111年高考三級-工程數學詳解

111年公務人員高等考試三級考試試題

類 科： 電力工程、 電子工程
科 目： 工程數學

甲、 申論題部分： （ 50 分）

解答： $$(一)\cases{\vec a=(-3,-2,1)\\ \vec b=(2,4,-5)} \Rightarrow 平行四邊形面積=|\vec a\times \vec b| =|(6,-13,-8)| =\bbox[red, 2pt]{\sqrt{269}}\\(二)\cases{\vec a=(-3,-2,1)\\ \vec b=(2,4,-5) \\\vec c=(-1,-1,3)} \Rightarrow 六面體體積=|\vec a\cdot (\vec b\times \vec c)|=|(-3,-2,1)\cdot (7,-1,2)|= |-17|=\bbox[red,2pt]{17}$$

解答： $$(一)y''+3y'+2y=0 \Rightarrow \lambda^2+3\lambda +2=0 \Rightarrow (\lambda+2)(\lambda+1)=0 \Rightarrow \lambda=-1,-2\\ \Rightarrow 齊次解\bbox[red, 2pt]{y_h=C_1e^{-x} +C_2e^{-2x},其中C_1,C_2為常數}\\(二)非齊次解y_p=ax+b,其中a,b為常數，將y_p代回原式\Rightarrow 0+3a+ 2ax+2b = x\\ \Rightarrow \cases{a=1/2\\ b=-3/4} \Rightarrow y_p={1\over 2}x-{3\over 4} \Rightarrow 通解y=y_h+y_p = C_1e^{-x} +C_2e^{-2x}+{1\over 2}x-{3\over 4}\\ \Rightarrow y'=-C_1e^{-x}-2C_2e^{-2x}+{1\over 2}；再 將初始值\cases{y(0)=0 \\ y'(0)=0} 代入\Rightarrow \cases{C_1+C_2-{3\over 4}=0\\ -C_1-2C_2+{1\over 2}=0} \\ \Rightarrow \cases{C_1=1\\ C_2=-{1\over 4}} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y= e^{-x}-{1\over 4} e^{-2x}+{1\over 2}x-{3\over 4}}$$

解答： $$ACE牌有4張，抽到ACE的機率p={4\over 52}={1\over 13}，沒抽到ACE的機率=1-p={12\over 13}\\(一)第一次到第五次都沒抽到ACE，第六次抽到ACE的機率=(1-p)^5p ={12^5\over 13^6} \approx \bbox[red,2pt]{0.052}\\ (二){48\over 52} \times {47\over 51} \times {46\over 50} \times {45\over 49} \times {44\over 48} \times {4\over 47} ={3036\over 54145} \approx \bbox[red,2pt]{0.056}$$

解答： $$z=e^{it}, 0\le t\le 2\pi \Rightarrow dz=ie^{it}\,dt \\\Rightarrow \cases{(一)\int_\Gamma zdz = \int_0^{2\pi} e^{it}ie^{it}\,dt =\int_0^{2\pi }ie^{2it}\,dt =\left. \left[ {1\over 2}e^{2it} \right]\right|_0^{2\pi} =\bbox[red,2pt]{0} \\[1ex] (二)\int_\Gamma{1\over z}\,dz = \int_0^{2\pi }{1\over e^{it}}ie^{it}\,dt = \int_0^{2\pi}i\,dt =\bbox[red, 2pt]{2\pi i}}$$

