95年大學學測-數學詳解

大學入學考試中心九十五學年度學科能力測驗試題

第 一 部 分 ： 選 擇 題 （ 佔 5 5 分 ）

壹 、 單 選 題 （ 佔 2 5 分 ）

解答： $$\cases{O(0,0)\\ A(4,3)\\ B(4,-3)} \Rightarrow \triangle OAB ={1\over 2}\cdot \overline{AB}\cdot d(O,\overline{AB})={1\over 2}\cdot 6\cdot 4=12，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答： $$1-{同行取兩格\over 16格任取兩格} =1-\cfrac{4C^4_2}{C^{16}_2} =1-{24 \over 120} ={4\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$

解答： $$\overline{OC} =\overline{OD}\cos \angle ODC = 8\cdot {\sqrt 3\over 2} =4\sqrt 3 \Rightarrow \overline{OB}= \overline{OC} \cos \angle COB = 4\sqrt 3\cdot {\sqrt 6+\sqrt 2\over 4} =3\sqrt 2+\sqrt 6\\ \Rightarrow \overline{AB} =\overline{OB} \sin \angle BOA = (3\sqrt 2+\sqrt 6)\cdot {\sqrt 6-\sqrt 2\over 4} = \sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答： $$(1) \sqrt 3\cos 44^\circ +\sin 44^\circ = 2(\sin 60^\circ\cos 44^\circ + \cos 60^\circ \sin 44^\circ) =2\sin 104^\circ\\ (2) \sqrt 3\cos 54^\circ +\sin 54^\circ = 2\sin 114^\circ\\ (3) \sqrt 3 \cos 64^\circ  +\sin 64^\circ = 2\sin 124^\circ\\ (4) \sqrt 3\cos 74^\circ + \sin 74^\circ =2\sin 134^\circ\\ (5) \sqrt 3\cos 84^\circ + \sin 84^\circ = 2\sin 144^\circ \\ 2\sin 135^\circ = 2\cdot {\sqrt 2\over 2}=\sqrt 2 \Rightarrow 挑選最接近135^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答： $$\cfrac{3^{n/3}}{2^{n/2}} =10 \Rightarrow 3^{n/3}= 2^{n/2}\cdot 10 \Rightarrow {n\over 3}\log 3={n\over 2}\log 2+1 \Rightarrow n\left( {\log 3\over 3}-{\log 2\over 2} \right)=1 \\ \Rightarrow n= \cfrac{1}{{\log 3\over 3}-{\log 2\over 2}} =\cfrac{1}{{0.4771 \over 3}-{0.301\over 2}} =117.1875，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$

貳 、 多 選 題 （ 佔 3 0 分 ）

解答： $$\cases{a,b的最大公因數25 \Rightarrow \cases{a=25k_1\\ b=25k_2}\\ 3,4,14都是b,c的公因數\Rightarrow 最大公因數=84 \Rightarrow \cases{b=84m_1\\ c=84m_2}}\\ (1)\times: c=84m_2不一定是56的倍數 \\(2) \bigcirc: b=25k_2\cdot 84m_2= 2100 k \ge 2100\\(3) \bigcirc: a=25k_1\Rightarrow a=25,50,75,100，但\cases{50 ,100皆是2的倍數\\75 是3的倍數\\ 2,3皆是b的因數}\Rightarrow a,b的最大公因數\ne 25\\(4)\bigcirc: a,b,c的最大公因數是1,也是25的因數\\(5)\times: a,b,c的最小公倍數是25\times 3\times 2\times 7的倍數\\，故選\bbox[red, 2pt]{(234)}$$

