111年新竹縣、苗栗縣、花蓮縣國小教甄-數學詳解

 111學年度中區縣市政府教師甄選策略聯盟

新竹縣、苗栗縣、花蓮縣國小教師甄選數學試題

1. 對國小低年級學童而言，下列四個比較型的加減法文字問題中，哪一個題型最難？

(A)大大有52元，已知雄哥比大大多7元，請問雄哥有多少元？

(B)小小有50元，花花有19元，請問花花比小小少多少元？

(C)明明有40元，已知明明比英英少29元，請問英英身上有多少元？

(D)貞貞有49元，已知華華比貞貞少17元，請問華華有多少元？

解答：$$前12題皆為數學課綱及教材教法相關，不再贅述，直接寫答案，本題\bbox[red,2pt]{(C)}$$

2. 有三個加減法問題如下：

甲、 小明有6顆彈珠，小華給他2顆彈珠後， 請問小明有幾顆彈珠？

乙、 小明有6顆彈珠，小華給他一些彈珠後，小明現在有8顆彈珠， 請問小華給小明幾顆彈珠？

丙、 小明有一些彈珠，小華給他2顆彈珠後，小明現在有8顆彈珠， 請問小明原來有幾顆彈珠？

請問對於大部分低年級學生而言，由易到難順序為何？

(A)甲→乙→丙 (B)甲→丙→乙 (C)丙→乙→甲 (D)乙→丙→甲

解答：$$本題\bbox[red,2pt]{(A)}$$

3. 下面除法問題中，哪個題目所代表的類型與其他三者不同？

(A) 6個同學平分成3組，每組有幾個人？ 

(B) 6個彈珠平分到3個盒子中，可裝成幾個盒子？

(C) 6個蘋果平分給3個人，每個人得到幾個蘋果？ 

(D) 6個蘋果每3個裝1包，共可分裝成幾包？

解答：$$本題\bbox[red,2pt]{(D)}$$

4. 老師想布一些「利用參照數比較分數大小」的問題進行教學，有四個布題如下：

甲、比較 \({3\over 5}\)和 \({2\over 8}\)的大小 

乙、比較 \({7 \over 8}\)和 \({6 \over 7}\)的大小 

丙、比較 \({1 \over 5}\)和 \({1 \over 6}\)的大小 

丁、比較 \({3 \over 7}\)和 \({5 \over 9}\)的大小

請問哪些問題是適合以 \({1\over 2}\)為參照數進行分數大小比較的布題？

(A)只有甲、丙 (B)只有甲、丁 (C)只有甲、丙、丁 (D)只有乙、丙、丁

解答：$$本題\bbox[red,2pt]{(B)}$$

5. 下列何者可能是分數 \({2 \over 5}\)所代表的意義？
(A) \(2\div 5\)  的結果 (B)2： 5的比值 (C)2個 \({1 \over 5}\) (D)以上都對

解答：$$本題\bbox[red,2pt]{(D)}$$

6. 和「角與角度」 有相關的單元，有三個教學活動如下：

甲、 利用量角器實測角度 乙、 三角形的三內角和是180度 丙、 透過旋轉角理解平角是180度

請問最合理的教學安排順序為何？

(A)甲→丙→乙 (B)乙→丙→甲 (C)丙→甲→乙 (D)丙→乙→甲

解答：$$本題\bbox[red,2pt]{(A)}$$

7. 在整數的四則運算中，如果有些學童只會使用「由左到右」的運算規約，則下列哪一個不適合做為診斷這一類學童的評量試題？

(A) \(24- 5\times 2- 4\) ＝( ) (B)\(10+ 2\times 6- 5\) ＝( )

(C)\(18- 8+ 3\times 3\) ＝( ) (D) \(4\times 3+ 8- 5\) ＝( )

解答：$$選項(D)剛好就是由左到右運算，無法診斷此規約，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

8. 有二個數學問題如下：
甲、 有72顆蘋果，每3顆裝1袋，每4袋裝1箱， 請問可以裝成幾箱？
乙、 有一些糖果，每3顆裝1袋，或每4顆裝1袋，都可以裝完沒有剩下， 請問糖果最少有幾顆？
請問哪些問題適合做為學習「 連除兩數相當於除以兩數之積」 的教學布題？
(A)甲、乙都適合 (B)只有甲適合 (C)只有乙適合 (D)甲、乙都不適合

解答：$$72\div 3\div 4 =72\div (3\times)，可以說成一箱12顆，可裝幾箱；故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

