111年大學分科測驗-數學甲詳解

財團法人大學入學考試中心基金會111學年度分科測驗試題

第 壹 部 分 、 選 擇 （ 填 ） 題 （ 占 76分 ）
一 、 單 選 題 （ 占 18 分 ）

解答：$$\cases{a_1=10\\ r=10} \Rightarrow a_n=10^n \Rightarrow b=\sum_{n=1}^3 \log_{a_n}a_{n+1} =\log_{a_1} a_2+ \log_{a_2} a_3+ \log_{a_3} a_4 \\ =\log_{10} 10^2 +\log_{10^2}10^3 +\log_{10^3}10^4 ={\log 10^2\over \log 10} +{\log 10^3\over \log 10^2} +{\log 10^4\over \log 10^3} =2+{3\over 2}+{4\over 3} ={29\over 6}\\ \Rightarrow 4\lt b\le 5，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答：$$\cases{x-y+z=0 \cdots(1)\\ 2x+cy+ 3z=1 \cdots(2)\\ 3x-3y+cz=0 \cdots(3)} \Rightarrow \begin{bmatrix}1 & -1 & 1\\ 2 & c& 3\\ 3 & -3 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{bmatrix} 無解\Rightarrow \begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\ 2 & c& 3\\ 3 & -3 & c \end{vmatrix}=0 \\ \Rightarrow c^2-c-6=0 \Rightarrow (c-3)(c+2)=0 \Rightarrow c=3,-2\\ 當c=3時，(1)=(3) 有無限多解；\\ 當c=-2時\Rightarrow \cases{x-y+z=0  \\ 2x-2y+ 3z=1 \\ 3x-3y-2z=0  } \Rightarrow \cases{x-y=-z\\ x-y=(1-3z)/2\\ x-y= 2z/3} \Rightarrow \cases{-z={1-3z\over 2} \Rightarrow z=1\\ {1-3z\over 2}={2z\over 3} \Rightarrow z=1/13}無解\\，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答：$$\cases{\overline{OP}=1\\ \overline{OP}與x軸夾角45^\circ} \Rightarrow x截距= 1\cdot \cos 45^\circ= {1\over \sqrt 2}；\\又\cases{\overline{OP}=1\\ P至y軸距離{\sqrt 6\over 3}} \Rightarrow y截距=\sqrt{1-({\sqrt 6\over 3})^2}={1\over \sqrt 3} \\ 因此P({1\over \sqrt 2}, {1\over \sqrt 3},z) \Rightarrow ({1\over \sqrt 2})^2 +({1\over \sqrt 3})^2+z^2=1 \Rightarrow z ={1\over \sqrt 6} ={\sqrt 6\over 6}，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

二 、 多 選 題 （ 占 40 分 ）

解答：$$利用長除法: f(x)=g(x)(x+(2-a))+ (a^2-2a-3)x+(a+k-2)\\ 由於g(x)整除f(x) \Rightarrow \cases{a^2-2a+3=0 \Rightarrow a=3,-1\\ a+k-2=0} \\ \cases{若a=3 \Rightarrow g(x)=x^2+3x+1=0有實根，無虛根，不合\\ 若a=-1 \Rightarrow g(x)=x^2-x+1=0有虛根}\\ \Rightarrow a=-1   \Rightarrow f(x)=(x^2-x+1)(x+3)  \Rightarrow f(x)=0的根為-3,{1\pm \sqrt{-3}\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(14)}$$

解答：$$\Gamma:(x-1)^2+(y-1)^2=101 \Rightarrow \cases{圓心A(1,1)\\ 半徑r=\sqrt{101}}\\ (1) \bigcirc:\cases{y=0代入\Gamma \Rightarrow (x-1)^2=100 \Rightarrow x=-9,11 \Rightarrow \Gamma與x軸負向交於(-9,0)\\x=0 代入\Gamma \Rightarrow (y-1)^2=100 \Rightarrow y=-9,11 \Rightarrow \Gamma與y軸負向交於(0,-9 )} \\(2)\times: y=1 \Rightarrow (x-1)^2=101 \Rightarrow x=1\pm \sqrt{101} \Rightarrow x坐標最大的點(1+\sqrt{101},1) \\(3) \bigcirc:\Gamma 與直線x=y在第一象限的交點為P \Rightarrow \overline{OP}= \overline{OA}+ r = \sqrt 2+\sqrt{101} \\(4)\times: \Gamma在第三象限的點與原點的距離\ge 9，並不固定為9\\ (5)\bigcirc:若圓心(1,1)逆時針旋轉180^\circ 後\Gamma變為(x+1)^2+(y+1)^2 =101，不含xy項\\，故選\bbox[red, 2pt]{(135)}$$

