97年大學學測-數學詳解

大學入學考試中心九十七學年度學科能力 測驗試題

第 一 部 分 ： 選 擇 題 （ 佔 6 0 分 ）
壹 、 單 選 題 （ 佔 2 5 分 ）

解答： $$x^2+{2\over 3} \ge {2\over 3} \Rightarrow 27^{x^2+{2\over 3} } \ge 27^{2\over 3} =3^2=9，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答： $${E\over 90}\times 9=3.2 \Rightarrow E=32 \Rightarrow 打完最新一局後ERA= {32\over 90+6}\times 9=3，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答： $$相同時間內\cases{甲走了2\cdot 30\pi=60\pi 公尺\\ 乙跑了2\cdot 2\cdot 50=200\pi 公尺} \Rightarrow 甲、乙速度比=60\pi: 200\pi=3:10 \\ 若甲走了45公尺，乙走了x公尺\Rightarrow {3\over 10}={45\over x} \Rightarrow x=150，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答： $$A\times \bigcirc\bigcirc \bigcirc4，其中\cases{X:A-Z，扣除O，共25種\\ \bigcirc:0-9，共10^3，需扣除\bigcirc 44，有10種，即10^3-10=990}\\ \Rightarrow 共有25\times 990種車牌，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答：

$$\cases{\overline{AP}^2 =\overline{OA}^2+\overline{OP}^2 = 36m^2+100\\ \overline{BP}^2 =\overline{OB}^2+\overline{OP}^2 = m^2+100} \Rightarrow \overline{AP}=4\overline{BP} \Rightarrow \sqrt{36m^2+100} =4\sqrt{m^2+100} \\ \Rightarrow m^2= 75 \Rightarrow m=5\sqrt 3 \Rightarrow \overline{AB} =7m =35\sqrt 3\approx 35\times 1.732 = 60.62，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

貳 、 多 選 題 （ 佔 3 5 分 ）

解答： $$(1)\times: x=-101 \Rightarrow y=-1 \lt 0\\ (2)\bigcirc: y=x^2+1\ge 1\\ (3)\bigcirc: y=2+\sin x \ge 2-1=1\\ (4)\bigcirc :y=2^x \gt 0\\ (5)\times: x={1\over 10} \Rightarrow y=-1\lt 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(234)}$$

解答： $$(1)\times: 也許全部抽中前四班，不一定每班至少抽中一人\\ (2)\times: 全校女生15\times 20=300人，也許全抽中女生\\(3)\times: 無論性別，被抽中機率皆是80/800\\ (4)\bigcirc: 每人被抽中機率相同，與班級無關\\ (5)\bigcirc: {80\over 800} \times {79\over 799}\lt {80\over 800}\times {80\over 800}={1\over 100}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(45)}$$

解答： $$(1)\times: \cases{公差d\ge 0 \Rightarrow a_1\le a_2\le a_3\\ 公差d\le 0\Rightarrow a_1\ge a_2\ge a_3} \Rightarrow 不可能同時滿足a_1\lt a_2 與a_2\gt a_3\\ (2)\bigcirc:若\cases{b_1\lt 0\\ 公比r\lt 0} \Rightarrow \cases{b_2=b_1r \gt 0\\ b_3=b_1r^2 \lt 0} \Rightarrow b_2\gt b_1 且b_2\gt b_3\\ (3)\times: 若\cases{a_1=-10\\ a_2=-1\\ a_3=8} \Rightarrow \cases{a_1+a_2 =-11\lt 0\\ a_2+a_3=7 \gt 0} \\(4) \bigcirc:b_1b_2 = b_1^2 r\lt 0 \Rightarrow r\lt 0 \Rightarrow b_2b_3=b_1^2r^3 \lt 0 \\(5)\times: 若\cases{b_1=2\\ r=3/2} \Rightarrow b_2=2\cdot {3\over 2}= 3 \Rightarrow b_2\gt b_1 但b_1沒有整除b_2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(24)}$$

解答： $$(1)\times: 1\le n_A \le 10^{10} \Rightarrow \log 1\le \log n_A \le \log 10^{10} \Rightarrow 0\le P_A\le 10\\ (2) \bigcirc: P_A=\log n_A =5 \Rightarrow n_A=10^5 \Rightarrow n_B={10^{10}\over 10^5} =10^5 \Rightarrow n_A=n_B= 10^5 \\(3) \times: \cases{P_A=8 \Rightarrow n_A=10^8\\ P_A=4 \Rightarrow n_A=10^4} \Rightarrow {10^8\over 10^4} =10^4 \ne 2\\  (4)\times: 10^{P_A+1}-10^{P_A} \ne 10 \\(5)\bigcirc: n_B=50000 \Rightarrow n_A={10^{10}\over 50000} =2\times 10^5 \Rightarrow P_A=\log (2\times 10^5) = \log 2+5=5.301\\，故選\bbox[red, 2pt]{(25)}$$

