96年大學學測-數學詳解

大學入學考試中心九十六學年度學科能力 測驗試題

第 一 部 分 ： 選 擇 題 （ 佔 55 分 ）
壹 、 單 選 題 （ 佔 2 5 分 ）

解答：$$只需考慮f(x)=3x，其餘部份f(5)-f(-5)為0；因此f(5)-f(-5)=15-(-15)=30\\，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答：$$直線L通過B(0,2)  \Rightarrow L=mx+2, m\in \mathbb{R}，又\cases{L通過A(-n,0) \Rightarrow mn=2 \Rightarrow m=2/n \cdots(1)\\ L通過P(7,k) \Rightarrow k=7m+2 \cdots(2)}\\ 將(1)代入(2) \Rightarrow k={14\over n}+2,其中n,k\in \mathbb{N} \Rightarrow (n,k)= (1,16),(2,9),(7,4),(14,3)，共4組\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答：$$f(t)=-t^2+10t+11 =-(t-5)^2-14 \Rightarrow \cases{最大值=f(5)=-14\\ 最小值=f(10)=-39} \\ \Rightarrow 最大溫差=-14-(-39)= 25，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答：$$\Gamma_1:{x^2\over 9} +{y^2\over 4}=1 為一橢圓，其中\cases{a=3\\ b=2} \Rightarrow \cases{右頂點R(3,0)\\ 左頂點L(-3,0)} \\ \Gamma_2:{(x+1)^2\over 16}-{y^2\over 9}=1為一雙曲線，其中\cases{中心點O(-1,0)\\ a=4\\b=3} \\ \Rightarrow \cases{右頂點=(-1+4,0) =(3,0)=R\\ 左頂點=(-1-4,0)= (-5,0)} \Rightarrow \Gamma_1與\Gamma_2相切於一點R，其餘無交點，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答：$$兩直線\cases{y=1\\ L: y={x\over 10\pi}} 相交於(10\pi, 1)，因此只要考慮區間[0,10\pi]，L與y=\sin x相交情形;\\ y=\sin x在區間[0,10\pi ] 有5個波峰，因此有10個交點，其中第一交點即為原點\\，因此在區間[-10\pi, 10\pi]，有20-1=19個交點，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

貳 、 多 選 題 （ 佔 3 0 分 ）

解答：$$(1) \bigcirc: w=2i=iz \Rightarrow z=2 \in\Gamma \\(2) \times: w=-2i=iz \Rightarrow z=-2 \not \in \Gamma\\(3)\bigcirc: w=1+i = iz \Rightarrow z={1+i\over i}=1-i \in \Gamma \\(4)\times: w=1-i=iz \Rightarrow z=-i-1 \not \in \Gamma \\(5)\bigcirc: w=-1+i=iz \Rightarrow z=1+i \in \Gamma\\，故選\bbox[red,2pt]{(135)}$$

解答：$$(1)\bigcirc: L:{x\over 4}={y\over 3} \Rightarrow L方向向量為(4,3) \Rightarrow (4,3)\bot (3,-4) \Rightarrow (3,-4)與\overrightarrow{PQ} 平行\\ (2) \bigcirc: d(P,L)={|3s-4t|\over 5} \Rightarrow \overline{PQ} = 2\cdot d(P,L)={|6s-8t|\over 5} \\(3)\times: (s,t)與(t,s)的對稱直線為y=x，不是3x=4y\\ (4)\bigcirc: 假設\overline{PQ}中點T(4a,3a) \Rightarrow Q(8a-s,6a-t) \Rightarrow 直線L'\parallel L且過Q \\\qquad\Rightarrow L':y={3\over 4}(x-8a+s)+6a-t \Rightarrow L'通過點(-s,-t)\\ (5)\bigcirc: (\overrightarrow{OP} +\overrightarrow{OQ}) \parallel L \Rightarrow (\overrightarrow{OP} +\overrightarrow{OQ})\bot \overline{PQ} \Rightarrow (\overrightarrow{OP} +\overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{PQ}=0\\，故選\bbox[red,2pt]{(1245)}$$

