111年嘉義縣竹崎高中及永慶高中特招-數學詳解

嘉義區嘉義縣111學年度高級中等學校特色招生考試

第一部分：選擇題（占 60 分）

解答： $$\cases{x=1\\ y=-1} \Rightarrow x+2y= 1-2=-1 \ne 1，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\left( 4\sqrt x\right)^{16} = 4^{16}x^8 = (16x)^8 = (16x)^6 \Rightarrow 16x=\pm 1 \Rightarrow x=\pm {1\over 16}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$第一題作答不同且第二題也作答不同的機率={1\over 2}\times{1\over 2}={1\over 4} \\ \Rightarrow 至少有一題作答相同的機率=1-{1\over 4}={3\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{57=19\times 3\\ 77=11\times 7} \Rightarrow 57與77都不是質數；剩下17與37皆是質數，而37較大，其倍數較少，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$合併後\cases{藍球:200\times 10\% + 400\times 20\%=100 \Rightarrow 佔比角度= 100\times 360^\circ/600=60^\circ\\ 桌球: 200\times 20\% + 400\times 40\%=200 \Rightarrow 佔比角度= 200\times 360^\circ/600=120^\circ\\ 其他:200\times 20\% + 400\times 10\%= 80 \Rightarrow 佔比角度= 80\times 360^\circ/600=48^\circ }\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$7^2+3\cdot 7+1 =71，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$彈簧原長度x公分\Rightarrow {10-x\over 6} ={11-x\over 9} \Rightarrow x=8 \Rightarrow {10-8\over 6}={y\over 30} \Rightarrow y=10，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$(A)\times: 1200是300的倍數\Rightarrow 閏年\\(B) \bigcirc: 1215=15\times 81，且1215不是300的倍數\Rightarrow 平年 \\(C)\times: 1220是5的倍數，但不是15的倍數\Rightarrow 閏年\\(D)\times: 1224是3的倍數，但不是15的倍數\Rightarrow 閏年\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{A=0\\ B=1\\ C=0} \Rightarrow \cases{A:(A+B)\cdot C = 1\cdot C=0\\ B:A+(B\cdot C) = 0+0=0 \\ C:(A\to B)\cdot C = (A\to B)\cdot 0=0\\ D: A\to (B\to C) = 0\to (B\to C) =1}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\overline{AB} =\overline{CD} =20\div 2=10，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$2^{30}=(2^{10})^3=1024^3 \gt 1000,000,000，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答：

$$一個正方形由四個全等的三角形組合而成，因此三角形三邊長分別為a、2a、\sqrt 5a，見上圖；\\又四個三角形面積+6= 邊長為\sqrt 5a的正方形面積\Rightarrow 4a^2+6 = 5a^2 \Rightarrow a^2=6，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$假設墊高a公分\Rightarrow \cases{頭頂至地面距離=162+a\\ 肚臍到地面距離=97+a} \Rightarrow {162+a\over 97+a} =1.62 \Rightarrow 0.62a= 4.86 \Rightarrow a \approx 7.84\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$a=59或60，此時正質因數為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,41,43,47,53,59，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$風間\times: \cases{x=10\\ y=100} \Rightarrow \cases{甲店得3+60=63票\\ 乙店得7+40= 47票} \Rightarrow 甲店勝出\\妮妮 \times: x+y=110 \Rightarrow \cases{x=10,y=100 \Rightarrow 甲店勝出\\ x=100,y=10 \Rightarrow 乙店勝出} \Rightarrow 結果不同\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

