大學入學考試中心
九十二學年度學科能力測驗試題
第 一 部 分 : 選 擇 題
壹 、 單 一 選 擇 題
解答:f(x)=x3−2x2−x+5=(x−2)(x2−1)+3⇒f(2)=3而g(x)=f(f(x))=f(x)3−2f(x)2−f(x)+5⇒g(2)=33−2⋅32−3+5=11,故選(5)
解答:(4+3i)(cosθ+isinθ)=5(cosα+isinα)(cosθ+isinθ),其中{cosα=4/5sinα=3/5=5(cos(α+θ)+isin(α+θ))為小於0的實數⇒α+θ=π⇒θ為第二象限角(α為第一象限角),故選(2)
解答:→AP=15→AB+25→AC⇒15+25<1⇒P在△ABC內部;假設D=↔AP∩¯BC及→AD=t→AP=15t→AB+25t→AC,B、D、C三點在一直線上⇒15t+25t=1⇒t=53⇒{→AD=13→AB+23→AC⇒¯BD:¯DC=2:1⇒△ABD△ABC=23→AD=53→AP⇒¯AP:¯AD=3:5⇒△ABP△ABD=35⇒△ABP△ABC=23×35=25,故選(3)
解答:100(1−2−3k)=70⇒2−3k=310⇒2−k=(310)1/3因此100(1−2−Tk)=99⇒2−Tk=1100⇒2−k=(1100)1/T=(310)1/3⇒1Tlog1100=13log310⇒−2T=13(log3−1)⇒T=−6log3−1=61−0.4771≈11.475,故選(4)
貳 、 多 重 選 擇 題
解答:(1)×:L1斜率為正⇒−1/a>0⇒a<0(2)×:L1的x截距為正⇒−b>0⇒b<0(3)×:理由同(1)(4)◯:L2的x截距為負⇒−d<0⇒d>0(5)◯:L1斜率>L2斜率⇒−1a>−1c⇒a>c,故選(45)解答:假設六面體三邊長分別為α,β,γ,令{D(0,0,0)C(α,0,0)A(0,β,0)B(α,β,0)E(0,β,γ)H(0,0,γ)G(α,0,γ)F(α,β,γ)⇒J=(B+C+F+G)÷4=(α,β/2,γ/2)⇒{→AJ=(α,−β/2,γ/2)→AB=(α,0,0)→AD=(0,−β,0)→AE=(0,0,γ)⇒→AJ=a→AB+b→AD+c→AE⇒(α,−β/2,γ/2)=(aα,−bβ,cγ)⇒{a=1b=1/2c=1/2⇒{(1)◯:1/3<1/2<2/3(2)◯:a+b+c=1+1/2+1/2=2(3)◯:a=1(4)◯:{a=1c=1/2⇒a=2c(5)×:{a=1b=1/2⇒a≠b,故選(1234)
解答:(1)◯:√2>3√2⇒√2−3√2>0(2)◯:log23>log22=1⇒log23−1>0(3)×:log32<log33=1⇒log32−1<0(4)×:log1/23=log23log21/2=−log23<0(5)◯:log1/312=log1/2log1/3=log2log3>0,故選(125)
解答:(1)×:sinx+cosx=√2sin(x+α)⇒週期為2π(2)×:sinx−cosx=√2sin(x−α)⇒週期為2π(3)◯:|√2sin(x+α)|週期為π(4)◯:|√2sin(x−α)|週期為π(5)×:|sinx|與|cosx|週期為π且對稱於π/4+kπ/2⇒週期為π/2,故選(34)
解答:(1)×:若πa∥E1⇒11=−4−2=a1,不存在a滿足左式(2)◯:若πa⊥E1⇒(1,−4,a)⋅(1,−2,1)=0⇒1+8+a=0⇒a=−9存在(3)◯:|1−4a1−212−54|=5−a,只要a≠5就有一解,例a=2⇒{x=0y=−23/3z=−31/3(4)×:三平面交於一直線代表有無限多解,此時a=5,但a=5時,聯立方程式無解,因此a不存在(5)◯:如(4),a=5聯立方程式無解,即三平面無交點,故選(235)
解答:假設{−1有m個0有n個1有50−m−n個,因此{∑ai=9⇒m×(−1)+n×0+(50−m−n)=9∑(ai+1)2=107⇒m⋅02+n⋅12+(50−m−n)22=107⇒{2m+n=414m+3n=93⇒{m=15n=11
解答:3389的排列數=4!2!=12⇒試一次成功機率=112
解答:P∈Γ⇒P(a2,2a);又△ABP為一正△且¯AB在x軸上⇒{¯PA=¯AB⇒(a2−1)2+4a2=(b−1)2⋯(1)P的x坐標為A、B兩點x坐標的平均值⇒a2=(b+1)/2⋯(2)將(2)代入(1)⇒(b+12−1)2+4⋅b+12=(b−1)2⇒3b2−14b−5=0⇒(b−5)(3b+1)=0⇒b=5(−1不合,違反b>1)
解答:x29−y216=1⇒{a=3b=4⇒c=5⇒{F1(5,0)F2(−5,0);又¯PF1:¯PF2=1:3⇒{¯PF1=k¯PF2=3k,k∈R⇒3k−k=2a⇒2k=6⇒k=3⇒△F1PF2=4k+¯F1F2=12+2c=22
解答:該平面通過球心,因此相交於一個單位圓⇒cos∠NOP=→ON⋅→OP|→ON||→OP|=−1/21⋅1=−12⇒∠NOP=2π3⇒⌢NP=2π×13=23π
解答:kx2+7x+1=0{有兩相異實根⇒49−4k>0⇒k<49/4兩根之積介於5/71與6/71之間⇒5/71<1/k<6/71⇒71/6<k<71/5⇒{k≤1212≤k≤14⇒k=12
解答:
假設拱門底部中心為原點⇒{拱門右底部A(3,0)、左底部B(−3,0)左上C(−5/2,3/2)、右上D(5/2,3/2)⇒拋物線方程式y=ax2+b⇒{0=9a+b3/2=25a/4+b⇒{a=−6/11b=54/11⇒y=−611x2+5411⇒拱門高度=5411
解答:16題答對可得16×4=64分;6題在3個選項猜一題⇒{答對機率13⇒6×4×13=8答錯機率23⇒6×(−1)×23=−4;3題在5個選項猜一題{答對機率15⇒3×4×15=2.4答錯機率45⇒3×(−1)×45=−2.4期望值=64+8−4+2.4−2.4=68
解答:{E(X)=16σ(X)=3.5⇒{E(95X+32)=95E(X)+32=60.8σ(95X+32)=95σ(X)=6.3
解答:16題答對可得16×4=64分;6題在3個選項猜一題⇒{答對機率13⇒6×4×13=8答錯機率23⇒6×(−1)×23=−4;3題在5個選項猜一題{答對機率15⇒3×4×15=2.4答錯機率45⇒3×(−1)×45=−2.4期望值=64+8−4+2.4−2.4=68
解答:{E(X)=16σ(X)=3.5⇒{E(95X+32)=95E(X)+32=60.8σ(95X+32)=95σ(X)=6.3
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解答僅供參考,其他歷屆試題及詳解
不好意思,多選11題是不是發生問題了
回覆刪除修好了
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