解答：$$(1)\bigcirc: \begin{bmatrix} 1 & 2& 3 & 7\\ 0 & 1 & 1& 2\\ 0 & 2 & 3 & 5\end{bmatrix} \underrightarrow{-2R_2+R_3} \begin{bmatrix} 1 & 2& 3 & 7\\ 0 & 1 & 1& 2\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix} \\(2)\times: 列運算無法改變全為0的行\\ (3)\times: \begin{bmatrix} 1 & 1& 2 & 5\\ 1 & -1 & 1& 2\\ 1 & 1 & 2 & 5\end{bmatrix} \underrightarrow{-R_1+R_3} \begin{bmatrix} 1 & 1& 2 & 5\\ 1 & -1 & 1& 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\(4)\times: \begin{bmatrix} 2 & 1& 3 & 6\\ -1 & 1 & 1& 0\\ -2 & 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \underrightarrow{-2R_2+R_3} \begin{bmatrix} 2 & 1& 3 & 6\\ -1 & 1 & 1& 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\(5)\bigcirc: \begin{bmatrix} 1 & 3& 2 & 7\\ 0 & 1 & 1& 2\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \underrightarrow{-R_2+ R_3,-R_2+R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2& 1 & 5\\ 0 & 1 & 1& 2\\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} \\ \qquad \underrightarrow{-2R_3+ R_1,- R_3}\begin{bmatrix} 1 & 2& 3 & 7\\ 0 & 1 & 1& 2\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\\，故選\bbox[red,2pt]{(15)}$$

解答：$$四球相切\Rightarrow 四球心P、A、B、C兩兩等距，皆為2 \Rightarrow PABC為一正面體\\(1)\bigcirc: 三球心皆與XY平面等距，皆為1\\(2)\bigcirc: 三球心A、B、C兩兩等距\Rightarrow \triangle ABC為正三角形\\ (3)\times: \overline{PA}=\overline{PB} =\overline{AB} =2\\ (4)\bigcirc: 將球心平移，使其坐標變為\cases{P(0,0,0)\\ A(\sqrt 2,0,\sqrt 2) \\ B(0,\sqrt 2,\sqrt 2)\\ C(\sqrt 2,\sqrt 2,0)} \Rightarrow \overleftrightarrow{AB}:{x-\sqrt 2\over -1}={y\over 1},z=\sqrt 2 \\ \qquad \Rightarrow d(P,\overleftrightarrow{AB})= \sqrt{(-t+\sqrt 2)^2+ t^2+2} = \sqrt{2(t-1/\sqrt 2)^2+3} =\sqrt 3\\ (5)\times: 平面E=\triangle ABC: x+y+z=2\sqrt 2 \Rightarrow d(P,E)={2\sqrt 2\over \sqrt 3} \Rightarrow P到xy平面距離=1+{2\sqrt 2\over \sqrt 3}\\，故選\bbox[red,2pt]{(124)}$$

解答：$$ (1)\bigcirc: f(3)=a^3=6 \Rightarrow a^6=36 \Rightarrow g(36)=6 \\(2)\bigcirc: \cases{{f(238)\over f(219)} ={a^{238}\over a^{219}} =a^{19} \\[1ex] {f(38) \over f(19)} ={a^{38}\over a^{19}}= a^{19}} \Rightarrow {f(238)\over f(219)} ={f(38) \over f(19)} \\(3)\times: \cases{g(238)-g(219)= \log_a 238-\log_a 219 =\log_a{238\over 219} \\ g(38)-g(19)= \log_a 38-\log_a 19= \log_a {38\over 19}=\log_a 2} \Rightarrow g(238)-g(219)\ne g(38)-g(19)\\ (4)\bigcirc: g(x)為嚴格遞增函數\Rightarrow 直線PQ斜率為正值 \\(5)\bigcirc: \cases{f,g互為反函數並對稱於直線y=x\\ y=5x與y=x/5互為反函數並對稱於直線y=x} \Rightarrow f(x)=5x與g(x)=x/5有相等數目的解\\，故選\bbox[red,2pt]{(1245)}$$

解答：$$由於\cases{f(1)=1\\ f(2)=2\\ f(5)=5} ，因此 取g(x)=f(x)-x \Rightarrow g(x)=0的三根為1,2,5\\ \Rightarrow g(x)=f(x)-x=(x-1)(x-2) (x-5) \Rightarrow f(x)=(x-1)(x-2)(x-5)+x\\ \Rightarrow \cases{f(-\infty)\lt 0\\ f(0) \lt 0\\ f(1)\gt 0\\ f(2)\gt 0\\ f(3)\lt 0\\f(5)\gt 0\\ f(\infty)\gt 0} \Rightarrow 在區間(0,1)及(2,5)有實根，故選\bbox[red,2pt]{(24)}$$

