&1& 1\\ 1& 1 & 0\\ 1& 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1&0& 0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)=3 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{S can span }R^3} \\\mathbf{(b)}\;A=\begin{bmatrix} 1&2 & 4 \\ 2& 1 & 3\\ 4& -1 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1&0& 2/3\\ 0& 1 & 5/3\\ 0& 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)=2 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{S cannot span }R^3} \\ \Rightarrow 令\cases{u=(1,0,2/3)^T\\ v=(0,1,5/3)^T} \Rightarrow \text{span of }S =\{w\mid w=au+bv, a,b, \in \mathbb R\}為一個平面 \\\mathbf{(c)} \;A=\begin{bmatrix} 1&2 & 3 \\ 0& 1 & 2\\ -2 & 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1&0& 0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)=3 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{S can span }R^3} \\\mathbf{(d)} \;A=\begin{bmatrix} 2&1 & -2 \\ -2& -1 & 2\\ 4 & 2 & -4\end{bmatrix} \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1& 1/2& -1\\ 0& 0 & 0\\ 0& 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)=1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{S cannot span }R^3} \\ \Rightarrow 令 {u=(1,1/2,-1)^T } \Rightarrow \text{span of }S =\{w\mid w=au, a \in \mathbb R\}為一直線
第二題的(b),v(x)應是"exp(3x)+c_1" 不是"exp(-3x)+c_1",故答案不對.
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