111年公務人員高等考試三級考試試題
類 科: 電力工程、 電子工程
科 目: 工程數學
甲、 申論題部分: ( 50 分)
解答:(一){→a=(−3,−2,1)→b=(2,4,−5)⇒平行四邊形面積=|→a×→b|=|(6,−13,−8)|=√269(二){→a=(−3,−2,1)→b=(2,4,−5)→c=(−1,−1,3)⇒六面體體積=|→a⋅(→b×→c)|=|(−3,−2,1)⋅(7,−1,2)|=|−17|=17解答:(一)y″+3y′+2y=0⇒λ2+3λ+2=0⇒(λ+2)(λ+1)=0⇒λ=−1,−2⇒齊次解yh=C1e−x+C2e−2x,其中C1,C2為常數(二)非齊次解yp=ax+b,其中a,b為常數,將yp代回原式⇒0+3a+2ax+2b=x⇒{a=1/2b=−3/4⇒yp=12x−34⇒通解y=yh+yp=C1e−x+C2e−2x+12x−34⇒y′=−C1e−x−2C2e−2x+12;再將初始值{y(0)=0y′(0)=0代入⇒{C1+C2−34=0−C1−2C2+12=0⇒{C1=1C2=−14⇒y=e−x−14e−2x+12x−34
解答:ACE牌有4張,抽到ACE的機率p=452=113,沒抽到ACE的機率=1−p=1213(一)第一次到第五次都沒抽到ACE,第六次抽到ACE的機率=(1−p)5p=125136≈0.052(二)4852×4751×4650×4549×4448×447=303654145≈0.056
解答:z=eit,0≤t≤2π⇒dz=ieitdt⇒{(一)∫Γzdz=∫2π0eitieitdt=∫2π0ie2itdt=[12e2it]|2π0=0(二)∫Γ1zdz=∫2π01eitieitdt=∫2π0idt=2πi
乙、 測驗題部分: (50 分)
解答:{A:逆時鐘旋轉60∘B:逆時鐘旋轉120∘⇒AB:逆時鐘旋轉180∘⇒AB+I=0為不可逆矩陣;即{A=[1/2−√3/2√3/21/2]B=[−1/2−√3/2√3/2−1/2]⇒{AB=[−100−1]⇒I+AB=0不可逆A+B=[0−√3√30]為可逆此例顯示A、B、A+B皆可逆,但I+AB不可逆,故選(B)解答:{A=[103226073]⇒det(A)=6B=[1−30−2415−22]⇒det(B)=−17⇒det(2ATB−1)=23⋅det(A)⋅1det(B)=8⋅6⋅1−17=−4817,故選(C)
解答:令{P=[201013110]B′=[111110100]⇒B′P=[324214201],故選(A)
解答:(A)特徵值為1,2,3(B)特徵值為2,−3±√52(C)特徵值為3,3,3,為三重根(D)特徵值為0,0,5,為二重根;(10−2000−204)=(02−12100011)(000000005)(01025015−25045),故選(C)
解答:(A)×:(1√3,1√3,−1√3)⋅(−1√2,0,1√2)=−13≠0(B)×:非單位向量(C)×:只有二個向量,故選(D)
解答:假設T=[t11t12t13t21t22t23]⇒{T[(100)]=(t11t21)=(32)T[(010)]=(t12t22)=(−40)T[(001)]=(t13t23)=(01)⇒T=[3−40201]⇒T[(321)]=(9−86+1)=(17)=(ab)⇒{a−b=−6a+b=8,故選(D)
解答:(2−224−242−16−2414)=(100−110321)(2−224024300−10−4)⇒−2x=−4⇒x=2,故選(B)
解答:|1−λ−22−λ|=λ2−λ+4=0的兩根為α,β⇒{α+β=1αβ=4⇒αβ+α+β=5,故選(C)
解答:z2−(6−2i)z+17−6i=0⇒z=6−2i±√−362=6−2i±6i2=3+2i,3−4i⇒{a=3b=2⇒a2+b2=9+4=13,故選(A)
解答:f=e−x(cosy−isiny)⇒{fx=−e−x(cosy−isiny)fy=e−x(−siny−icosy)⇒ifx=−e−x(icosy+siny)=fy⇒f為可解析,故選(C)
解答:limn→∞nn(n+1)n+1=0⇒收斂半徑R=∞,故選(B)