解答：$$\cases{\begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ \sqrt 3 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{a=3\\ c=\sqrt 3} \\ \begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\sqrt 3\\   3 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{b=-\sqrt 3\\ d= 3}} \Rightarrow T=\begin{bmatrix} a& b\\ c& d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3& -\sqrt 3\\ \sqrt 3& 3\end{bmatrix}\\= \sqrt{12} \begin{bmatrix} \sqrt 3/2 & -1/ 2\\ 1/2& \sqrt 3/2\end{bmatrix} =\sqrt{12} \begin{bmatrix}\cos 30^\circ & -\sin 30^\circ\\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix}\\(1)\times: \det(T)= (\sqrt {12})^2 =12\ne 6\\(2) \bigcirc: \overline{OC}=1 \Rightarrow   \overline{OC'}=\sqrt{12} =2\sqrt 3\\(3)\times: 旋轉30^\circ \ne 60^\circ \\(4) \bigcirc: y=y' \Rightarrow \sin \theta = \sqrt{12} \sin(\theta+30^\circ) =2\sqrt 3({\sqrt 3\over 2}\sin \theta+{1\over 2}\cos \theta) = 3\sin\theta+ \sqrt 3\cos\theta\\ \qquad \Rightarrow 2\sin\theta +\sqrt 3\cos\theta =0 有解\\(5)\times: \cases{x=\cos 210^\circ =-\sqrt 3/2\\ y=\sin 210^\circ =-1/2} \Rightarrow \cases{x'=\sqrt{12}\cos 240^\circ=\sqrt{12}\cdot (-1/2)\\ y'=\sqrt{12}\sin 240^\circ=\sqrt{12}\cdot (-\sqrt 3/2)} \Rightarrow y\gt x但y'\lt x'\\，故選\bbox[red, 2pt]{(24)}$$

解答：

$$(1)\times: \tan \angle 1=\cfrac{\overline{AA'}}{\overline{A'F'}} \ne\cfrac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}} \\(2) \times: \sin \angle 2=\cfrac{\overline{AP}}{\overline{AF'}} =\cfrac{\overline{A'F'}}{\overline{AF'}} \ne\cfrac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}} \\(3) \bigcirc: \sin \angle 3= \sin \angle AFP =  \cfrac{\overline{AP}}{\overline{AF}} =\cfrac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}} \\(4)\times: \cos \angle 4= \cos \angle 3 \ne \sin \angle 3\\(5)\bigcirc: \overline{AA'} \parallel \overline{FF'} \parallel \overline{BB'} \Rightarrow \cfrac{\overline{F'B'}}{\overline{A'F'}} =  \cfrac{\overline{FB}}{\overline{FA}}   =  \cfrac{\overline{BB'}}{\overline{AA'}}(因為\cases{\overline{FB}= \overline{BB'} \\ \overline{AF}=\overline{AA'}}) \Rightarrow \cfrac{F'B'}{BB'}=\cfrac{ \overline{A'F'}}{\overline{AA'}}\\\qquad \Rightarrow \tan \angle 5=\tan \angle F'BB'=  \cfrac{\overline{F'B'}}{\overline{B'B}} =  \cfrac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}} ，故選\bbox[red, 2pt]{(35)}$$

解答：$$ (2)\bigcirc: b_n+{4n-1\over n}\lt 3b_n \Rightarrow {4n-1\over n}\lt 2b_n \Rightarrow {4n-1\over 2n}\lt b_n\\ (3)\times: \cases{\lim_{n\to \infty} \left( b_n+{4n-1\over n}\right) \le \lim_{n\to \infty}a_n \Rightarrow \lim_{n\to \infty} b_n+ 4\le 6 \Rightarrow \lim_{n\to \infty} b_n\le 2\\ \lim_{n\to \infty}a_n \le \lim_{n\to \infty}3b_n \Rightarrow 6\le 3\lim_{n\to \infty} b_n\Rightarrow 2\le \lim_{n\to \infty} b_n} \\\qquad 由夾擠定理可得\lim_{n\to \infty} b_n=2\\ (5)\bigcirc: 由(2) 知:{4n-1\over 2n} \lt b_n，再加上b_n+{4n-1\over n}\lt a_n \Rightarrow a_n\gt {4n-1\over 2n} +{4n-1\over n}={12n-3\over 2n}\\\qquad =6-{3\over 2n}  \Rightarrow a_{10000}\gt 6-{3\over 20000}=5.99985 \Rightarrow a_{10000}\gt 5.9\\(1),(4)\times: 為了符合\cases{b_n+4-{1\over n}\lt a_n \lt 3b_n\\[1ex] \lim_{n\to \infty} a_n=6}，我們取\cases{a_n=6+{10000\over n}\\[1ex] b_n=2+{10000\over n}}\\\Rightarrow \cases{b_1=10002 \not \lt 6-{4n-1\over n} =3\\ a_{10000}=7\not \lt 6.1}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(25)}$$