解答： $$(1)\bigcirc: g'(x)=3x^2+2x = x(3x+2)=0 \Rightarrow x=0,-3/2 \Rightarrow \cases{g(0)\lt 0\\ g(-3/2)\lt 0}\\ \qquad \Rightarrow g(x)=0恰有一實根位於(0, \infty)\\(2)\times: g(x)= x^3+x^2-2 =(x-1)(x^2+2x+2) \Rightarrow 若g(x)與f(x)公因式為 x^2+2x+2\\\qquad \Rightarrow f(x)=0不一定有實根\\(3)\bigcirc: g(x)=0唯一實根為1 \Rightarrow x=1亦為共同實根，此實根必為1 \\(4) \times:若f(x)=g(x)，則公因式即為g(x)，其最高次為3 \\(5) \bigcirc:公因式即為x^2+2x+2，最高次為2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(135)}$$

解答： $$(1)\bigcirc: (0,-3,-4)為其交點\\ (2)\bigcirc: L_2與L_3有相同的方向向量(1,3,4)\\ (3)\times: A\in L_3 \Rightarrow A(t,3t,4t),t\in \mathbb{R} \Rightarrow d(P,L)= \sqrt{t^2+(3t+3)^2+(4t+4)^2} =\sqrt{26t^2 +50t+25}\\ \qquad =\sqrt{26(t+{25\over 26})^2+ {25\over 26}} \ge \sqrt{25\over 26} \ne \overline{PQ}=5 \\(4)\bigcirc: \cases{(0,4,-3)\cdot (1,6,8)=0 \\ (0,4,-3)\cdot (1,3,4)=0} \Rightarrow \cases{L \bot L_1\\ L\bot L_2} \\(5)\bigcirc: L_1,L_2,L_3共平面E:4y-3z=0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(1245)}$$

解答： $$(1)\bigcirc: x^2+y^2-10x+9=0 \Rightarrow (x-5)^2 +y^2=16 \Rightarrow \cases{圓心P(5,0)\\ 半徑r=4} \\(2) \bigcirc: d(P,L)= \left| { 15+ 0- 15\over \sqrt{3^2+4^2}}\right| =0 \Rightarrow L過圓心 \Rightarrow 圓上的點至L最遠距離=r=4 \\(3)\times: d(P,L_1)= \left|{ 15+ 0+ 15\over \sqrt{3^2+4^2}}\right| = 6 \ne r \\(4) \bigcirc: 假設P在L_2的垂足為Q，即\overline{PQ}=d(P,L_2)= 3 \lt r=4 \Rightarrow 在\overline{PQ}上找一點R,滿足\overline{QR}=2\\\qquad 通過R且與L_2平行的直線與圓交於A,B兩點，此兩點與L_2距離等於2$$

$$(5) \times: 假設P在L_2的垂足為Q，即\overline{PQ}=d(P,L_3)= 2 = r/2=4 \Rightarrow Q=半徑\overline{PR}的中點\\\qquad 通過P且與L_3平行的直線與圓交於A,B兩點，則圓上有三點A,B,R與L_3距離等於2$$

$$，故選\bbox[red, 2pt]{(124)}$$

第 二 部 分 ： 選 填 題 （ 佔 4 0 分 ）

解答： $$\cases{A(-1,6,0)\\ B(3,-1,-2)\\ C(4,4,5)\\ D(a,b,c)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{DA}= (-1-a,6-b,-c)\\ \overrightarrow{DB} =(3-a, -1-b,-2-c)\\ \overrightarrow{DC}= (4-a,4-b,5-c)} \Rightarrow \cases{3\overrightarrow{DA}= (-3-3a,18-3b,-3c)\\ 4\overrightarrow{DB} =(12-4a, -4-4b,-8-4c)\\ 2\overrightarrow{DC}= (8-2a,8-2b,10-2c)}\\ \Rightarrow 3\overrightarrow{DA}- 4\overrightarrow{DB}+2 \overrightarrow{DC} = (-a-7,30-b,-c+18)=(0,0,0) \Rightarrow \cases{a=-7\\ b=30\\ c=18} \\ \Rightarrow D=\bbox[red,2pt]{(-7,30,18)}$$

