91年大學學測-數學詳解

大學入學考試中心
九十一學年度學科能力測驗試題

第一部分：選擇題  

壹、單一選擇題 

解答：$$\sqrt{(x-1)^2+ (y-2)^2} + \sqrt{(x-3)^2 +(y-4)^2} =\sqrt{(3-1)^2 +(4-2)^2}\\ 相當於\overline{PF_1}+ \overline{PF_2}= \overline{F_1F_2}，其中\cases{P(x,y)\\ F_1(1,2)\\ F_2(3,4)} \Rightarrow P的軌跡即為\overline{F_1F_2}，而F_1,F_2皆在第一象限\\，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

解答：$$周長約等於170\times 10=1700 = 2\pi R \Rightarrow 直徑2R={1700\over \pi} \approx 541公分，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答：

$$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}= \overrightarrow{OC}，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答：$$P(X\lt 60)=P(Z\lt {60-65.24\over 5.24}) =P(Z\lt -1)\\ 由於P(-1\lt Z\lt 1)=0.68 \Rightarrow P(Z\lt -1)=0.5-{0.68\over 2}=0.16 \Rightarrow 約有1000\times 0.16=160人\\，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答：$$(1)\times: y=(x-2)^2-2的圖形是凹向上，不是凹向下\\(2)\times: \sin(x)圖形在靠近x軸的弧形與圖形不合\\(3) \times:2\cos(x)的最大值出現在x=0與圖形不合 \\(5)\times: y=3-2^x 通過(1,1)，與圖形不合\\，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答：$$\cases{2a=4\\ 2b=2} \Rightarrow \cases{a=2\\b=1} \Rightarrow 橢圓方程式:{x^2\over 4}+y^2=1;\\P在直線y=x上\Rightarrow P(a,a)代入橢圓方程式\Rightarrow {a^2\over 4}+a^2=1 \Rightarrow a^2={4\over 5} \Rightarrow a={2\over \sqrt 5} \\ \Rightarrow \overline{OP}=\sqrt 2a = {2\sqrt 2\over \sqrt 5} =2\sqrt{0.4}=\sqrt{1.6}，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

貳 、 多 重 選 擇 題

解答：$$abc \gt 0 \Rightarrow \begin{array}{} a & b& c\\\hline + & + & +\\ + & - & - \\ -& + & -\\ - & - & +\\\hline\end{array}，又需同時符合\cases{ab+bc+ca\lt 0\\ a\gt b\gt c} \Rightarrow \cases{a\gt 0\\ b\lt 0\\ c\lt 0}\\a+b+c \gt 0 \Rightarrow \cases{a\gt |b|\\ a\gt |c| \Rightarrow a^2 \gt c^2}，故選\bbox[red, 2pt]{(145)}$$

解答：$$前進3步後退2步 \Rightarrow 循環數=5 \Rightarrow \cases{P(5n)=n\\ P(5n+1)=n+1\\ P(5n+2)=n+2\\ P(5n+3)=n+3\\ P(5n+4)=n+2\\ P(5n+5)=n+1} \\\Rightarrow \cases{(1)\bigcirc:P(3)=P(5\cdot 0+3)=3\\ (2)\bigcirc: P(5)=P(5\cdot 1)=1\\ (3)\bigcirc: P(10)=P(5\cdot 2)=2\\(4)\bigcirc: P(101)=P(5\cdot 20+1)= 21 \\ (5)\times: \cases{P(103)=P(5\cdot 20+3)=23\\ P(104)=P(5\cdot 20+4)=22} \Rightarrow P(103)\not \lt P(104)}，故選\bbox[red, 2pt]{(1234)}$$

解答：$$ (1)\times: y=0代回原式\Rightarrow 2x+3z=0\Rightarrow 解集合:\cases{y=0\\ 2x+3z=0}\\ (2)\bigcirc: 解集合與上式相同\\(3) \times: 解集合:\cases{y=0\\ 2x+3z=0}\\(4)\bigcirc:\cases{x+{1\over 2}y+{3\over 2}z=0 \cdots(1)\\4x+3y+6z=0}，(1)\times 2\Rightarrow \cases{2x+ y+3z=0  \\4x+3y+6z=0} 與原式相同 \\(5)\bigcirc: \cases{6x+4y+9z=0 \cdots(3)\\ 2x+y+3z=0 \cdots(4)}, (3)-3\times (4) \Rightarrow y=0代回(3) \Rightarrow \cases{y=0\\ 2x+3z=0}，解集合相同\\，故選\bbox[red, 2pt]{(245)}$$