9. 教師要引導學童瞭解「乘法交換律」。下列哪一道問題最適合布題？
(A)哥哥有5枝鉛筆，弟弟的鉛筆數量是哥哥的6倍， 請問弟弟有幾枝鉛筆？
(B)一盒鉛筆有5枝，弟弟買了6盒， 請問弟弟有多少枝鉛筆？
(C)全班同學排隊參加升旗典禮，每一排有5人，全班排6排， 請問全班有幾人？
(D)一枝鉛筆長5公分， 小志將6枝鉛筆排成一排， 請問6枝鉛筆排出來的長度是多少公分？

解答：$$本題\bbox[red,2pt]{C)}$$

10. 在學過了加法的結合律之後，教師想讓學生經由計算練習掌握結合律對計算的方便性。有四個計算問題如下：

甲、 12＋3＋4＝？ 乙、 36＋99＋1＝？ 丙、 58＋123＋77＝？ 丁、 100＋200＋300＝？

請問哪些問題較為適合？

(A)只有甲、乙 (B)只有乙、丙 (C)只有丙、丁 (D)只有乙、丙、丁

解答：$$乙可以先算99+1、丙可以先算123+77，由此可較易計算整個答案，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

11. 有二個國小數學問題如下：

甲、 全班同學有25位，今天有6位同學請假， 請問請假人數佔全班人數的多少？

乙、 塑膠水管25公尺重6公斤，同樣材質的塑膠水管30公尺， 請問重多少公斤？

請問關於這兩題的語意類型，下列敘述何者正確？

(A)甲、乙都是比率問題 (B)甲、乙都是比例問題

(C)甲是比率問題、乙是比例問題 (D)甲是比例問題、乙是比率問題

解答：$$甲是求比率，乙是在相同比例下求重量，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

12. 若教師藉由「雞兔同籠」 的問題， 教過求解兩個數未知的數量關係後，想再命一個與「雞兔同籠」結構相似的問題讓學生練習，則下

列哪一個命題最合適？

(A)某人去書店買了紅筆和藍筆共12枝，已知1枝紅筆和1枝藍筆共22元， 請問某人各買了幾枝紅筆和藍筆？

(B)爸爸和兒子今年的年齡和為32歲，且已知爸爸12年後的年齡是兒子年齡的3倍， 請問爸爸和兒子今年各幾歲？

(C)已知紅茶一杯和綠茶一杯的價錢相同，若買2杯紅茶和3杯綠茶要付100元， 請問紅茶一杯和綠茶一杯各多少元？

(D)某人去早餐店買肉包和菜包共8個，已知一個肉包賣15元、一個菜包賣12元，若某人付了114元， 請問某人各買了幾個肉包和菜包？

解答：$$由於雞兔兩動物腳的數量不同，因此命題需找(單價)不同的物品，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

13. 有三位學生的說法如下：

甲、 爸爸的年齡和我的年齡成正比。 乙、 體積是指物體所占空間的大小。 丙、 圓面積＝半徑×圓周長之半。

請問哪幾位學生的說法是正確的？

(A)只有乙 (B)只有甲、乙 (C)只有甲、丙 (D)只有乙、丙

解答：$$爸爸與我的年齡並非正比，而是固定差距，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

14. 老師拿出一個圖形卡，如圖， 想請學生確認該圖形是否為一個扇形？

有三位學生的說法如下：

甲、把圖形對摺(A、 B兩點重合)，如果對摺後圖形完全疊合，則此圖形為扇形。

乙、拿圓規以C為圓心， AC 為半徑畫圓，若弧AB為圓的一部分，則此圖形為扇形。

丙、在弧AB上的任一點到點C的距離均相等，則此圖形為扇形。

請問哪些學生的說法正確？

(A)只有甲、乙 (B)只有甲、丙 (C)只有乙、丙 (D)甲、乙、丙

解答：$$對摺後圖形完全疊合也可能是直線，因此甲說法錯誤，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

15. 某六年級教師依據十二年國教數學課綱學習內容「 D-6-2解題：可能性」的說明，設計教學活動情境如下：

關於此情境，有兩項說法如下：

甲、 學生要瞭解「抽中紅球的可能性是 \({18 \over 20}\)，抽中白球的可能性是 \({2 \over 20}\)」

乙、 學生要瞭解「很有可能抽中紅球，不太可能抽中白球｣

請問哪些說法符合「 D-6-2解題：可能性」的學習內容？

(A)甲、乙都符合 (B)甲符合、乙不符合

(C)甲不符合、乙符合 (D)甲、乙都不符合

解答：$$依課綱內容『解題：可能性。從統計圖表資料，回答可能性問題。機
率前置經驗。\\「很有可能」、「很不可能」、「Ａ比Ｂ可能」』，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