第 二 部 分 ： 選 填 題 （ 佔 4 5 分 ）

解答：$$\log_x 4-\log_2 x= {\log_2 4\over \log_2 x} -{\log_2 x\over \log_2 2} ={2\over \log_2 x}-{\log_2 x\over 1}=1 \Rightarrow {2\over \log_2 x}=1+\log_2 x\\ \Rightarrow (\log_2 x)^2+(\log_2 x)-2=0 \Rightarrow (\log_2 x+2)(\log_2 x-1)=0\\ \Rightarrow \cases{\log_2 x=-2 \Rightarrow x=\bbox[red, 2pt]{1\over 4}\\ \log_2 x=1 \Rightarrow x=2,不合,違反0\lt x\lt 1}$$

解答：$$\overrightarrow{BC} =2\overrightarrow{PC} =2(\overrightarrow{PQ}+ \overrightarrow{QC})=2(\overrightarrow{PQ}+ {1\over 2}\overrightarrow{AQ}) = 2\overrightarrow{PQ}+ \overrightarrow{AQ} =2\overrightarrow{PQ}+ \overrightarrow{AP}+ \overrightarrow{PQ} \\= 3\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PA} =3(1,5)-(4,3)= \bbox[red, 2pt]{(-1,12)}$$

解答：$$原始15位評審成績總和=15\times 76，再扣除92、45、55，求取剩下12位評審的平均分數\\，即 (15\times 76-92-45-55)\div 12 = \bbox[red, 2pt]{79}$$

解答：$$\cases{a_{13}=64\\ d=2} \Rightarrow a_1+12\times 2=64 \Rightarrow a_1=40  \Rightarrow \sum_{n=1}^{25} a_n = {(2\cdot 40+ 24\cdot 2)25 \over 2} = \bbox[red, 2pt]{1600}$$

解答：$$\angle APB=90^\circ \Rightarrow \overline{AB}為圓直徑 \Rightarrow B=-A=\bbox[red, 2pt]{\left({12\over 13},-{5\over 13} \right)}$$

解答：$$\cases{黑球帽:2(不能白衣)\times 3=6\\ 灰球帽:2(不能白衣)\times 3=6\\ 紅球帽:2(不能白衣)\times 2(不能灰鞋)=4\\ 藍球帽:3\times 3=9}\Rightarrow 共有6+6+4+9 = \bbox[red, 2pt]{25}款式$$

解答：$$P(X=k):抽中編號k的機率\Rightarrow 期望值:\sum_{k=1}^{10}kP(X=k) ={67\over 14}\\ 現在\sum_{k=1}^{10}(11-k)P(X=k) =\sum_{k=1}^{10} 11\cdot P(X=k)-\sum_{k=1}^{10}kP(X=k) =11-{67\over 14} = \bbox[red,2pt]{87\over 14}$$

解答：$$由\cases{頂點V(0,3)\\ 焦點F(0,6)} \Rightarrow x軸為準線 \Rightarrow \overline{PQ}=\overline{PF}，又\angle FPQ=60^\circ \Rightarrow \triangle FPQ為正\triangle\\ \Rightarrow \overline{FP}= \overline{FQ} \Rightarrow a^2+(b-6)^2 = a^2+6^2 \Rightarrow b=\bbox[red, 2pt]{12}$$

h

解答：

$$在\overleftrightarrow{AM}上找一點P，使得M為\overline{AP}的中點，見上圖；\\因此ABPC為一平行四邊形 \Rightarrow \cases{\overline{PB}=\overline{AB}=3  \angle ACP= 60^\circ} \\ \cos \angle ACP={1\over 2}= \cfrac{25+9-\overline{AP}^2}{2\cdot 5\cdot 3} \Rightarrow \overline{AP}= \sqrt{19}\\ \Rightarrow \cos \angle BAM= \cos \angle APC =\cfrac{19+9-25}{2\cdot 3 \cdot \sqrt{19}} =\cfrac{1}{2\sqrt{19}} \Rightarrow \sin \angle BAM= \cfrac{5\sqrt 3}{2\sqrt{19}}\\ \Rightarrow \tan \angle BAM= \bbox[red, 2pt]{5\sqrt{3}}$$

========================= END ==========================

解答僅供參考，其他歷屆試題及詳解