112年大學學測-數學B詳解

112學年度學科能力測驗試題-數學B考科

第壹部分、選擇（填）題（占85分 ）
一、單選題（占 35 分 ）

解答： $$y=k\cdot x^3，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

解答： $$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1& 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a& b \\ c& d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c &d \\ a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c &-2d \\ a & -2b \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -9 & -7 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \cases{c=3\\ -2b=-7} \Rightarrow c-2b= 3-7=-4，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答：

$$\cases{繩長\overline{AC}\\ 水平距離\overline{AB}=150} \Rightarrow \overline{AB}= \overline{AC}\cos 22^\circ \Rightarrow \overline{AC}= {150\over \cos 22^\circ}，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答： $$N=29 \Rightarrow \cases{29\cdot 0.25=7.25 \Rightarrow 排名第8的分數=41\\ 29\cdot 0.5=14.5 \Rightarrow 排名第15的分數=60\\ 29\cdot 0.75=21.75 \Rightarrow 排名第22的分數=74\\ 29\cdot 0.95=27.55 \Rightarrow 排名第28的分數=92}\\ 排名較高前15的分數各加5分，即由小至大排名第15至第29各加5分;\\因此上述各百分比成績除了41不變外，其它各加5分，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答： $$(1)奇數有50個\\(2)質數有25個\\(3) 7的倍數有\lfloor {100\over 7}\rfloor=14個 \\(4)5的倍數有20個,不是5的倍數有100-20=80個\\ (5)小於10有9個\\挑數字最小的，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$

解答： $$g(x)=af(x)-3x-17 \Rightarrow f(x)={1\over a}(g(x)+3x+17) =x^3+{b\over a}x^2+{c+3\over a}x + {d+17\over a}\\ \Rightarrow \cases{a=b/a\\ b=(c+3)/a\\ c=(d+17)/a},只虛考慮a=b/a \Rightarrow b=a^2 \Rightarrow \cases{f(x)的x^2係數=a\\ g(x)的x^2係數=a^2\\ 商數=1/a} \\\Rightarrow 餘式沒有x^2項,即p=0，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答： $$立體圖待繪，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

二 、 多 選 題 （ 占 25 分 ）

解答： $$(1)\times: \lfloor {30\over 15}\rfloor =2偶數 \\(2)\bigcirc:  \lfloor {30\over 10}\rfloor=3奇數 \\(3)\times:  \lfloor {30\over 8}\rfloor=3 奇數，但B廣告已經播了6分鐘，不是恰好開始 \\(4)\bigcirc \lfloor {30\over 6}\rfloor =5奇數 \\(5) \times:\lfloor {30\over 5}\rfloor =6偶數\\，故選\bbox[red, 2pt]{(24)}$$

解答： $$(1)\times: 若d=(-a-b) \Rightarrow a+b+c+d= 2\sqrt{10}為無理數 \\(2)\times: 若d=0 \Rightarrow abcd=0為有理數 \\(3)\bigcirc: 若d=-6 \Rightarrow \overline{CD}= |-6-2\sqrt{10}|= 2\sqrt{10}+6 \\(4) \bigcirc: \cases{(a+b)/2\approx 9.66 \\c=2\sqrt{10}\approx 6.XX} \Rightarrow A,B中點位於C的右方 \\ (5)\bigcirc: 開區間:(b-8,b+8)=(-4/3,44/3)包含整數-1,0,1,2,\dots,14 \Rightarrow \cases{正整數有14個\\ 負整數有1個\\ 還有1個0}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(345)}$$

解答： $$(1)\bigcirc: 18時\cases{甲數量=4X\\ 乙數量=8Y} \Rightarrow 4X=8Y \Rightarrow X=2Y \gt Y\\(2)\times: 甲數量=f(t)=X\cdot 2^{(t-12)/3} \Rightarrow f(13)=X\cdot 2^{1/3} \ne 4X/3 \\(3) \times:乙數量=g(t)=Y\cdot 2^{(t-12)/2} \Rightarrow g(15)=Y\cdot 2^{3/2} \ne 3Y \\(4) \times: \cases{f(19)=X\cdot 2^{7/3} =2Y\cdot 2^{7/3} = Y\cdot 2^{10/3}\\g(19) = Y\cdot 2^{7/2}} \Rightarrow g(19) \ne 1.5f(19)\\ (5)\bigcirc: \cases{f(24)= X\cdot 2^4 = 2Y\cdot 2^4= 32Y\\ g(24)= Y\cdot 2^6 =64Y} \Rightarrow g(24) = 2f(24)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(15)}$$

解答： $$圓與兩坐標軸相切 \Rightarrow A(a,\pm a) \Rightarrow \overline{PA} =\cases{\sqrt{(a-c)^2+(a-c)^2} =a+c\\ \sqrt{(a-c)^2+(-a-c)^2} =a+c} \Rightarrow \cases{a=(\sqrt 2+1)^2c\\ a=c(不合,違反a\gt c)}\\ \Rightarrow \cases{A=(a,a)\\ C=(a/(\sqrt 2+1)^2,a/(\sqrt 2+1)^2)}  \\(1)\bigcirc: 由上式知A=(a,a)\Rightarrow a=b \\(2)\times: C在x=y上\\(3)\times: a+c(\overline{AP})\gt a(圓半徑) \Rightarrow P一定在圓外\\(4) \bigcirc: {a+c\over b-c}={a+c\over a-c} ={(\sqrt 2+1)^2+1\over (\sqrt 2+1)^2-1}=\sqrt 2 \\(5) \times: {a\over c} =(\sqrt 2+1)^2 = 3+2\sqrt 2\ne 2+3\sqrt 2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(14)}$$

