大學入學考試中心
九十一學年度學科能力測驗試題
第一部分:選擇題
壹、單一選擇題
解答:周長約等於170×10=1700=2πR⇒直徑2R=1700π≈541公分,故選(2)
解答:
→OP+→OQ=→OC,故選(3)
解答:P(X<60)=P(Z<60−65.245.24)=P(Z<−1)由於P(−1<Z<1)=0.68⇒P(Z<−1)=0.5−0.682=0.16⇒約有1000×0.16=160人,故選(2)
解答:(1)×:y=(x−2)2−2的圖形是凹向上,不是凹向下(2)×:sin(x)圖形在靠近x軸的弧形與圖形不合(3)×:2cos(x)的最大值出現在x=0與圖形不合(5)×:y=3−2x通過(1,1),與圖形不合,故選(4)
解答:{2a=42b=2⇒{a=2b=1⇒橢圓方程式:x24+y2=1;P在直線y=x上⇒P(a,a)代入橢圓方程式⇒a24+a2=1⇒a2=45⇒a=2√5⇒¯OP=√2a=2√2√5=2√0.4=√1.6,故選(2)
解答:前進3步後退2步⇒循環數=5⇒{P(5n)=nP(5n+1)=n+1P(5n+2)=n+2P(5n+3)=n+3P(5n+4)=n+2P(5n+5)=n+1⇒{(1)◯:P(3)=P(5⋅0+3)=3(2)◯:P(5)=P(5⋅1)=1(3)◯:P(10)=P(5⋅2)=2(4)◯:P(101)=P(5⋅20+1)=21(5)×:{P(103)=P(5⋅20+3)=23P(104)=P(5⋅20+4)=22⇒P(103)≮P(104),故選(1234)
解答:(1)×:y=0代回原式⇒2x+3z=0⇒解集合:{y=02x+3z=0(2)◯:解集合與上式相同(3)×:解集合:{y=02x+3z=0(4)◯:{x+12y+32z=0⋯(1)4x+3y+6z=0,(1)×2⇒{2x+y+3z=04x+3y+6z=0與原式相同(5)◯:{6x+4y+9z=0⋯(3)2x+y+3z=0⋯(4),(3)−3×(4)⇒y=0代回(3)⇒{y=02x+3z=0,解集合相同,故選(245)
解答:(1)×:對所有實數x而言,10x>x⇒10x=x無實數解(2)◯:令f(x)=10x−x2⇒{f(−1)=0.1−1<0f(0)=1−0>0⇒10x=x2有一根介於−1與0之間(3)◯:{10x成幾何遞增x為線性遞增⇒10x>x(4)◯:對x>0而言,10x>x2(5)◯:令g(x)=10x+x⇒{g(0)=>0g(−1)=0.1−1<0⇒10x=−x有一根介於−1與0之間,故選(2345)
解答:A=100012∑k=11.005k=1000(1.005+1.0052+1.0053+1.0054+⋯+1.00512)⋯(1)B=20006∑k=11.0052k=2000(1.0052+1.0054+⋯+1.00512)=1000(1.0052+1.0052+1.0054+1.0054+⋯+1.00512+1.00512)⋯(2)比較(1)及(2)可知:B>A;而C=12000×1.00512相當於一開始就存入12000的本利和,因此C>B>A,故選(12345)
解答:(1)◯:當△ABC為正三角形時,即∠A=∠B=∠C=60∘;(2)◯:{∠A=∠B=10∘∠C−160∘(3)×:{sinA>√3/2⇒∠A>60∘sinB>√3/2⇒∠B>60∘sinC>√3/2⇒∠C>60∘⇒∠A+∠B+∠C>180∘(4)×:sinA=sinB=sinC=1/2⇒A,B,C=30∘或150∘⇒∠A+∠B+∠C≠180∘(5)◯:{∠A=∠B=30∘∠C=120∘⇒{sinA=sinB=1/2sinC=√3/2,故選(125)
解答:(1)×:y=(x−2)2−2的圖形是凹向上,不是凹向下(2)×:sin(x)圖形在靠近x軸的弧形與圖形不合(3)×:2cos(x)的最大值出現在x=0與圖形不合(5)×:y=3−2x通過(1,1),與圖形不合,故選(4)
解答:{2a=42b=2⇒{a=2b=1⇒橢圓方程式:x24+y2=1;P在直線y=x上⇒P(a,a)代入橢圓方程式⇒a24+a2=1⇒a2=45⇒a=2√5⇒¯OP=√2a=2√2√5=2√0.4=√1.6,故選(2)
貳 、 多 重 選 擇 題
解答:abc>0⇒abc++++−−−+−−−+,又需同時符合{ab+bc+ca<0a>b>c⇒{a>0b<0c<0a+b+c>0⇒{a>|b|a>|c|⇒a2>c2,故選(145)解答:前進3步後退2步⇒循環數=5⇒{P(5n)=nP(5n+1)=n+1P(5n+2)=n+2P(5n+3)=n+3P(5n+4)=n+2P(5n+5)=n+1⇒{(1)◯:P(3)=P(5⋅0+3)=3(2)◯:P(5)=P(5⋅1)=1(3)◯:P(10)=P(5⋅2)=2(4)◯:P(101)=P(5⋅20+1)=21(5)×:{P(103)=P(5⋅20+3)=23P(104)=P(5⋅20+4)=22⇒P(103)≮P(104),故選(1234)