16. 新鮮水果行販售水梨和芭樂兩種水果，水梨的定價為25元一顆，芭樂的定價為15元一顆。配合水果產季， 新鮮水果行決定推出以下三種折扣方式供顧客選擇：

$$\begin{array}{|l|}\hline 甲、不論顆數及種類，結帳時一律打八折\\\hline 乙、水梨一律打八折，芭樂每買四顆多送一顆\\\hline 丙、買兩顆水梨送一顆芭樂\\\hline \end{array}$$

若小華要購買二十顆水梨、十顆芭樂，請問選擇哪種方案最划算？

(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)三種皆相同

解答：$$\cases{甲:(20\times 25+ 10\times 15)\times 0.8=520\\ 乙:20\times 25\times 0.8 + 8\times 15=520 \\丙:20\times 25=500} \Rightarrow 丙方案最便宜，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

17. 十進位數值170若改以八進位表示時，其表示值為何？

(A) 242 (B) 243 (C) 247 (D) 252

解答：$$170= 2\times 8^2 + 5\times 8+ 2 \Rightarrow 八進位=252故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

18. 將任意一個三位數的百位數字、十位數字及個位數字，任取兩個數字可組成六個二位數。把這六個二位數相加後的和，除以此三位數的三個數字和，所得到的結果具有什麼特性？

(A) 3的倍數 (B) 5的倍數 (C) 7的倍數 (D) 11的倍數

解答：$$任意三位數:100a+ 10b+c \Rightarrow 六個二位數字\cases{10a+b\\ 10a+c \\ 10b+a\\ 10b+c\\ 10c+a \\ 10c+b}之和=22(a+b+c)\\ \Rightarrow 22(a+b+c)\div (a+b+c) =22 為11的倍數，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$(-15)\times 6\times 4^2-(-3^4)\div 9 =(-15)\times 6\times 16-(-81)\div 9 =-1440+9= -1431，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$99999^2+2^2-99998^2-1 = (99999^2-99998^2)+(2^2-1^2) \\=(99999+99998)(99999-99998)+ (2+1)(2-1) = 199997+3= 200000，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\pi \approx 3.14 \Rightarrow \cases{2\pi-6\gt 0 \Rightarrow |2\pi-6|=2\pi -6\\ 2\pi-10\lt 0 \Rightarrow |2\pi-10|=10-2\pi} \\\Rightarrow |2\pi-6|+|2\pi-10| = 2\pi-6+10-2\pi = 4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$P與6互質\Rightarrow P除以6的餘數可能為1,2,3,4,5 \Rightarrow P^2除以6的餘數可能為1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\\  \Rightarrow P^2除以6的餘數可能為1,4,3,4,1，不可能為2故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$240=2^4\times 3\times 5 \Rightarrow 240a為一完全平方數，a至少為3\times 5=15\\ 240+b為一完全平方數\Rightarrow b=16； 因此b-a=16-15=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$減號可使括弧內的數字為負，整體數字變更大故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$${1\over \sqrt{n+1}+\sqrt n} ={\sqrt{n+1}-\sqrt n\over (\sqrt{n+1}+\sqrt n)(\sqrt{n+1}-\sqrt n)} =\sqrt{n+1}-\sqrt n\\ \Rightarrow {1\over 1+\sqrt 2} +{1\over \sqrt 2+\sqrt 3}+\cdots +{1\over \sqrt{199}+\sqrt{200}} =(\sqrt 2-1)+(\sqrt 3-\sqrt 2)+\cdots +(\sqrt {200}-\sqrt{199})\\ =\sqrt{200}-1 \approx 10\times 1.414-1=13.14，故選\bbox[red,2pt]{(B))}$$