解答： $$\sqrt{(x-2)^2+ y^2} +\sqrt{(x-2)^2 +(y+4)^2}=10 \equiv \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=10,其中\cases{P(x,y)\\ F_1(2,0)\\ F_2(2,-4)} \\(1)\bigcirc: \overline{PF_1}+\overline{PF_2}\gt \overline{F_1F_2}，為一橢圓\\(2)\times: 為橢圓非雙曲線\\(3) \bigcirc:中心=\overline{F_1F_2}中心點=(F_1+F_2)\div 2= (2,-2)\\(4)\bigcirc:該橢圓為左右型，過中心的垂直線:x=2為對稱直線 \\(5)\bigcirc: P(2,3)為短軸上頂點\\，故選\bbox[red, 2pt]{(1345)}$$

解答： $$假設等差數列a_1,a_2,a_3,a_4,公差為d\\ (1)\bigcirc: {b_n\over b_{n-1}} ={2^{a_n}\over 2^{a_{n-1}}}=2^{a_n-a_{n-1}}=2^d 為一常數\\(2)\bigcirc: 由0\lt a_1\lt 2及a_3=4 \Rightarrow d\gt 1 \Rightarrow 公比r=2^d \gt 2 \Rightarrow b_2\gt b_1 \\(3)\bigcirc: a_2 \gt {2+4\over 2}=3 \Rightarrow b_2= 2^{a_2} \gt 8\\(4) \bigcirc:a_3=4 \Rightarrow a_4\gt 5 \Rightarrow b_4=2^{a_4} \gt 2^5=32 \\(5) \bigcirc: b_2\times b_4= 2^{a_2}\times 2^{a_4} = 2^{a_2+a_4} = 2^{2a_3}=2^8=256\\，故選\bbox[red, 2pt]{(12345)}$$

解答： $$原始f(x)= 3x^3+ax^2+2x+b \Rightarrow \cases{甲生:f_1(x) =2x^3+ax^2+2x+b\\ 乙生:f_2(x)=3x^3 +ax^2-2x+b}\\ (1)\bigcirc: x\Rightarrow \cases{f_1(0)= b\\ f_2(0)=b} \Rightarrow f_1(0)=f_2(0) \\(2)\times: x-1\Rightarrow \cases{f_1(1)= 4+a+b\\ f_2(1)= 1+a+b} \Rightarrow f_1(0)\ne f_2(0) \\(3)\bigcirc: x-2\Rightarrow  \cases{f_1(2)= 20+a+b\\ f_2(2)= 20+a+b} \Rightarrow f_1(2)= f_2(2) \\(4)\times: x+1\Rightarrow  \cases{f_1(-1)= -4+a+b\\ f_2(-1)= -1+a+b} \Rightarrow f_1(2) \ne f_2(2) \\(5)\bigcirc: x+2 \Rightarrow \cases{f_1(-2)= -20+a+b\\ f_2(-2)= -20+a+b} \Rightarrow f_1(-2) = f_2(-2)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(135)}$$

解答： $$(1)\bigcirc: 在平均數之上及下各占一半\\(2)\bigcirc: P(X\gt 80)=P(Z\gt{80-55\over 12.5})=P(Z\gt 2) =1-97.5\%=2.5\%\\(3) \times: 100人的中位數為第50人與第51人的平均值，而體重55公斤以下已有20+33=53人\\(4) \bigcirc: 體重小於45公斤占20\%，因此Q_1(25\%)體重大於45公斤 \\(5)\bigcirc:體重超過85公斤已達5\%，因此超過80公斤的比例大於5\%\\，故選\bbox[red, 2pt]{(1245)}$$

解答： $$(1)\bigcirc: 4=2\times 2 \Rightarrow F(4)={2\over 2}=1\\(2)\times: 24=4\times 6 \Rightarrow F(24)={4\over 6}={2\over 3}\ne {3\over 8}\\ (3)\bigcirc: 27=3\times 9 \Rightarrow F(27)={3\over 9}={1\over 3} \\(4)\bigcirc: n是質數\Rightarrow n=1\times n \Rightarrow F(n) ={1\over n}\\ (5)\bigcirc: n是完全平方數\Rightarrow n=k^2,k\in \mathbb{Z} \Rightarrow F(n)={k\over k}=1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(1345)}$$

