112學年度學科能力測驗試題-數學A考科
第壹部分、選擇(填)題(占85分 )
一、單選題(占 30 分 )
解答:
{∠COE+θ=90∘∠COE+∠COD=90∘⇒∠COD=θ⇒tanθ=tan∠COD=¯CD¯CO=¯CD1=¯CD,故選(5)
解答:(sk,logtk)軌跡近乎一直線,且該直線經過(0,0)及(1,1/2)因此直線為y=x/2也就是logt=s/2 ⇒t=10s/2⇒t2=10s,故選(4)
解答:9個數字ABCDEFGHI需滿足A<B<C<D<E且E>F>G>H>I,因此E=9;接著在剩下8個數字中,任取4個數字(有C84種取法),依序由小至大作為A,B,C,D;最後剩下的4個數字再依序由大至小作為F,G,H,I;因此總共有C84=8!4!4!個九位數,故選(1)
解答:依題意(→PQ×→PR)∥(2,−3,5)⇒→PQ×→PR=k(2,−3,5)=(2k,−3k,5k),k不為0的常數(1)‖−111a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(−1,1,1)|=0(2)‖1−11a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(1,−1,1)|=|10k|(3)‖11−1a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(1,1,−1)|=|−6k|(4)‖−1−11a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(−1,−1,1)|=|6k|(5)‖−1−1−1a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(−1,−1,−1)|=|−4k|,故選(2)
解答:
解答:(sk,logtk)軌跡近乎一直線,且該直線經過(0,0)及(1,1/2)因此直線為y=x/2也就是logt=s/2 ⇒t=10s/2⇒t2=10s,故選(4)
解答:9個數字ABCDEFGHI需滿足A<B<C<D<E且E>F>G>H>I,因此E=9;接著在剩下8個數字中,任取4個數字(有C84種取法),依序由小至大作為A,B,C,D;最後剩下的4個數字再依序由大至小作為F,G,H,I;因此總共有C84=8!4!4!個九位數,故選(1)
解答:依題意(→PQ×→PR)∥(2,−3,5)⇒→PQ×→PR=k(2,−3,5)=(2k,−3k,5k),k不為0的常數(1)‖−111a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(−1,1,1)|=0(2)‖1−11a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(1,−1,1)|=|10k|(3)‖11−1a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(1,1,−1)|=|−6k|(4)‖−1−11a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(−1,−1,1)|=|6k|(5)‖−1−1−1a1b1c1a2b2c2‖=|(2k,−3k,5k)⋅(−1,−1,−1)|=|−4k|,故選(2)
解答:
將→OA縮寫成→a,即→OA⋅→OB縮寫成→a⋅→b{→a⋅{→c,→f,→g}=0→a⋅{→b,→d,→e}=1,{→b⋅→g=0→b⋅{→c,→d,→f}=1→b⋅e=2,{→c⋅{→d,→g}=0→c⋅{→e,→f}=1,{→d⋅→e=2→d⋅{→f,→g}=1,{→e⋅→f=2→e⋅→g=1,→f⋅→g=1共有{6個012個13個2⇒期望值=0+12+3⋅221=1821=67,故選(3)
二、多選題( 占30 分)