解答：$$n=k+3 代入\sum_{k=1}^5 (ak+b) = \sum_{n=4}^8(a(n-3)+b) = \sum_{n=4}^8(an +b) -3 \sum_{n=4}^8 a\\ \Rightarrow 40-3 \sum_{n=4}^8 a=-5 \Rightarrow \sum_{n=4}^8 a=15 \Rightarrow a=3 \Rightarrow \sum_{n=4}^8(an +b) =\sum_{n=4}^8(3n +b) \\ =3\cdot {12\cdot 5\over 2} + 5b=40 \Rightarrow b=- 10 \Rightarrow a+b=3-10=-7故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{a_1=3\\ a_{n+1}=a_n+3n} \Rightarrow a_n= a_{n-1}+ 3(n-1) = a_{n-2}+ 3(n-2)+ 3(n-1)= \cdots \\= a_1+ 3(1+2+\cdots +(n-1)) =3+3\cdot {n(n-1)\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{A(1,2)\\ C(-1,1)} \Rightarrow L=\overleftrightarrow{AB}:y=mx+n \Rightarrow \cases{2=m+n\\ 1=-m+n} \Rightarrow \cases{m=1/2\\ n=3/2}\Rightarrow L: y={1\over 2}x+{3\over 2} ;\\又\cases{B(a,3)\\ D(-5,b)}皆在L上 \Rightarrow \cases{3={1\over 2}a+{3\over 2}\\ b=-{5\over 2}+{3\over 2}} \Rightarrow \cases{a=3\\ b=-1} \Rightarrow y=ax+b \equiv y=3x-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$x^2+4xy+y^2 -3x-6y-4= (x+2y)^2-3(x+2y)-4 = (x+2y-4)(x+2y+1)=0\\ \Rightarrow 兩直線\cases{L_1:x+2y-4=0\\ L_2:x+2y+1=0} 距離={5\over \sqrt 5}=\sqrt 5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$9^x-4\times 3^{x+1}+27 = (3^x)^2-12\times 3^x+27=0 \Rightarrow (3^x-9)(3^x-3)=0\\ \Rightarrow \cases{3^x=9\\ 3^x=3} \Rightarrow \cases{x=2\\x=1} \Rightarrow \alpha+\beta = 2+1=3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$(2x-{1\over x^2})^8 =\sum_{n=0}^8 C^8_n \cdot (2x)^n\cdot \left({1\over x^2}\right)^{8-n} \Rightarrow n=6時，x^2係數=C^8_6 \cdot 2^6= 28\times 64=1792\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$f(x)=x^3+2x^2-7 \Rightarrow f'(x)=3x^2+4x = x(3x+4) \Rightarrow \cases{f(0)=-7為極小值\\ f(-3/4)\lt 0為極大值} \\ \Rightarrow 實根\alpha \gt 0；又\cases{f(1)\lt 0\\ f(2)\gt 0\\ f(x)遞增,x\ge 0} \Rightarrow \alpha\in (1,2)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$x=1+2i \Rightarrow x^2-2x+5=0 \Rightarrow x^2-2x+5 為x^4-x^3+ax^2+7x+b因式，\\利用長除法可得x^4-x^3+ax^2+7x+b= (x^2-2x+5)(x^2+x-1) \\\Rightarrow a=2,b=-5 \Rightarrow a+b=-3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

34. 將任意一個四邊形的四邊中點依順時鐘的順序連接後，可形成一個新的四邊形。有三個敘述如下：

甲、新的四邊形一定是平行四邊形

乙、新的四邊形面積為原來四邊形面積的一半

丙、新的四邊形周長為原來四邊形周長的一半

請問哪些敘述恆真？

(A)只有甲、乙 (B)只有乙、丙 (C)只有甲、丙 (D甲、乙、丙

解答：$$將邊長為1的正方形，各邊長中點連線形成一小正方形；\\大正方周長=4，小正方形的周長={\sqrt 2\over 2}\times 4=2\sqrt 2，並非4的一半，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

35. 下列哪一種圖形無法畫出通過該圖形每一個頂點的圓？

(A)菱形 (B)長方形 (C)直角三角形 (D)正六邊形

解答：$$菱形兩對角線不一定等長，四頂點不一定共圓，故選\bbox[red,2pt]{A)}$$

36. 如圖，點O為圓心， \(\overline{HO}\) 及 \(\overline{KO}\)為兩互相垂直的半徑， A為圓上之一點，自A向兩垂直的半徑作高，得垂足分別為B及C，若 \(\overline{AB}=8\)、\(\overline{AC}=6\) ，則斜線部分面積為何？

(A) \(100\pi- 48\)  (B) \(48\pi- 48\)

(C) \(25\pi- 48\)  (D) \(24\pi- 48\) 