第 二 部 分 ： 選 填 題 （ 佔 4 5 分 ）

解答： $${男生總數\over 女生總數}={261\times 2+249+255\over 249+255+235\times 2} ={1026\over 974} \approx 1.0538={105.38\over 100} = \bbox[red, 2pt]{105}:100$$

解答： $$假設正方體邊長為1，且O為原點，即\cases{O(0,0,0)\\ A(0,0,1)\\ B(1,0,1)\\ C(1,1,1)}; \\又\cases{\overline{BM}= 2\overline{AM} \Rightarrow M=(2A+B)\div 3= (1/3,0,1)\\ N=\overline{BC}中點\Rightarrow N=(B+C)\div 2=(1,1/2,1)}  \Rightarrow \cases{\overline{OM}=\sqrt{10}/3\\ \overline{ON}= 3/2\\ \overline{MN}= 5/6} \\\Rightarrow \cos \angle MON = \cfrac{\overline{OM}^2 +\overline{ON}^2 -\overline{MN}^2}{2\cdot \overline{OM}\cdot \overline{ON}} ={8/3\over \sqrt{10}} =\bbox[red,2pt]{{4\over 15}}\sqrt{10}$$

解答：

$$令\cases{A(-6,-2)\\ B(2,-1) \\C(1,2)}，並假設Q為\overline{BC}中點\Rightarrow Q=(B+D)\div 2=(3/2,1/2)\\ \Rightarrow Q為\overline{AP}中點 \Rightarrow P=2Q-A =\bbox[red,2pt]{(9,3)}$$

解答：

$$對同弧的圓周角相等\Rightarrow \cases{\angle ACD =\angle ABD=45^\circ \\ \angle DAC=\angle DBC=30^\circ }；再用正弦定理:\cfrac{\overline{AD}}{\sin \angle ACD} =\cfrac{\overline{CD}}{ \sin \angle DAC} \\ \Rightarrow \cfrac{\overline{AD}}{\sin 45^\circ} =\cfrac{6}{ \sin 30^\circ} \Rightarrow \overline{AD}= {6\over 1/2}\cdot {\sqrt 2\over 2} =6\sqrt 2 =\sqrt{\bbox[red, 2pt]{72}}$$

解答： $$\cases{買丙、丁、戊:可送甲或乙 \Rightarrow 有3\times 2=6種組合\\ 買己、庚、辛:可送甲、乙、\cdots、戊\Rightarrow 有3\times 5=15種組合} \Rightarrow 共有6+15=\bbox[red, 2pt]{21}搭配方法$$

解答： $$類型組合有:(體育台,新聞台,綜藝台)及(體育台,綜藝台新聞台)，兩種組合;\\ 又頻道排列:\cases{體育台:2!=2\\新聞台: 3!=6 \\綜藝台: 4!=24} \Rightarrow 全部的分配方式:2\times (2\times 6\times 24)=\bbox[red, 2pt]{576}$$

解答： $$第n個圖有n個黑磁磚及5n+3個白磁磚；n=95 \Rightarrow 白磁磚需要5\times 95+3=\bbox[red, 2pt]{478}個$$

解答： $$\triangle ABC: \cos B=\cfrac{7^2+15^2-13^2}{2\cdot 7\cdot 15} ={1\over 2} \Rightarrow \angle B=60^\circ ,又\overline{BA} =\overline{BD}=13\\，因此\triangle ABD為一正\triangle \Rightarrow \overline{AD}=\bbox[red,2pt]{7}$$

解答： $$ABCD為一矩形，對角線交點P=(A+C)\div 2=(5,3)；直線將矩形等分，因此直線通過P\\，即3=m(5-7)+4 \Rightarrow m=\bbox[red,2pt]{1\over 2}$$
 

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解答僅供參考，其他歷屆試題及詳解