大學入學考試中心九十六學年度學科能力 測驗試題
第 一 部 分 : 選 擇 題 ( 佔 55 分 )
壹 、 單 選 題 ( 佔 2 5 分 )
解答:直線L通過B(0,2)⇒L=mx+2,m∈R,又{L通過A(−n,0)⇒mn=2⇒m=2/n⋯(1)L通過P(7,k)⇒k=7m+2⋯(2)將(1)代入(2)⇒k=14n+2,其中n,k∈N⇒(n,k)=(1,16),(2,9),(7,4),(14,3),共4組,故選(2)
解答:f(t)=−t2+10t+11=−(t−5)2+36⇒{最大值=f(5)=36最小值=f(10)=11⇒最大溫差=36−11=25,故選(4)
解答:Γ1:x29+y24=1為一橢圓,其中{a=3b=2⇒{右頂點R(3,0)左頂點L(−3,0)Γ2:(x+1)216−y29=1為一雙曲線,其中{中心點O(−1,0)a=4b=3⇒{右頂點=(−1+4,0)=(3,0)=R左頂點=(−1−4,0)=(−5,0)⇒Γ1與Γ2相切於一點R,其餘無交點,故選(1)
解答:兩直線{y=1L:y=x10π相交於(10π,1),因此只要考慮區間[0,10π],L與y=sinx相交情形;y=sinx在區間[0,10π]有5個波峰,因此有10個交點,其中第一交點即為原點,因此在區間[−10π,10π],有20−1=19個交點,故選(3)
貳 、 多 選 題 ( 佔 3 0 分 )
解答:(1)◯:w=2i=iz⇒z=2∈Γ(2)×:w=−2i=iz⇒z=−2∉Γ(3)◯:w=1+i=iz⇒z=1+ii=1−i∈Γ(4)×:w=1−i=iz⇒z=−i−1∉Γ(5)◯:w=−1+i=iz⇒z=1+i∈Γ,故選(135)解答:(1)◯:L:x4=y3⇒L方向向量為(4,3)⇒(4,3)⊥(3,−4)⇒(3,−4)與→PQ平行(2)◯:d(P,L)=|3s−4t|5⇒¯PQ=2⋅d(P,L)=|6s−8t|5(3)×:(s,t)與(t,s)的對稱直線為y=x,不是3x=4y(4)◯:假設¯PQ中點T(4a,3a)⇒Q(8a−s,6a−t)⇒直線L′∥L且過Q⇒L′:y=34(x−8a+s)+6a−t⇒L′通過點(−s,−t)(5)◯:(→OP+→OQ)∥L⇒(→OP+→OQ)⊥¯PQ⇒(→OP+→OQ)⋅→PQ=0,故選(1245)
解答:(1)◯:[123701120235]−2R2+R3→[123701120011](2)×:列運算無法改變全為0的行(3)×:[11251−1121125]−R1+R3→[11251−1120000](4)×:[2136−1110−2221]−2R2+R3→[2136−11100001](5)◯:[132701120101]−R2+R3,−R2+R1→[1215011200−1−1]−2R3+R1,−R3→[123701120011],故選(15)
解答:四球相切⇒四球心P、A、B、C兩兩等距,皆為2⇒PABC為一正面體(1)◯:三球心皆與XY平面等距,皆為1(2)◯:三球心A、B、C兩兩等距⇒△ABC為正三角形(3)×:¯PA=¯PB=¯AB=2(4)◯:將球心平移,使其坐標變為{P(0,0,0)A(√2,0,√2)B(0,√2,√2)C(√2,√2,0)⇒↔AB:x−√2−1=y1,z=√2⇒d(P,↔AB)=√(−t+√2)2+t2+2=√2(t−1/√2)2+3=√3(5)×:平面E=△ABC:x+y+z=2√2⇒d(P,E)=2√2√3⇒P到xy平面距離=1+2√2√3,故選(124)
解答:(1)◯:f(3)=a3=6⇒a6=36⇒g(36)=6(2)◯:{f(238)f(219)=a238a219=a19f(38)f(19)=a38a19=a19⇒f(238)f(219)=f(38)f(19)(3)×:{g(238)−g(219)=loga238−loga219=loga238219g(38)−g(19)=loga38−loga19=loga3819=loga2⇒g(238)−g(219)≠g(38)−g(19)(4)◯:g(x)為嚴格遞增函數⇒直線PQ斜率為正值(5)◯:{f,g互為反函數並對稱於直線y=xy=5x與y=x/5互為反函數並對稱於直線y=x⇒f(x)=5x與g(x)=x/5有相等數目的解,故選(1245)
解答:由於{f(1)=1f(2)=2f(5)=5,因此取g(x)=f(x)−x⇒g(x)=0的三根為1,2,5⇒g(x)=f(x)−x=(x−1)(x−2)(x−5)⇒f(x)=(x−1)(x−2)(x−5)+x⇒{f(−∞)<0f(0)<0f(1)>0f(2)>0f(3)<0f(5)>0f(∞)>0⇒在區間(0,1)及(2,5)有實根,故選(24)
第 二 部 分 : 選 填 題 ( 佔 4 5 分 )
解答:logx4−log2x=log24log2x−log2xlog22=2log2x−log2x1=1⇒2log2x=1+log2x⇒(log2x)2+(log2x)−2=0⇒(log2x+2)(log2x−1)=0⇒{log2x=−2⇒x=14log2x=1⇒x=2,不合,違反0<x<1解答:→BC=2→PC=2(→PQ+→QC)=2(→PQ+12→AQ)=2→PQ+→AQ=2→PQ+→AP+→PQ=3→PQ−→PA=3(1,5)−(4,3)=(−1,12)
解答:原始15位評審成績總和=15×76,再扣除92、45、55,求取剩下12位評審的平均分數,即(15×76−92−45−55)÷12=79
解答:{a13=64d=2⇒a1+12×2=64⇒a1=40⇒25∑n=1an=(2⋅40+24⋅2)252=1600
解答:∠APB=90∘⇒¯AB為圓直徑⇒B=−A=(1213,−513)
解答:{黑球帽:2(不能白衣)×3=6灰球帽:2(不能白衣)×3=6紅球帽:2(不能白衣)×2(不能灰鞋)=4藍球帽:3×3=9⇒共有6+6+4+9=25款式
解答:P(X=k):抽中編號k的機率⇒期望值:10∑k=1kP(X=k)=6714現在10∑k=1(11−k)P(X=k)=10∑k=111⋅P(X=k)−10∑k=1kP(X=k)=11−6714=8714
解答:由{頂點V(0,3)焦點F(0,6)⇒x軸為準線⇒¯PQ=¯PF,又∠FPQ=60∘⇒△FPQ為正△⇒¯FP=¯FQ⇒a2+(b−6)2=a2+62⇒b=12
解答:
在↔AM上找一點P,使得M為¯AP的中點,見上圖;因此ABPC為一平行四邊形⇒{¯PB=¯AB=3∠ACP=60∘cos∠ACP=12=25+9−¯AP22⋅5⋅3⇒¯AP=√19⇒cos∠BAM=cos∠APC=19+9−252⋅3⋅√19=12√19⇒sin∠BAM=5√32√19⇒tan∠BAM=5√3
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解答僅供參考,其他歷屆試題及詳解
謝謝老師的解答,真的幫助我更了解數學,對大考也不再那麼害怕了,謝謝老師您這麼用心的解答,考試會好好加油~~
回覆刪除單選3配方錯誤唷,後面是+25,最大值36,最小值11
回覆刪除不過答案是問差距所以一樣
已修訂,謝謝
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