111年高考三級-微積分與微分方程詳解

 111年公務人員高等考試三級考試

類 科： 核子工程
科 目： 微積分與微分方程

解答：

(一) $$f(x)=x^2-6x+10 =(x-3)^2+1 \Rightarrow \cases{最小值=f(3)=1\\ 最大值=f(0)=10} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{最小值:1\\ 最大值:10}}\\(二)\\\sum_{n=0}^\infty {(x-2)^n\over n+1} \Rightarrow \cases{a_{n+1} = {(x-2)^{n+1}\over n+2} \\[1ex] a_n= {(x-2)^n\over n+1}} \Rightarrow \lim_{n\to \infty}\left|{a_{n+1}\over a_n} \right| =\lim_{n\to \infty}\left|(x-2)\cdot {n+1\over n+2} \right| = |x-2|\lt 1 \\ \Rightarrow 1\lt x\lt 3; 檢查收斂區間兩端點:\cases{x=3 \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty {(x-2)^n\over n+1}=\sum_{n=0}^\infty {1\over n+1} 調和級數\Rightarrow 發散\\ x=1 \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty {(x-2)^n\over n+1}=\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over n+1}交錯調和級數\Rightarrow 收斂}\\ 因此，\bbox[red,2pt]{收斂半徑=1}，\bbox[red, 2pt]{收斂區間=[1,3)}$$

解答： $$球坐標\cases{x=\rho \sin \phi\cos \theta\\ y=\rho \sin \phi\sin \theta\\ z=\rho \cos \phi} \Rightarrow \iiint_B f(x,y,z) dV= \int_0^\pi \int_0^{\pi/2} \int_1^2 \rho^2 \sin \phi \,d\rho d\phi d\theta \\= \int_0^\pi \int_0^{\pi/2}  {7\over 3} \sin \phi \,  d\phi d\theta  =\int_0^\pi {7\over 3}\,d\theta = \bbox[red,2pt]{{7\over 3}\pi}$$

解答：

(一) $$f(x,y)=x^2+ y^3 \Rightarrow \nabla f=(f_x,f_y) = (2x, 3y^2) \Rightarrow \nabla f(1,-1)=\bbox[red,2pt]{(2,3)}$$ (二) $$方向導數最大值=||(2,3)|| = \sqrt{2^2+3^2} = \bbox[red, 2pt]{\sqrt{13}}$$

$$f(t)=\begin{cases} 1,& t\in [0,2)\\ 0, &t\ge 2\end{cases} \Rightarrow \mathcal{L}\{f(t)\}= F(s)= \int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt =\int_0^2 e^{-st}\,dt =\bbox[red, 2pt]{{1\over s}(1-e^{-2s})}$$ (二) $$f(t)=\begin{cases} 1,& t\in [0,2)\\ 0, &t\ge 2\end{cases} \Rightarrow \mathcal{L}\{f(t)\}= F(s)= \int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt =\int_0^2 e^{-st}\,dt ={1\over s}(1-e^{-2s})\\ y''(t)-y(t)=f(t) \Rightarrow \mathcal{L}\{y''(t)\}-\mathcal{L}\{y(t)\} =\mathcal{L}\{f(t)\} \\\Rightarrow s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) -(sY(s)-y(0))={1\over s}(1-e^{-2s}) \Rightarrow (s^2-s)Y(s) ={1\over s}(1-e^{-2s})+s-1\\ \Rightarrow Y(s)={1\over s^2(s-1)}(1-e^{-2s})+{1\over s} =\left( {1\over s-1}-{1\over s}-{1\over s^2}\right)(1-e^{-2s})+{1\over s} \\={1\over s-1}-{1\over s^2}-{1\over s-1}e^{-2s}+ {1\over s}e^{-2s} +{1\over s^2}e^{-2s} \\\Rightarrow y(t)=\mathcal{L^{-1}}\{Y(s)\} =\mathcal{L^{-1}}\{{1\over s-1}\} -\mathcal{L^{-1}}\{{1\over s^2}\} -\mathcal{L^{-1}}\{{1\over s-1}e^{-2s}\} +\mathcal{L^{-1}}\{{1\over s }e^{-2s}\} +\mathcal{L^{-1}}\{{1\over s^2 }e^{-2s}\} \\=e^t-t-u(t-2)e^{t-2}+u(t-2) +(t-2)u(t-2) \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y(t)=e^t-t+u(t-2)(t-1-e^{t-2})}$$

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考選部未公告答案，解題僅供參考，其他國考試題及詳解