解答：$$\overline{BC}=\sqrt{\overline{AC}^2 +\overline{AB}^2} =\sqrt{36+64} =10 \Rightarrow 圓半徑r=\overline{OA} =\overline{BC}= 10 \Rightarrow {1\over 4}圓={1\over 4}\cdot 10^2 \pi = 25\pi\\ \Rightarrow 斜線區域={1\over 4}圓-矩形OBAC = 25\pi-6\cdot 8=25\pi-48，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

37. 如圖， 已知正方形ABCD的邊長為1，在 \(\overline{AB}\) 邊上取一點E，使得 \(\overline{AE}={1\over 3}\)，連接D、 Ｅ 使其延長線與 \(\overline{BC}\) 的延長線相交於F；在 \(\overline{BF}\) 上取\(\overline{BG}=\overline{BE}\)，並自G作\(\overline{GH}\) 使得\(\overline{GH}\parallel \overline{BE}\)。求\(\overline{GH}\) ＝？

(A) \({1\over 2}\)  (B) \({4\over 9}\)  (C) \({5\over 9}\)  (D)  \({7\over 10}\)  

解答：

$$\overline{AB} \parallel \overline{CD} \Rightarrow \cfrac{\overline{BF}}{\overline{BF} +\overline{BC}}= \cfrac{\overline{BE}} {\overline{CD}} \Rightarrow \cfrac{\overline{BF}}{\overline{BF} +1}=\cfrac{2\over 3}{1} \Rightarrow \overline{BF}=2 \Rightarrow \overline{GF}= 2-\overline{BG}={4\over 3}\\ 同理，\overline{GH} \parallel \overline{CD} \Rightarrow \cfrac{\overline{GF}}{\overline{GF} +\overline{CG}}=\cfrac{\overline{GH}}{ \overline{CD}} \Rightarrow \cfrac{{4\over 3}}{ {4\over 3}+{5\over 3}}=\cfrac{\overline{GH}}{ 1} \Rightarrow \overline{GH}={4\over 9}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\angle ABC=120^\circ \Rightarrow \angle ADC=60^\circ \Rightarrow  \cos \angle ADC=-{1\over 2}={6^2+4^2-\overline{AC}^2 \over 2\cdot 6\cdot 4} \Rightarrow \overline{AC}^2 =76 \\ \Rightarrow \cos \angle ADC={1\over 2}={6^2+\overline{AD}^2-\overline{AC}^2\over 12\overline{AD}} \Rightarrow 6\overline{AD}= 36+\overline{AD}^2-76 \Rightarrow \overline{AD}^2-6\overline{AD}-40=0 \\ \Rightarrow (\overline{AD}-10)(\overline{AD}+4)=0 \Rightarrow \overline{AD}=10故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

39. 已知平面上有一點P(5,－ 1)且圓\(C:x^2+y^2-4x-6y+9=0\)，若圓C上與P最近的點之座標為(a,b)，則a+b之值為何？

(A) \({23\over 5}\)  (B) \({28 \over 5}\)  (C) \({23 \over 9}\)  (D)  \({28\over 9}\)

解答：$$x^2+y^2-4x-6y+9=0 \Rightarrow (x-2)^2+ (y-3)^2 = 4 \Rightarrow \cases{圓O(2,3)\\ 半徑r=2}\\ \Rightarrow \overline{OP}= \sqrt{3^2+4^2} =5 \gt r \Rightarrow 圓C與P最近的點Q(a,b)滿足{\overline{PQ}\over \overline{OR}}={5-2\over 2}={3\over 2}\\ \Rightarrow Q=(3O+2P) \div 5 =({6+10\over 5},{9-2\over 5}) =({16\over 5},{7\over 5}) \Rightarrow a+b={16+7\over 5}={23\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$假設任一圓之圓心為O，則\overline{OA}=\overline{OB}=半徑=6=\overline{AB} \Rightarrow \triangle OAB為正三角形\\ \Rightarrow \angle AOB=60^\circ \Rightarrow \stackrel{\Large{\frown}}{AB} =6\times {\pi \over 3} =2\pi  \Rightarrow 斜線部份周長=2\stackrel{\Large{\frown}}{AB} = 4\pi，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\sqrt{(x-1)^2+ (y-1)^2} +\sqrt{(x-5)^2+(y-4)^2} =k 相當於\overline{PA}+\overline{PB} =k，其中\cases{P(x,y)\\ A(1,1)\\ B(5,4)}\\ 由於圖形為一直線，即k=\overline{AB}= \sqrt{4^2+3^2}=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$由圖形可知:\cases{a\gt 0\\ b\lt 0} \Rightarrow g(x)=2a(x+b)^3 圖形滿足\cases{左下右上\\ g(-b)=0}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$E:x+y+\sqrt 2z=1 \Rightarrow \cases{A(1,0,0)\\ B(0,1,0)\\ C(0,0, 1/\sqrt 2) } \Rightarrow \cases{\vec b=\overrightarrow{AB} = (-1,1,0)\\ \vec c=\overrightarrow{AC} =(-1,0,1/\sqrt 2)} \\ \Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2} \sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot \vec b)^2} ={1\over 2}\sqrt{2\times {3\over 2}-1} ={\sqrt 2\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\vec n 即為E的法向量，因此E:a(x-1)+ b(y-2)+ c(z-3)=0故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\left| \matrix{3 & a\\ b & 7}\right|=4 \Rightarrow 21-ab=4 \Rightarrow ab=17 \Rightarrow (a,b)=(17,1)或(1,17) \Rightarrow |a-b|=16，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