第二部分：選填題（占 40 分）

解答： $$(16.)1+2+\cdots + a ={a(a+1)\over 2}\ge 60 \Rightarrow a\ge 11，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}\\ (17.)1+2+\cdots +b={b(b+1)\over 2}\ge 30 \Rightarrow b\ge 8，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$(1+x)^n \approx 1+nx +{1\over 2}n(n-1)x^2 \Rightarrow (1+0.04)^5 \approx 1+ 5\cdot 0.04+{1\over 2} \cdot 5\cdot 4\cdot 0.04^2 \\ = 1.216 \to 1.22 \Rightarrow a=b=2，故(18.)選\bbox[red, 2pt]{(B)}、(19.)選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$18= 5\times 3+ 3 \Rightarrow 18\equiv 3(\mod 5) \Rightarrow \cases{n=3\\ p=5}，故(20.)選\bbox[red, 2pt]{(C)}、(21.)選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$假設正三角形邊長為x，則\cases{周長=3x\\ 面積={\sqrt 3\over 4}x^2} \Rightarrow 3x={\sqrt 3\over 4}x^2 \Rightarrow x={12\over \sqrt 3} =4\sqrt 3 \Rightarrow \cases{a=4\\ b=3}\\，故(22.)選\bbox[red, 2pt]{(B)}、(23.)選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$(24.)\cases{180公分\to 累積相對次數90\% \\165公分\to 累積相對次數40\% } \Rightarrow 合格比例:90\%-40\% = 50\%，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}\\(25.)超過180公分比例=100\%-90\%=10\%，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$(26.)甲骰子各點勝率\cases{1\to 0\\ 6\to 5/6} \Rightarrow 總和=0\cdot 3+{5\over 6}\cdot 3= 2.5 \\乙骰子各點勝率\cases{1\to 0\\ 2\to 1/6\\8\to 1} \Rightarrow 總和=0\cdot 3+{1\over 6} +1\cdot 2= 2.167 \\ 丙骰子各點勝率\cases{2\to 1/6\\ 5\to 4/6 \\ 8\to 1} \Rightarrow 總和={1\over 6}\cdot 4+{4\over 6} +1= 2.33 \\丁骰子各點勝率\cases{3\to 2/6\\ 6\to 5/6} \Rightarrow 總和={2\over 6}\cdot 5+{5\over 6} = 2.5，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}\\ (27.)甲骰子各點敗率\cases{1\to 5/6\\ 6\to 0} \Rightarrow 總和={5\over 6}\cdot 3+0\cdot 3= 2.5 \\乙骰子各點敗率\cases{1\to 5/6\\ 2\to 4/6\\8\to 0} \Rightarrow 總和={5\over 6}\cdot 3+{4\over 6} +0= 3.167 \\ 丙骰子各點敗率\cases{2\to 4/6\\ 5\to 1/6 \\ 8\to 0} \Rightarrow 總和={4\over 6}\cdot 4+{1\over 6} +0= 2.83 \\丁骰子各點敗率\cases{3\to 3/6\\ 6\to 0} \Rightarrow 總和={3\over 6}\cdot 5+ 0 = 2.5 ，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$(28.)n=5 \Rightarrow Q_3為排序第4的數字，因此取等差數列96,97,98,99,100 \Rightarrow a=99，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}\\(29.)儘量將100均分成5個數字，即1、1+24=25、25+24=49、49+24=73、73+24=97\\，因此全距=97-1=96，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$由圖形可知:\cases{內部格子點i=27\\ 邊上格子點b=17} \Rightarrow A=27+0.5\times 17-1= {52+17\over 2} ={69\over 2} \\\Rightarrow \cases{p=6\\ q=9}，故(30.)選\bbox[red, 2pt]{(A)}、(31.)選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$假設添加前總球數為a \Rightarrow \cases{大獎球數=0.05a\\ 小獎球數=0.95a}，各添加b球後\cases{大獎球數=0.05a+b\\ 小獎球數=0.95a+b}\\ \Rightarrow 抽到小獎的機率={0.95a+b\over a+2b} =87\% \Rightarrow a={37\over 4}b \Rightarrow 添加後總球數:添加前總球數 = a+2b: a \\ \Rightarrow {37\over 4}b+2b: {37\over 4}b = 45:37，故(32.)選\bbox[red, 2pt]{(B)}、(33.)選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{甲:可能是\sqrt 2,\sqrt 8\\ 乙=0\\ 丙=\sqrt 9=3\\ 丁:可能是\sqrt 2,\sqrt 8}\\(34.)，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}、(35.)選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$ ========== END ================

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