解答： $$\cases{A在3x-y=0 \Rightarrow A(a,3a),a\in \mathbb{R}\\ B在x軸上\Rightarrow B(b,0), b\in \mathbb{R}} \Rightarrow \overline{AB}中點坐標=({a+b\over 2},{3a\over 2})=({7\over 2},6) \Rightarrow \cases{a=4\\ b=3} \\ \Rightarrow A座標\bbox[red,2pt]{(4,12)}，B座標\bbox[red, 2pt]{(3,0)}$$

解答： $$\overline{AO}=1 \Rightarrow A、B、C均在以O為圓心的單位圓上；\\\triangle OAB={1\over 2} \cdot \overline{OA} \cdot \overline{OB} \sin \angle AOB = {1\over 2}   \sin \angle AOB ={3\over 10} \Rightarrow \sin \angle AOB={3\over 5} \Rightarrow \cos \angle AOB={4\over 5}\\ 又\triangle OAB\cong \triangle OBC (SSS) \Rightarrow \angle BOC=\angle AOB \Rightarrow \angle AOC=2\angle AOB \\\Rightarrow \sin \angle AOC = 2\sin \angle AOB \cos \angle AOB =2\cdot {3\over 5} \cdot {4\over 5} ={24\over 25} \Rightarrow \triangle AOC={1\over 2}\sin \angle AOC= \bbox[red, 2pt]{12\over 25}$$

解答： $${x^2\over 8}-y^2=1 \Rightarrow \cases{a=2\sqrt 2\\ b=1} \Rightarrow c=3 \Rightarrow \cases{F_1(-3,0)\\ F_2(3,0)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{PF_1}= (1,-1)\\ \overrightarrow{PF_2}= (7,-1)} \\ \Rightarrow \cases{\vec u=\cfrac{\overrightarrow{PF_1}}{| \overrightarrow{PF_1}|}=({1\over \sqrt 2},-{1\over \sqrt 2}) \\\vec v= \cfrac{\overrightarrow{PF_2}} {| \overrightarrow{PF_2}|}=({7\over 5\sqrt 2},-{1\over 5\sqrt 2}) } \Rightarrow \vec n= \vec u+\vec v={6\over 5\sqrt 2}(2,-1) \Rightarrow 角平分線L:{x+4\over 2} ={y-1\over -1}\\ \Rightarrow x+2y+2=0 與x軸交於(\bbox[red, 2pt]{-2},0)$$

解答： $$令\cases{O(0,0,0)\\ A(2,2,1)\\ B(2,-1,-2)\\ C(3,-6,6)} \Rightarrow \cases{\overline{OA}= \overline{OB}=3\\ \overline{OC} = 9\\ \overrightarrow{OA}=(2,2,1)\\ \overrightarrow{OB}=(2,-1,-2)\\ D=C/3=(1,-2,2)} \Rightarrow \vec n=\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} =(-3,6,-6)\\ 平面E的法向量為\vec n，且通過D \Rightarrow E:-3(x-1)+6(y+2)-6(z-2)=0\\ \Rightarrow E:x-2y+2z=9 \Rightarrow (b,c,d)=\bbox[red,2pt]{(-2,2,9)}$$

解答： $$b^2=9a \Rightarrow b=3\sqrt a \Rightarrow a是一個完全平方數，且a+6\sqrt a\gt 280\\ 若\cases{a=12^2 \Rightarrow a+6\sqrt a=144+72= 216 \not \gt 280\\ a=14^2 \Rightarrow a+6\sqrt a=196+84 =280 \not 280} \Rightarrow a=15^2=\bbox[red, 2pt]{225}$$

解答： $$|\vec u|=|\vec v| \Rightarrow L的法向量=-\vec u+\vec v=(-3,-1) \Rightarrow L的方向向量=k(1,-3),k為常數\Rightarrow \vec w=(1,\bbox[red,2pt]{-3})$$

解答： $$\cases{O_1:(x-7)^2+(y-1)^2=144 \Rightarrow 圓心P(7,1),半徑r_1=12\\ O_2:(x+2)^2+(y-13)^2=9 \Rightarrow 圓心Q(-2,13),半徑r_2= 3}\\ \Rightarrow O_1與O_2切點R=(3P+12Q)/15 =(-{1\over 5},{53\over 5})\\ 依拋物線定義\cases{\overline{PR}=r_1=d(P,L)\\ \overline{QR}=r_2=d(Q,L)} \Rightarrow R(\bbox[red,2pt]{-{1\over 5},{53\over 5}})即為焦點$$

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解答僅供參考，其他歷屆試題及詳解