解答:假設{甲在第i月的薪資為ai−1元乙在第i月的薪資為bi−1元,且a0=b0⇒{ak=a0+200m,m=⌊k/3⌋bk=a0+1000m,m=⌊k/12⌋,k∈N(1)×:⌊8/3⌋=2⇒a8=a0+200⋅2=a0+400⇒增加400元,不是600元(2)×:{a12=a0+200⋅4=a0+800b12=a0+1000⋅1=a0+1000⇒a12<b12⇒甲比乙低(3)◯:{a18=a0+200⋅6=a0+1200b18=a0+1000⋅1=a0+1000⇒a18<b18⇒甲比乙高(4)×:{∑17i=0ai=3(a0+(a0+200)+(a0+400)+⋯+(a0+1000))=18a0+9003∑17i=0bi=12a0+(a0+1000)⋅6=18a0+6000⇒甲比乙多(5)◯:第三年:{甲薪資:1−3月:a0+1600,4−6月:a0+1800,7−9:a0+2000,10−12月:a0+2200乙薪資:a0+2000⇒甲在第三年的10,11,12月薪資比乙高,其它1−9月都小於等於乙故選(35)解答:pn=1−(1−0.1)n=1−0.9n(1)◯:{pn=1−0.9npn+1=1−0.9n+1⇒pn+1>pn(2)×:p3=1−0.93=1−0.729=0.271≠0.3(3)×:{p2−p1=(1−0.92)−(1−0.9)=0.9−0.92p3−p2=(1−0.93)−(1−0.92)=0.92−0.93⇒p2−p1≠p3−p2⇒非等差(4)◯:{第1次未中獎且第2次中獎機率=0.9⋅0.1=0.09p2−p1=1−0.92−(1−0.9)=0.9−0.92=0.09(5)×:至少中2次=全部-全沒中-只中1次=1−0.9n−Cn1⋅0.1⋅0.9n−1≠2pn,故選(14)
解答:令S(n)=log3a1−log3a2+log3a3−⋯+(−1)n+1log3an(1)×:n=23⇒S(23)=log3a1⋅a3⋯a23a2⋅a4⋯a22=log3312(3√3)2+4+⋯+22311(3√3)1+3+⋯+21=log33(3√3)11=log3335/2=352≯18(2)×:S(24)=S(23)−log3a24=352−log33(3√3)23<S(23)<18(3)◯:S(25)=S(23)−log3a24+log3a25=352+log3a25a24=352+32=19>18(4)×:S(26)=S(25)−log3a26=19−log331+32⋅25=19−772<18(5)◯:S(27)=S(25)−log3a26+log3a27=19+32>18,故選(35)
解答:(1)◯:k=4⇒L:5y+4x=40通過A(10,0)(2)×:C(0,6)代入L⇒30−10k=0⇒k=3⇒5y+2x=30⇒y=−25x+6⇒斜率=−25≠−52(3)◯:{經過C點⇒k=3經過O點⇒k=0⇒0≤k≤3(4)×:k=12⇒L:5y−3x=5與x=10交於(10,7)∉¯AB(5)◯:L斜率=4−2k5=310⇒k=54⇒L:5y−32x=252與x=10交於(10,112)∈¯AB,故選(135)
解答:A=[cos(−90∘)−sin(−90∘)sin(−90∘)cos(−90∘)]=[01−10]B=[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘]=[0−110]x=y⇒斜率=1=tan45∘⇒C=[cos90∘sin90∘sin90∘−cos90∘]=[0110]x=−y⇒斜率=−1=tan(−45∘)⇒D=[cos−90∘sin−90∘sin−90∘−cos(−90∘)]=[0−1−10](1)×:{[01−10][10]=[0−1][0110][10]=[01]⇒[0−1]≠[01](2)◯:−B=−[0−110]=[01−10]=A⇒A=−B(3)×:D−1=[0−1−10]−1=[0−1−10]=D≠C(4)×:{AB=[1001]CD=[−100−1]⇒AB≠CD(5)◯:AC=[100−1]=BD,故選(25)
解答:(1)◯:f(x)=2(cosπ3sinx+sinπ3cosx)=2sin(x+π3)⇒其中之一的對稱軸x+π3=π2⇒x=π6(2)×:{x+π/3=π/2x+π/3=0皆可為對稱軸,此時{a=π/6b=−π/3⇒f(a)≠f(b)(3)×:f(x)的週期為2π,因此有兩個x滿足f(x)=√3(4)×:f(x)=12⇒sin(x+π3)=14,假設sin(x1+π/3)=sin(x2+π/3)=1/4,其中0<x1<x2<2π⇒{sin(π/2+π/3)=12>14且f(x)遞減,x∈[π/2,2π/3]⇒x1>π/2sin(3π/2+π/2)=0<14且f(x)遞增,x∈[3π/2,2π]⇒x2>3π/2⇒x1+x2>2π(5)◯:4sin2x2=2(1−cosx)=2(1−sin(π2−x))=2+2sin(x−π2)向下平移2→2sin(x−π2)向左平移5π/6→2sin(x−π2+5π6)=2sin(x+π3)=f(x),故選(15)