解答：$$(1)\times: 對所有實數x而言，10^x\gt x \Rightarrow 10^x=x無實數解\\ (2)\bigcirc:令f(x)=10^x-x^2 \Rightarrow \cases{f(-1)=0.1-1 \lt 0\\ f(0)=1-0\gt 0} \Rightarrow 10^x=x^2有一根介於-1與0之間 \\(3)\bigcirc: \cases{10^x成幾何遞增\\ x為線性遞增} \Rightarrow 10^x \gt x\\ (4)\bigcirc:對x\gt 0而言， 10^x \gt x^2\\(5) \bigcirc: 令g(x)=10^x+x \Rightarrow \cases{g(0)=\gt 0\\ g(-1)=0.1-1\lt 0} \Rightarrow 10^x=-x有一根介於-1與0之間\\，故選\bbox[red, 2pt]{(2345)}$$

解答：$$ A=1000\sum_{k=1}^{12}1.005^k =1000(1.005+1.005^2+1.005^3+1.005^4+\cdots +1.005^{12}) \cdots(1)\\ B=2000\sum_{k=1}^{6}1.005^{2k} = 2000(1.005^2 +1.005^4+ \cdots +1.005^{12}) \\=1000(1.005^2+1.005^2 +1.005^4 +1.005^4+ \cdots +1.005^{12}+1.005^{12}) \cdots(2)\\ 比較(1)及(2)可知:B\gt A;\\ 而C=12000\times 1.005^{12}相當於一開始就存入12000的本利和，因此C\gt B\gt A，故選\bbox[red, 2pt]{(12345)}$$

解答：$$(1)\bigcirc: 當\triangle ABC為正三角形時，即\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ;\\ (2)\bigcirc: \cases{\angle A=\angle B=10^\circ\\ \angle C-160^\circ} \\(3)\times: \cases{\sin A\gt \sqrt 3/2  \Rightarrow \angle A\gt 60^\circ \\\sin B\gt \sqrt 3/2  \Rightarrow \angle B\gt 60^\circ \\\sin C\gt \sqrt 3/2  \Rightarrow \angle C\gt 60^\circ} \Rightarrow \angle A+\angle B+\angle C\gt 180^\circ\\ (4) \times: \sin A=\sin B=\sin C=1/2 \Rightarrow A,B,C=30^\circ 或150^\circ \Rightarrow \angle A+\angle B+\angle C\ne 180^\circ\\(5) \bigcirc: \cases{\angle A=\angle B=30^\circ\\ \angle C=120^\circ} \Rightarrow \cases{\sin A=\sin B=1/2\\ \sin C=\sqrt 3/2}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(125)}$$

第二部分：填充題

解答：

$$假設圓心O，半徑r，\overline{AC}與\overline{OB}交於D，見上圖\\ 直角\triangle ODC: r^2=84^2+(r-72)^2 \Rightarrow r={84^2+72^2 \over 144}= \bbox[red, 2pt]{85}$$

解答：$$\cases{a=2^{20}-1\\ b=2^{19}+1} \Rightarrow a+b=3\times 2^{19}，由於2^{19}不是a的因數，也不是b的因數，\\因此\bbox[red, 2pt]{3}是兩者的最大公因數$$

解答：$$假設三年的成長率皆為a\% \Rightarrow 89年的營業額=6(1+a\%)^3=48 \Rightarrow 1+a\%=2 \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{100}$$

解答：$$假設打了n支木椿，則9n為60的倍數\Rightarrow n=\bbox[red, 2pt]{20}$$

解答：$$128\xrightarrow{1}64 \xrightarrow{2}32 \xrightarrow{3}16 \xrightarrow{4} 8 \xrightarrow{5} 4\xrightarrow{6}2 \xrightarrow{7}1\\ 需要獎金 \sum_{k=1}^7{128\over 2^k}\cdot  2^{k-1}+128 =\sum_{k=1}^764 +128=64\times 7+128 = \bbox[red, 2pt]{576}$$

解答：$$假設\cases{P:山頂\\ Q:山底} \Rightarrow \angle QAB=\angle QBA=60^\circ \Rightarrow \triangle QAB為正三角形\Rightarrow \overline{QA}= \overline{AB}=600;\\又\cases{\angle PQA=90^\circ\\ \angle  PAQ=45^\circ\\\overline{QA}=600} \Rightarrow 山高\overline{PQ}= \overline{QA} =\bbox[red, 2pt]{600}$$

解答：$$平均171 \Rightarrow 三個數字的總和=513為一奇數;九個人的身高只有163是奇數，其他均為偶數;\\ 因此抽到3人之中一定要有163，即(163,170,180), (163,172,178), (163,174,176)，共三種;\\ 因此機率={3\over C^9_3} ={3\over 84}=\bbox[red, 2pt]{1\over 28}$$

解答：

$$假設稜長為1，且F為空間原點，則\cases{F(0,0,0)\\ A(0,0,2/3)\\ B(0,1,1/2)\\ D(1,0,1/2)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AD}= ( 1,0,-1/6)\\ \overrightarrow{AB}=(0,1,-1/6)} \\ \Rightarrow \cos \angle DAB = \cfrac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}}{| \overrightarrow{AD}|| \overrightarrow{AB}|} ={1/36\over 37/36} =\bbox[red,2pt]{1\over 37}$$

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解答僅供參考，其他歷屆試題及詳解