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2022年7月30日 星期六

91年大學學測-數學詳解

大學入學考試中心
九十一學年度學科能力測驗試題

第一部分:選擇題  

壹、單一選擇題 

解答(x1)2+(y2)2+(x3)2+(y4)2=(31)2+(42)2¯PF1+¯PF2=¯F1F2{P(x,y)F1(1,2)F2(3,4)P¯F1F2F1,F2(1)
解答170×10=1700=2πR2R=1700π541(2)
解答
OP+OQ=OC(3)
解答P(X<60)=P(Z<6065.245.24)=P(Z<1)P(1<Z<1)=0.68P(Z<1)=0.50.682=0.161000×0.16=160(2)
解答(1)×:y=(x2)22(2)×:sin(x)x(3)×:2cos(x)x=0(5)×:y=32x(1,1)(4)
解答{2a=42b=2{a=2b=1:x24+y2=1;Py=xP(a,a)a24+a2=1a2=45a=25¯OP=2a=225=20.4=1.6(2)

貳 、 多 重 選 擇 題

解答abc>0abc++++++{ab+bc+ca<0a>b>c{a>0b<0c<0a+b+c>0{a>|b|a>|c|a2>c2(145)
解答3退2=5{P(5n)=nP(5n+1)=n+1P(5n+2)=n+2P(5n+3)=n+3P(5n+4)=n+2P(5n+5)=n+1{(1):P(3)=P(50+3)=3(2):P(5)=P(51)=1(3):P(10)=P(52)=2(4):P(101)=P(520+1)=21(5)×:{P(103)=P(520+3)=23P(104)=P(520+4)=22P(103)
解答 (1)\times: y=0代回原式\Rightarrow 2x+3z=0\Rightarrow 解集合:\cases{y=0\\ 2x+3z=0}\\ (2)\bigcirc: 解集合與上式相同\\(3) \times: 解集合:\cases{y=0\\ 2x+3z=0}\\(4)\bigcirc:\cases{x+{1\over 2}y+{3\over 2}z=0 \cdots(1)\\4x+3y+6z=0},(1)\times 2\Rightarrow \cases{2x+ y+3z=0  \\4x+3y+6z=0} 與原式相同 \\(5)\bigcirc: \cases{6x+4y+9z=0 \cdots(3)\\ 2x+y+3z=0 \cdots(4)}, (3)-3\times (4) \Rightarrow y=0代回(3) \Rightarrow \cases{y=0\\ 2x+3z=0},解集合相同\\,故選\bbox[red, 2pt]{(245)}
解答(1)\times: 對所有實數x而言,10^x\gt x \Rightarrow 10^x=x無實數解\\ (2)\bigcirc:令f(x)=10^x-x^2 \Rightarrow \cases{f(-1)=0.1-1 \lt 0\\ f(0)=1-0\gt 0} \Rightarrow 10^x=x^2有一根介於-1與0之間 \\(3)\bigcirc: \cases{10^x成幾何遞增\\ x為線性遞增} \Rightarrow 10^x \gt x\\ (4)\bigcirc:對x\gt 0而言, 10^x \gt x^2\\(5) \bigcirc: 令g(x)=10^x+x \Rightarrow \cases{g(0)=\gt 0\\ g(-1)=0.1-1\lt 0} \Rightarrow 10^x=-x有一根介於-1與0之間\\,故選\bbox[red, 2pt]{(2345)}
解答 A=1000\sum_{k=1}^{12}1.005^k =1000(1.005+1.005^2+1.005^3+1.005^4+\cdots +1.005^{12}) \cdots(1)\\ B=2000\sum_{k=1}^{6}1.005^{2k} = 2000(1.005^2 +1.005^4+ \cdots +1.005^{12}) \\=1000(1.005^2+1.005^2 +1.005^4 +1.005^4+ \cdots +1.005^{12}+1.005^{12}) \cdots(2)\\ 比較(1)及(2)可知:B\gt A;\\ 而C=12000\times 1.005^{12}相當於一開始就存入12000的本利和,因此C\gt B\gt A,故選\bbox[red, 2pt]{(12345)}
解答(1)\bigcirc: 當\triangle ABC為正三角形時,即\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ;\\ (2)\bigcirc: \cases{\angle A=\angle B=10^\circ\\ \angle C-160^\circ} \\(3)\times: \cases{\sin A\gt \sqrt 3/2  \Rightarrow \angle A\gt 60^\circ \\\sin B\gt \sqrt 3/2  \Rightarrow \angle B\gt 60^\circ \\\sin C\gt \sqrt 3/2  \Rightarrow \angle C\gt 60^\circ} \Rightarrow \angle A+\angle B+\angle C\gt 180^\circ\\ (4) \times: \sin A=\sin B=\sin C=1/2 \Rightarrow A,B,C=30^\circ 或150^\circ \Rightarrow \angle A+\angle B+\angle C\ne 180^\circ\\(5) \bigcirc: \cases{\angle A=\angle B=30^\circ\\ \angle C=120^\circ} \Rightarrow \cases{\sin A=\sin B=1/2\\ \sin C=\sqrt 3/2}\\,故選\bbox[red, 2pt]{(125)}