三、選填題( 占25 分)
解答:假設{果汁每杯x元奶茶每杯y元咖啡每杯z元,則{60x+80y+50z=1290030x+40y+30z=685050x+70y+40z=10800⇒{6x+8y+5z=12903x+4y+3z=6855x+7y+4z=1080⇒z=|68129034685571080||685343574|=−80−1=80解答:ax2+(2a+b)x−12=a(x2+(2−a)x−2a)+6⇒{2a+b=a(2−a)−12=−2a2+6⇒{a2+b=0⋯(1)a2=9⋯(2),由(2)得a=3(a>0,a≠−3)代入(1)⇒b=−9⇒(a,b)=(3,−9)
解答:35+25=1⇒{C∈¯AB¯AC:¯CB=2:3⇒令{¯AC=2k¯BC=3k假設¯BD=a,再由3¯AD=8¯BD⇒3(2k+3k+a)=8a⇒a=3k⇒B為¯CD中點⇒¯OB為△OCD的中線定理⇒{¯OC2+¯OD2=2(¯BC2+¯OB2)¯OC2+¯OD2=¯CD2⇒2(9k2+¯OB2)=(6k)2⇒¯OB=3k;再加上¯OA2+¯OB2=¯AB2⇒¯OA2+9k2=(2k+3k)2⇒¯OA=4k因此¯OB¯OA=3k4k=34
解答:假設P在E的投影點為Q⇒Q=(a,b,2−a)⇒¯QA=¯QB=¯QC⇒(a−2)2+(b+1)2+(2−a)2=a2+(b−1)2+(−a)2=(a+2)2+(b−1)2+(−a−2)2⇒{a=−1b=−4⇒Q(−1,−4,3)⇒過Q且方向向量為(1,0,1)的直線L:(−1,−4,3)+t(1,0,1)=(−1+t,−4,3+t)⇒L與平面z=1的交點P=(−3,−4,1)⇒P與E的距離=|−2−2√1+1|=2√2
解答:{T∈L1⇒T=(1+t,1−t,2+t)S∈L2⇒S=(2+2s,5+s,6−s)⇒→n=→TS=(2s−t+1,s+t+4,−s−t+4)⇒{→n⋅(1,−1,1)=0→n⋅(2,1,−1)=0⇒{s=−1/3t=1/3⇒{T=(4/3,2/3,7/3)S=(4/3,14/3,19/3)又{¯PT=3¯QS=3⇒{P=T+√3(1,−1,1)Q=S+√62(2,1,−1)⇒¯PQ=√50=5√2
解答:餘弦定理:cosθ=¯OA2+¯OP2−¯AP22⋅¯OA⋅¯OP=1+¯OP2−12¯OP=¯OP2⇒¯OP=2cosθ,故選(4)
解答:cos∠QOB=cos(90∘−θ)=sinθ=35⇒35=¯OB2+¯OQ2−¯BQ22⋅¯OQ⋅¯OB=¯OQ4⇒¯OQ=125⇒Q(−¯OQcos∠QOB,¯OQsin∠QOB)=(−125⋅35,125⋅45)=(−3625,4825)又{∠A=180∘−2θ∠B=180∘−2(90∘−θ)=2θ⇒∠A+∠B=180∘⇒¯AP∥¯BQ,再加上{¯BQ=¯OB=2¯AP=¯OA=1,即¯BQ=2¯AQ;因此由{¯AP∥¯BQ¯BQ=2¯AQ可得→BQ=2→AP
解答:↔BQ斜率=4825÷(2−3625)=247⇒↔BQ:y=247(x+2)⇒24x−7y+48=0⇒d(A,↔BQ)=24+48√242+72=7225PABQ面積=△OAP+△OPQ+△OBQ=12(¯OA⋅¯OPsinθ+¯OP⋅¯OQ+¯OB⋅¯BQsin(2θ))=12(85⋅35+85⋅125+2⋅2⋅(2⋅35⋅45))=10825
======================= END =========================
20題BQ的斜率有問題
回覆刪除謝謝提醒,已修訂完畢
刪除選填題13題的z,分子的行列式第(1,3)有問題
回覆刪除少了一個零,已修訂,謝謝!
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