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2025年1月11日 星期六

112年台北科大電機系碩士班-工程數學詳解

 國立臺北科技 大學 l12學 年度碩 士班招 生考試

系所組別 :2131電 機工程系碩士班丙組
第一節 工程數學 試題 (選 考)


解答:(a)4xy+x2y+2xy=(4xy)+(F(x)y)=4y+4xy+Fy+Fy=4xy+(4+F)y+Fy{x2=4+F2x=FF=x24(b)[4xy]+[(x24)y]=04xy=(x24)y4ydy=x24xdx4lny=12x24lnx+c1lny=18x2+lnx+c2y=c3xex2/8

解答:(a)y+y=y4v=1y3v=3yy4y=y4v3y4v3+y=y413v+1y3=113v+v=1v3v=3I(x)=e3dx=e3x(b)I(x)v3vI(x)=3I(x)ve3x3ve3x=3e3x(ve3x)=3e3xve3x=3e3xdx=e3x+c1v=1y3=1+c1e3xy=131+c1e3x
解答:(a)L{y}=s2Y(s)sy(0)y(0)ddsL{y}=2sY(s)+s2Y(s)y(0)=2sY(s)+s2Y(s)d2ds2L{y}=2Y(s)+4sY(s)+s2Y(s)t(1t)y(t)+2y(t)+2y(t)=tyt2y+2y+2y=12tL{ty}L{t2y}+2L{y}+2L{y}=12L{t}(2sY(s)+s2Y(s))(2Y(s)+4sY(s)+s2Y(s))+2sY(s)+2Y(s)=12s2s2Y(s)(s2+4s)Y(s)=12s2Y(s)+(1+4s)Y(s)=12s4I(s)=e(1+4/s)ds=s4ess4esY(s)+(s4+4s3es)Y(s)=12es(s4esY(s))=12ess4esY(s)=12es+c1Y(s)=12s4+c1s4esY(s)=4s3+c1s4esds


解答:(a)T(x1,x2,x3)=x21+2x22+22x1x3=(x1,x2,x3)(x1+2x3,2x2,2x1)=[x1,x2,x3][102020200][x1x2x3]=XTAXA=[102020200](b)det



解答:A =\begin{bmatrix} 1 & 1& 1\\ 1& 0 & 1\\ -1& -1 & -1\end{bmatrix} \Rightarrow \det(A)=0 \Rightarrow A不能對角化\\ A^2=\begin{bmatrix} 1 & 0& 1\\ 0& 0 & 0\\ -1& 0 & -1\end{bmatrix} \Rightarrow A^3=0 \Rightarrow A^n=0,n\ge 3\\ \Rightarrow e^{At}=I+At+{1\over 2}A^2t^2+ {1\over 3!} A^3t^3 +\cdots =I+At+{1\over 2}A^2t^2\\ 因此 Y'=AY \Rightarrow Y=e^{At}Y_0 =\left( I+At+{1\over 2}A^2t^2 \right)Y_0\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} y_1(t)\\ y_2(t)\\ y_3(t)\end{bmatrix} =\left( \begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t & t& t\\ t& 0 & t\\ -t& -t & -t\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} t^2/2 & 0& t^2/2\\ 0& 0 & 0\\ -t^2/2& 0 & -t^2/2 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1\end{bmatrix} \\ \quad =\begin{bmatrix} 1+t+t^2/2& t & t+t^2/2\\ t & 1 & t\\ -t-t^2/2 & -t & 1-t-t^2/2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+t\\ 1\\ -1-t\end{bmatrix} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{Y=\begin{bmatrix} y_1(t)\\ y_2(t)\\ y_3(t)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1+t\\ 1\\ -1-t\end{bmatrix} }

解答:\mathbf{(a)}\;A=\begin{bmatrix} 1&1& 1\\ 1& 1 & 0\\ 1& 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1&0& 0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)=3 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{S can span }R^3} \\\mathbf{(b)}\;A=\begin{bmatrix} 1&2 & 4 \\ 2& 1 & 3\\ 4& -1 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1&0& 2/3\\ 0& 1 & 5/3\\ 0& 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)=2 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{S cannot span }R^3} \\ \Rightarrow 令\cases{u=(1,0,2/3)^T\\ v=(0,1,5/3)^T} \Rightarrow \text{span of }S =\{w\mid w=au+bv, a,b, \in \mathbb R\}為一個平面 \\\mathbf{(c)} \;A=\begin{bmatrix} 1&2 & 3 \\ 0& 1 & 2\\ -2 & 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1&0& 0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)=3 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{S can span }R^3} \\\mathbf{(d)} \;A=\begin{bmatrix} 2&1 & -2 \\ -2& -1 & 2\\ 4 & 2 & -4\end{bmatrix} \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1& 1/2& -1\\ 0& 0 & 0\\ 0& 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)=1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\text{S cannot span }R^3} \\ \Rightarrow 令 {u=(1,1/2,-1)^T } \Rightarrow \text{span of }S =\{w\mid w=au, a \in \mathbb R\}為一直線 

2 則留言:

  1. 第二題的(b),v(x)應是"exp(3x)+c_1" 不是"exp(-3x)+c_1",故答案不對.

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