解答： $$(1)\bigcirc: 此題是球形地球儀，兩對角經線長之和等於赤道長\\(2)\times: 假設球半徑為R\Rightarrow 北緯45度的圓半徑r=R\cos 45^\circ ={\sqrt 2\over 2}R \Rightarrow 圓周長=\sqrt 2 \pi R \\\qquad 赤道長的一半={1\over 2}2\pi R=\pi，兩者不相等\\(3)\bigcirc: 兩者都是圓心角為60^\circ的弧長 \\(4)\times: \cases{經線是半徑為R的弧長，圓心角為2\pi/3 \Rightarrow 弧長=2R \pi/3\\ 緯線是半徑為R\cos 30^\circ 的弧長，圓心角為\pi \Rightarrow 弧長= \sqrt 3\pi R/2}，兩者不相等\\ (5)  \times: \cases{A(R,0,0) \\ C(0,R,0)\\ 北極T(0,0,R)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AT}= (-R,0, R)\\ \overrightarrow{CT} =(0,-R,R)} \Rightarrow \overrightarrow{AT}\cdot \overrightarrow{CT}= R^2 \ne 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(13)}$$

三 、 選 填 題 （ 占 25 分 ）

解答： $$\cases{ab^2=10^5\\ a^2b =10^3} \Rightarrow \cases{\log a+ 2\log b=5 \cdots(1)\\ 2\log a+\log b=3 \cdots(2)},\\由(1) 得\log a=5-2\log b代入(2) \Rightarrow 2(5-2\log b)+\log b=3\\ \Rightarrow 3\log b=7 \Rightarrow \log b=\bbox[red, 2pt]{7\over 3}$$

解答： $$\cases{公差=1 \Rightarrow  (1,2,3),(2,3,4),...,(18,19,20)，共18個 \\公差=2\Rightarrow  (1,3,5),(2,4,6),...,(16,18,20)，共16個 \\公差=3\Rightarrow  (1,4,7),(2,5,8),...,(14,17,20)，共14個\\ \cdots \\公差=9 \Rightarrow (1,10,19),(2,11,20)，共2個}\\ \Rightarrow 共有18+16+\cdots +2 = \bbox[red,2pt]{90}個$$

解答： $$\overrightarrow{P_2P_3}與\overrightarrow{P_3P_4}差15^\circ \Rightarrow \overrightarrow{P_2P_3}與\overrightarrow{P_4P_5}差30^\circ \Rightarrow \overrightarrow{P_5P_6}與\overrightarrow{P_2P_3}差45^\circ \Rightarrow \overrightarrow{P_2P_3} \cdot \overrightarrow{P_5P_6} =| \overrightarrow{P_2P_3} || \overrightarrow{P_5P_6} |\cos 45^\circ \\=2\cdot 2\cdot {\sqrt 2\over 2} =\bbox[red,2pt]{2\sqrt 2}$$

解答：

$$假設O(0,0) \Rightarrow P(6,8) \Rightarrow \cases{\overline{OP}中點Q(3,4) \\\overleftrightarrow{OP}=L:4x=3y} \Rightarrow 過Q垂直L的直線交坐標軸於\cases{A(25/3,0)\\ B(0,25/4)} \\ \Rightarrow \triangle OAB面積={1\over 2}\cdot {25\over 3}\cdot {25\over 4}={\bbox[red,2pt]{625} \over 24}$$

解答： $$\cases{出現連續5個0 \Rightarrow 1個\Rightarrow 貢獻度:4\\ 出現連續4個0 \Rightarrow 頭尾各有2種排列，共4種\Rightarrow 貢獻度:3 \times 4=12\\ 出現連續3個0 \Rightarrow \cases{AB000\\ 000AB\\ A000B}，共6+6+4=16種\Rightarrow 貢獻度:2 \times 16=32 \\出現連續2個0\Rightarrow \cases{2個00:00A00 \Rightarrow 共2種,貢獻度各為2 \Rightarrow 2\cdot 2=4\\ 1個00 \Rightarrow \cases{00ABC:排列數=16\\\ A00BC:排列數=2\cdot 2\cdot 3=12\\ AB00C:排列數=3\cdot 2\cdot 2=12\\ ABC00:排列數=16}} \Rightarrow 貢獻度:4+56=60}\\ a(5)=4+12+32+60= \bbox[red, 2pt]{108}$$

第 貳 部 分 、 混 合 題 或 非 選 擇 題 （ 占 15 分 ）

解答： $$\overline{A_1B_1} \parallel \overline{A_3B_3} \Rightarrow {\overline{PA_1}\over \overline{PA_3}} ={\overline{A_1B_1} \over \overline{A_3B_3}}={1\over 2} \Rightarrow k =\bbox[red, 2pt]{1\over 2}$$

解答：

$$P=L\cap M =\bbox[red,2pt]{(-3,1)} \Rightarrow 過P的水平線L':y=1,  假設 P'在 L' 上 \Rightarrow P'(a,1) \Rightarrow 過P'的垂直線L'':x=a \\ \Rightarrow \cases{A_3=L'' \cap L = (a,-a/3)\\ B_3=L'' \cap M =(a,(2a+9)/3)} \Rightarrow \overline{A_3B_3} = 2\overline{A_1B_1} = 2\cdot 3=6 \Rightarrow {2a+9\over 3}+{a\over 3}=6 \\ \Rightarrow a=3 \Rightarrow B_3=\bbox[red,2pt]{(3,5) }$$

解答： $$\cases{A_2=(x=1)\cap L =(1,-1/3)\\ B_2=(x=1) \cap M=(1,11/3)} \Rightarrow Q=(2A_2+B_2)/3 = \bbox[red,2pt]{(1,1)}$$

======================= END =========================

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