三 、 選 填 題 （ 占 18 分 ）

解答：$$抽到紅包的情形:\cases{吉吉:機率={1\over 5}\cdot {1\over 5}={1\over 25}\\ \times吉吉:機率={4\over 5}\cdot {1\over 25}={4\over 125}} \Rightarrow 抽到紅包的機率p={1\over 25}+{4\over 125}={9\over 125}\\ \Rightarrow 第X位顧客是第一個得到紅包的機率:(1-p)^{X-1}p \Rightarrow X\sim \text{Geometric}(p)(幾何分配)\\ \Rightarrow E(X)=\sum_{X=1}^\infty X(1-p)^{X-1}p={1\over p} ={125\over 9}=13.88 \approx \bbox[red,2pt]{14}$$

解答：$$ \cases{週一發二科，其餘發一科:英數社自任排，扣除英排第二，即4!-3!=18\\週二發二科，其餘發一科:C^3_2\cdot 2!=6\\週三發二科，其餘發一科:C^3_2+ C^3_1\cdot 2!=9\\ 週四發二科，其餘發一科:C^3_2+ C^3_1\cdot 2!=9}\\ 共有18+6+9+9 = \bbox[red,2pt]{42}種安排方式$$

解答：$$z=\cos \theta +i\sin \theta \Rightarrow z^3=\cos 3\theta +i\sin 3\theta，並令\cases{A(z)=(\cos\theta, \sin\theta)\\ P({-3+4i\over 5})= (-{3\over 5}, {4\over 5})\\ B(z^3)=(\cos 3\theta,\sin 3\theta) \\C(z^2)=(\cos 2\theta,\sin 2\theta)}\\ \left| {-3+4i\over 5}-z^3\right| =|{-3+4i\over 5}-z| \Rightarrow \overline{PA}=\overline{PB} \Rightarrow P=C(z^2) \Rightarrow \cases{\cos 2\theta =-3/5\\ \sin 2\theta= 4/5}\\ \Rightarrow \cases{\cos \theta =1/\sqrt 5\\ \sin \theta =2/\sqrt 5}  \Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{\sqrt 5\over 5},b=\bbox[red, 2pt]{2\sqrt 5\over 5}$$

第 貳 部 分 、 混 合 題 或 非 選 擇 題 （ 占 24 分 ）

解答：

$$\overline{MP} =(\overline{CF}-\overline{AD})\div 2=(40-30)\div 2=5 \Rightarrow \tan \angle AMP=\cfrac{\overline{AP}}{\overline{MP}} ={15\over 5}=\bbox[red, 2pt]{3}$$

解答：

$$\triangle ABC\cong \triangle ACQ (SSS) \Rightarrow \overline{Q'C'}=\overline{B'C'} \Rightarrow \cfrac{x}{15 } = \cfrac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}} =\cfrac{\overline{B'C'}}{10} \Rightarrow \overline{B'C'}={2x\over 3} \\ \Rightarrow 欲求面積=\overline{B'C'}(\overline{B'C'}+30) =({2x\over 3})^2+{60x\over 3} =20x+{4\over 9}x^2，\bbox[red,2pt]{故得證}$$

解答：$$黎曼和=\bbox[red,2pt]{\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n{15\over n}\left(20{k\over n} +{4\over 9}({k\over n})^2\right)} = \bbox[red,2pt]{\int_0^{15}20x +{4\over 9}x^2\,dx }= \left.\left[10x^2+{4\over 27}x^3 \right] \right|_0^{15} =\bbox[red,2pt]{2750}$$

解答：

$$\cos\theta =\cfrac{|\vec a|^2 +|\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2}{2|\vec a||\vec b|} =\cfrac{x^2+(9-x)^2-7^2}{2x(9-x)} =\cfrac{x^2-9x+16}{9x-x^2} =\cfrac{16}{9x-x^2}-1\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{f(x)=\cfrac{16}{9x-x^2}-1} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{f'(x)=  \cfrac{32x-144}{(9x-x^2)^2}}$$

解答：$$f'(x)=0 \Rightarrow x={144\over 32}={9\over 2} \Rightarrow f''(9/2)\gt 0 \Rightarrow f(9/2)為極小值\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{f(x)為遞減,x\in (1,9/2]\\ f(x)為遞增,x\in [9/2,8)}}；又 f(9/2)為極小值，因此當\bbox[red, 2pt]{x={9\over 2}}時，\theta最大$$

解答：$$f(x) \approx f'(a)(x-a)+f(a) \Rightarrow f(4.96)=f'(5)(4.96-5)+f(5) = f(5)- 0.04\cdot f'(5) \\ =({16\over 45-25}-1)-0.04\cdot {160-144\over (45-25)^2} = (-{1\over 5})-0.04\cdot {1\over 25} =\bbox[red,2pt]{-{126\over 625}}$$

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解題僅供參考，其他升大學歷屆試題及詳解