乙、 測驗題部分： （50 分）

解答： $$\cases{A:逆時鐘旋轉60^\circ\\ B:逆時鐘旋轉120^\circ} \Rightarrow AB:逆時鐘旋轉180^\circ \Rightarrow AB+I=0 為不可逆矩陣;\\即\cases{A=\begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt 3/2\\ \sqrt 3/2 & 1/2\end{bmatrix} \\ B=\begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt 3/2\\ \sqrt 3/2 & -1/2\end{bmatrix}} \Rightarrow \cases{AB=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0& -1\end{bmatrix} \Rightarrow I+AB=0 不可逆\\ A+B=\begin{bmatrix} 0 & -\sqrt 3\\ \sqrt 3& 0\end{bmatrix}為可逆}  \\此例顯示A、B、A+B皆可逆，但I+AB不可逆，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{A=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3\\2 & 2 & 6\\0 & 7 & 3\end{matrix}\right] \Rightarrow \det(A)=6 \\ B=\left[\begin{matrix}1 & -3 & 0\\-2 & 4 & 1\\5 & -2 & 2\end{matrix}\right] \Rightarrow \det(B)=-17} \Rightarrow \det(2A^T B^{-1}) = 2^3\cdot \det(A)\cdot {1\over \det(B)}\\ =8\cdot 6\cdot {1\over -17} =-{48\over 17}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$令\cases{P=\left[\begin{matrix}2 & 0 & 1\\0 & 1 & 3\\1 & 1 & 0\end{matrix}\right]\\[1ex] B'=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{matrix}\right]} \Rightarrow B'P =\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\\2 & 1 & 4\\2 & 0 & 1\end{matrix}\right]，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$(A) 特徵值為1,2,3\\(B)特徵值為2,{-3\pm \sqrt 5\over 2} \\(C)特徵值為3,3,3，為三重根 \\(D)特徵值為0,0,5，為二重根;\left(\begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} 0 & 2 & \frac{-1}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ \frac{-2}{5} & 0 & \frac{4}{5}\end{matrix}\right)\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$(A)\times: ({1\over \sqrt 3},{1\over \sqrt 3},-{1\over \sqrt 3})\cdot (-{1\over \sqrt 2},0,{1\over \sqrt 2}) = -{1\over 3} \ne 0\\ (B)\times: 非單位向量\\ (C)\times: 只有二個向量\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$假設T=\begin{bmatrix} t11 & t12 & t13\\ t21 & t22 & t23 \end{bmatrix}\Rightarrow \cases{ T\left[\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right] =\begin{pmatrix} t11\\ t21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix} \\ T\left[\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\right] =\begin{pmatrix} t12\\ t22\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\ 0 \end{pmatrix} \\ T\left[ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right] =\begin{pmatrix} t13\\ t23 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix} } \Rightarrow T=\begin{bmatrix} 3 & -4 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow T\left[\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \right] =\begin{pmatrix} 9-8\\ 6+1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ 7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix} \Rightarrow \cases{a-b=-6\\ a+b=8}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\left(\begin{matrix} 2 & -2 & 2 & 4 \\ -2 & 4 & 2 & -1 \\ 6 & -2 & 4 & 14 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 2 & -2 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -10 & -4\end{matrix}\right) \Rightarrow -2x=-4 \Rightarrow x=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\left|\begin{matrix} 1-\lambda & -2 \\ 2 & -\lambda\end{matrix}\right| =\lambda^2-\lambda+4=0的兩根為\alpha,\beta \Rightarrow \cases{\alpha+\beta= 1\\ \alpha\beta =4} \Rightarrow \alpha\beta+ \alpha+\beta=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$z^2-(6-2i)z+17-6i=0 \Rightarrow z={6-2i\pm \sqrt{-36}\over 2} ={6-2i\pm 6 i\over 2} = 3+2i, 