解答:γ(t)=eit⇒γ′(t)=ieitdt⇒∫γˉzdz=∫π01eitieitdt=∫π0idt=πi,故選(B)
解答:ex+yy′=3x⇒ex⋅eydydx=3x⇒∫eydy=∫3xe−xdx⇒ey=−3e−x(x+1)+C,故選(C)
解答:y=ax6+bx5+cx4+dx3⇒y′=6ax5+5bx4+4cx3+3dx2⇒y″=30ax4+20bx3+12cx2+6dx⇒{x2y″=30ax6+20bx5+12cx4+6dx3−9xy′=−54ax6−45bx5−36x4−27dx324y=24ax6+24bx5+24cx4+24dx3⇒x2y″−9xy′+24y=−bx5+3dx3=0⇒{b=0d=0;又{y(1)=1y′(1)=10⇒{a+b+c+d=16a+5b+4c+3d=10⇒{a+c=16a+4c=10⇒{a=3c=−2,故選(C)
解答:f(t)=L−1{s−3s2+2s+2+ss2+2s+1}=L−1{s+1(s+1)2+1−4(s+1)2+1+1s+1−1(s+1)2}=cos(t)e−t−4sin(t)e−t+e−t−te−t=e−t(cos(t)−4sin(t)−t+1)⇒{a=1b=−4c=−1d=1⇒a+b+c+d=−3,故選(A)
解答:f(t)=L−1{1s(s−1)2}=L−1{1s−1s−1+1(s−1)2}=1−et+tet⇒{f(0)=1−1+0=0f(1)=1−e+e=1,故選(D)
解答:F(ω)=∫∞−∞f(x)e−iωxdx=∫3−35e−iωxdx=[5−iωe−iωx]|3−3=5−iω(e−3ωi−e3ωi)=5iω(cos(3ω)−isin(3ω)−cos(3ω)−isin(3ω))=5iω(−2isin(3ω))=10ωsin(3ω),故選(C)
解答:{a=10/20b=8/20c=8/20⇒a+b+c=2620=1310,故選(C)
解答:全部有4張ACE、48張其它牌第一疊的機率:從4張ACE挑出1張及從48張其它牌挑出12張從52張挑出13張=C41C4812C5213第二疊的機率:從3張ACE挑出1張及從36張其它牌挑出12張從39張挑出13張=C31C3612C3913第三疊的機率:從2張ACE挑出1張及從24張其它牌挑出12張從26張挑出13張=C21C2412C2613第四疊的機率:剩下的牌就是第四疊,機率為1因此機率為C41C4812C5213×C31C3612C2613×C21C2412C2613=4⋅3⋅2⋅48!12!⋅12!⋅12!⋅12!52!13!⋅13!⋅13!⋅13!=4⋅3⋅2⋅13452⋅51⋅50⋅49=3⋅2⋅13351⋅50⋅49=3951×2650×1349=219720825,故選(D)
解答:S={0≤y≤x≤1}為一等腰直角三角形;w=yx⇒y=wx為一過原點,斜率為w的直線;因此0≤w≤1,再加fX,Y為均勻分配,E(W)=1/2,故選(A)
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考選部未公告申論題答案,解題僅供參考,其他國考試題及詳解
19. 39/51*26/50*13/49=2197/20825 故選(D)
回覆刪除謝謝, 漏了一題
刪除請問19如何算出來的 看不懂算法 感謝
回覆刪除我把它寫得詳盡一點,希望有看懂!!!
刪除懂了!感謝您!
刪除您好,想請問乙的第3題:
回覆刪除我的認知是因為P是將基底B轉至B'的轉移矩陣,所以表示為 P B = B',
因此我會認為題目所求的B的話應該為 (P^-1)B'
但看起來解答說明是直接B' P即可,想請問我的認知是在哪邊出了差錯?
謝謝,結果自己解出來了,推導過程:
刪除https://i.imgur.com/PAgeKzP.jpg
ヾ(≧▽≦*)o
刪除請問第十二題為什麼可以令Z=e^it? 一般好像要看到z等於一才能令不是嗎?謝謝您
回覆刪除這題是線積分,沿著單位半圓積分,其路徑就是(x,y)=(cos t,sin t) ,z=x+yi =e^{it}。重點是z沿著單位半圓軌跡,若圓半徑不是1,而是a,就要設z=a e^{it}
刪除感謝您的回覆 很詳細 我明白了!
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