解答:(1)×:y=0代回原式⇒2x+3z=0⇒解集合:{y=02x+3z=0(2)◯:解集合與上式相同(3)×:解集合:{y=02x+3z=0(4)◯:{x+12y+32z=0⋯(1)4x+3y+6z=0,(1)×2⇒{2x+y+3z=04x+3y+6z=0與原式相同(5)◯:{6x+4y+9z=0⋯(3)2x+y+3z=0⋯(4),(3)−3×(4)⇒y=0代回(3)⇒{y=02x+3z=0,解集合相同,故選(245)
解答:(1)×:對所有實數x而言,10x>x⇒10x=x無實數解(2)◯:令f(x)=10x−x2⇒{f(−1)=0.1−1<0f(0)=1−0>0⇒10x=x2有一根介於−1與0之間(3)◯:{10x成幾何遞增x為線性遞增⇒10x>x(4)◯:對x>0而言,10x>x2(5)◯:令g(x)=10x+x⇒{g(0)=>0g(−1)=0.1−1<0⇒10x=−x有一根介於−1與0之間,故選(2345)
解答:A=100012∑k=11.005k=1000(1.005+1.0052+1.0053+1.0054+⋯+1.00512)⋯(1)B=20006∑k=11.0052k=2000(1.0052+1.0054+⋯+1.00512)=1000(1.0052+1.0052+1.0054+1.0054+⋯+1.00512+1.00512)⋯(2)比較(1)及(2)可知:B>A;而C=12000×1.00512相當於一開始就存入12000的本利和,因此C>B>A,故選(12345)
解答:(1)◯:當△ABC為正三角形時,即∠A=∠B=∠C=60∘;(2)◯:{∠A=∠B=10∘∠C−160∘(3)×:{sinA>√3/2⇒∠A>60∘sinB>√3/2⇒∠B>60∘sinC>√3/2⇒∠C>60∘⇒∠A+∠B+∠C>180∘(4)×:sinA=sinB=sinC=1/2⇒A,B,C=30∘或150∘⇒∠A+∠B+∠C≠180∘(5)◯:{∠A=∠B=30∘∠C=120∘⇒{sinA=sinB=1/2sinC=√3/2,故選(125)
假設圓心O,半徑r,¯AC與¯OB交於D,見上圖直角△ODC:r2=842+(r−72)2⇒r=842+722144=85
解答:{a=220−1b=219+1⇒a+b=3×219,由於219不是a的因數,也不是b的因數,因此3是兩者的最大公因數
解答:假設三年的成長率皆為a%⇒89年的營業額=6(1+a%)3=48⇒1+a%=2⇒a=100
解答:假設打了n支木椿,則9n為60的倍數⇒n=20
解答:1281→642→323→164→85→46→27→1需要獎金7∑k=11282k⋅2k−1+128=7∑k=164+128=64×7+128=576
解答:假設{P:山頂Q:山底⇒∠QAB=∠QBA=60∘⇒△QAB為正三角形⇒¯QA=¯AB=600;又{∠PQA=90∘∠PAQ=45∘¯QA=600⇒山高¯PQ=¯QA=600
解答:平均171⇒三個數字的總和=513為一奇數;九個人的身高只有163是奇數,其他均為偶數;因此抽到3人之中一定要有163,即(163,170,180),(163,172,178),(163,174,176),共三種;因此機率=3C93=384=128
解答:
解答:{a=220−1b=219+1⇒a+b=3×219,由於219不是a的因數,也不是b的因數,因此3是兩者的最大公因數
解答:假設三年的成長率皆為a%⇒89年的營業額=6(1+a%)3=48⇒1+a%=2⇒a=100
解答:假設打了n支木椿,則9n為60的倍數⇒n=20
解答:1281→642→323→164→85→46→27→1需要獎金7∑k=11282k⋅2k−1+128=7∑k=164+128=64×7+128=576
解答:假設{P:山頂Q:山底⇒∠QAB=∠QBA=60∘⇒△QAB為正三角形⇒¯QA=¯AB=600;又{∠PQA=90∘∠PAQ=45∘¯QA=600⇒山高¯PQ=¯QA=600
解答:平均171⇒三個數字的總和=513為一奇數;九個人的身高只有163是奇數,其他均為偶數;因此抽到3人之中一定要有163,即(163,170,180),(163,172,178),(163,174,176),共三種;因此機率=3C93=384=128
解答:
假設稜長為1,且F為空間原點,則{F(0,0,0)A(0,0,2/3)B(0,1,1/2)D(1,0,1/2)⇒{→AD=(1,0,−1/6)→AB=(0,1,−1/6)⇒cos∠DAB=→AD⋅→AB|→AD||→AB|=1/3637/36=137
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解答僅供參考,其他歷屆試題及詳解
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