3-4i\\ \Rightarrow \cases{a=3\\ b=2} \Rightarrow a^2+b^2 = 9+4=13，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$f=e^{-x}(\cos y-i\sin y) \Rightarrow \cases{f_x=-e^{-x}(\cos y-i\sin y)\\ f_y= e^{-x}(-\sin y-i\cos y)  }\Rightarrow if_x=-e^{-x}(i\cos y+\sin y) = f_y\\ \Rightarrow f 為可解析，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\lim_{n\to \infty}{n^n\over (n+1)^{n+1}} =0 \Rightarrow 收斂半徑R=\infty，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\gamma(t)=e^{it} \Rightarrow \gamma'(t)=ie^{it}\,dt \Rightarrow \int_\gamma \bar z\,dz =\int_0^\pi {1\over e^{it}} ie^{it}\, dt =\int_0^\pi  i \, dt= \pi i，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$e^{x+y} y'=3x \Rightarrow e^x\cdot e^y {dy\over dx} =3x \Rightarrow \int e^y \,dy= \int 3xe^{-x}\,dx \Rightarrow e^y= -3e^{-x}(x +1)+C，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$y=ax^6+ bx^5+cx^4 +dx^3 \Rightarrow y'=6ax^5 +5bx^4 +4cx^3+3dx^2 \Rightarrow y''=30ax^4 +20bx^3 +12cx^2+6dx \\ \Rightarrow \cases{x^2y''= 30ax^6 +20bx^5 +12cx^4+6dx^3 \\-9xy'= -54ax^6-45bx^5-36x^4-27dx^3 \\24y= 24ax^6+ 24bx^5+ 24cx^4 +24dx^3}\\ \Rightarrow x^2y''-9xy'+24y =-bx^5+3dx^3 =0 \Rightarrow \cases{b=0\\ d=0};\\ 又\cases{y(1)=1\\ y'(1)=10} \Rightarrow \cases{a+b+c+d =1\\ 6a+5b+4c+3d =10} \Rightarrow \cases{a+c=1\\ 6a+4c=10} \Rightarrow \cases{a=3\\ c=-2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{{s-3\over s^2+2s+2}+ {s\over s^2+2s+1}\} = \mathcal{L}^{-1}\{{s+1\over (s+1)^2+1}-{4\over (s+1)^2+1}+{1\over s+1}-{1\over (s+1)^2}\}  \\=\cos(t)e^{-t}-4\sin(t)e^{-t}+e^{-t}-te^{-t} =e^{-t}(\cos(t)-4\sin(t)-t+1) \Rightarrow \cases{a=1\\ b=-4\\c=-1\\ d=1}\\ \Rightarrow a+b+c+d =-3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{{1\over s(s-1)^2}\} = \mathcal{L}^{-1}\{{1\over s}-{1\over s-1}+{1\over (s-1)^2}\}  =1-e^t+te^t \\ \Rightarrow \cases{f(0)=1-1+0=0\\ f(1)=1-e+e=1}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}\,dx  = \int_{-3}^3 5e^{-i\omega x}\,dx =\left.\left[ {5\over -i\omega}e^{-i\omega x}\right]\right|_{-3}^3 ={5\over -i\omega}\left( e^{-3\omega i}-e^{3\omega i}\right) \\ ={5i\over \omega}(\cos(3\omega)-i\sin(3\omega)-\cos(3\omega)-i\sin(3\omega)) ={5i\over \omega}(-2i\sin(3\omega)) ={10\over \omega}\sin (3\omega)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{a=10/20\\ b=8/20\\ c=8/20} \Rightarrow a+b+c ={26\over 20} ={13\over 10}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$全部有4張ACE、48張其它牌\\第一疊的機率：{從4張ACE挑出1張及從48張其它牌挑出12張\over 從52張挑出13張} ={C^4_1C^{48}_{12} \over C^{52}_{13}} \\ 第二疊的機率：{從3張ACE挑出1張及從36張其它牌挑出12張\over 從39張挑出13張} ={C^3_1C^{36}_{12} \over  C^{39}_{13}} \\ 第三疊的機率：{從2張ACE挑出1張及從24張其它牌挑出12張\over 從26張挑出13張} ={C^2_1C^{24}_{12} \over  C^{26}_{13}} \\第四疊的機率：剩下的牌就是第四疊，機率為1\\ 因此機率為{C^4_1C^{48}_{12} \over C^{52}_{13}}\times {C^3_1C^{36}_{12} \over  C^{26}_{13}} \times {C^2_1C^{24}_{12} \over  C^{26}_{13}} ={{4 \cdot 3\cdot 2\cdot 48!\over 12!\cdot 12! \cdot 12! \cdot 12!} \over {52!\over 13!\cdot 13!\cdot 13!\cdot 13!}} ={4 \cdot 3\cdot 2\cdot 13^4\over 52\cdot 51\cdot 50\cdot 49 }={  3\cdot 2\cdot 13^3\over   51\cdot 50\cdot 49 }\\={39 \over 51}\times {26 \over 50} \times {13\over 49}= {2197 \over 20825}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$S=\{0\le y\le x\le 1\} 為一等腰直角三角形; w={y\over x} \Rightarrow y=wx 為一過原點，斜率為w的直線;\\ 因此0\le w\le 1，再加f_{X,Y} 為均勻分配，E(W)=1/2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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考選部未公告申論題答案，解題僅供參考，其他國考試題及詳解