第二部分:填充題

解答


假設圓心O,半徑r,\overline{AC}與\overline{OB}交於D,見上圖\\ 直角\triangle ODC: r^2=84^2+(r-72)^2 \Rightarrow r={84^2+72^2 \over 144}= \bbox[red, 2pt]{85}
解答\cases{a=2^{20}-1\\ b=2^{19}+1} \Rightarrow a+b=3\times 2^{19},由於2^{19}不是a的因數,也不是b的因數,\\因此\bbox[red, 2pt]{3}是兩者的最大公因數
解答假設三年的成長率皆為a\% \Rightarrow 89年的營業額=6(1+a\%)^3=48 \Rightarrow 1+a\%=2 \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{100}
解答假設打了n支木椿,則9n為60的倍數\Rightarrow n=\bbox[red, 2pt]{20}
解答128\xrightarrow{1}64 \xrightarrow{2}32 \xrightarrow{3}16 \xrightarrow{4} 8 \xrightarrow{5} 4\xrightarrow{6}2 \xrightarrow{7}1\\ 需要獎金 \sum_{k=1}^7{128\over 2^k}\cdot  2^{k-1}+128 =\sum_{k=1}^764 +128=64\times 7+128 = \bbox[red, 2pt]{576}
解答假設\cases{P:山頂\\ Q:山底} \Rightarrow \angle QAB=\angle QBA=60^\circ \Rightarrow \triangle QAB為正三角形\Rightarrow \overline{QA}= \overline{AB}=600;\\又\cases{\angle PQA=90^\circ\\ \angle  PAQ=45^\circ\\\overline{QA}=600} \Rightarrow 山高\overline{PQ}= \overline{QA} =\bbox[red, 2pt]{600}
解答平均171 \Rightarrow 三個數字的總和=513為一奇數;九個人的身高只有163是奇數,其他均為偶數;\\ 因此抽到3人之中一定要有163,即(163,170,180), (163,172,178), (163,174,176),共三種;\\ 因此機率={3\over C^9_3} ={3\over 84}=\bbox[red, 2pt]{1\over 28}
解答


假設稜長為1,且F為空間原點,則\cases{F(0,0,0)\\ A(0,0,2/3)\\ B(0,1,1/2)\\ D(1,0,1/2)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AD}= ( 1,0,-1/6)\\ \overrightarrow{AB}=(0,1,-1/6)} \\ \Rightarrow \cos \angle DAB = \cfrac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}}{| \overrightarrow{AD}|| \overrightarrow{AB}|} ={1/36\over 37/36} =\bbox[red,2pt]{1\over 37}

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解答僅供參考,其他歷屆試題及詳解

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