46. 有一直圓柱體積為240\(\pi\)  立方公分，已知其兩個全等圓半徑為4公分，請問直圓柱的表面積為何？

(A) 92\(\pi\) 平方公分 (B)152\(\pi\) 平方公分 (C) 244\(\pi\) 平方公分 (D)304\(\pi\) 平方公分

解答：$$假設圓柱體高h \Rightarrow 體積=4^2\pi \times h=240\pi \Rightarrow h=15 \Rightarrow 表面積=2\pi \cdot 4\cdot 15+ 2\cdot 4^2\pi = 152\pi\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

47. 由於雨量不足導致缺水，自來水公司決定未來7天之中選擇2天停止供水，則自來水公司共有幾種不同的選擇方式？

(A) \({7!\over 2!}\)  (B) \({7! \over 5!}\)  (C) \({7! \over 2!5!}\)  (D)  以上皆非

解答：$$C^7_2={7!\over 2!5!}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

48. 營養師想要安排學校下週星期一至星期五的午餐規畫，他列出義大利麵、大滷麵、咖哩飯和排骨飯等四種餐點。營養師想要依據下列兩項原則安排午餐：

甲、 每天只選一種餐點，但五天中每一種餐點至少各點一次。

乙、 連續兩天的餐點不可重複且不可連續兩天吃麵食。

請問營養師共有幾種午餐規畫的安排？

(A) 52 (B) 60 (C) 76 (D) 84

解答：$$假設\cases{A:義大利麵\\B:大滷麵\\C:咖哩飯\\ D:排骨飯}，依題意求AABCD、ABBCD、ABCCD、ABCDD排列數總和\\，並符合字串不出現AB、BA、AA、BB、CC、DD；\\AABCD: 將A、A、B插入\bigcirc C\bigcirc D \bigcirc的圈圈中，共有3\times 2=6種排法;\\ ABBCD:排列數與AABCD相同，也是6種；\\ ABCCD:將A、B插入\bigcirc C\bigcirc D\bigcirc C\bigcirc的圈圈中，共有C^4_2\times 2=12種排法;\\\qquad \;\;\qquad 將A、B插入\bigcirc D\bigcirc C\bigcirc C\bigcirc的圈圈中，共有3\times 2=6種排法;\\\qquad \;\;\qquad 將A、B插入\bigcirc C\bigcirc C\bigcirc D\bigcirc的圈圈中，共有3\times 2=6種排法;\\ABCDD:排列數與ABCCD相同，也是12+6+6= 24種；\\因此共有6+6+ 24+24= 60種排法，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$P(A\cup B) =P(A) +P(B)-P(A\cap B) \Rightarrow P(A\cap B)= P(A)+ P(B)- P(A\cup B)\\={1\over 2}+{5\over 8}-{3\over 4}={3\over 8} \Rightarrow P(\bar A\cup \bar B)=1-P(A\cap B)= 1-{3\over 8}={5\over 8}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$X=出現正面的次數 \Rightarrow P(X=0)={1\over 8} \Rightarrow P(X\ge 1)=1-{1\over 8}={7\over 8}\\ P(X=2)= C^3_2\cdot {1\over 8}={3\over 8}  \Rightarrow {P(X=2)\over P(X\ge 1)} ={3\over 7}故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考，教甄歷屆試題及詳解