大學入學考試中心九十四學年度學科能力測驗試題
第 一 部 分 : 選 擇 題
壹 、 單 選 題
解答:113+123+⋯+203=(12+23+⋯+203)−(12+23+⋯+103)=(20⋅212)2−(10⋅112)2=2102−552=41075,故選(1)
解答:{R=1C426r=1C395⇒rR=C426C395=42!6!36!⋅5!34!39!=829≈9,故選(4)
解答:{log7a=11log7b=13⇒{a=711b=713⇒log7(a+b)=log7(711+713)=log7711(1+72)=log7711+log750=11+log750≈11+log749=11+2=13,故選(2)
解答:假設{原始成績X週整後成績Y⇒Y=10√X⇒{E(Y)=E(10√X)=65σ(Y)=σ(10√X)=15⇒{E(√X)=6.5σ(√X)=1.5⇒Var(√X)=E((√X)2)−(E(√X))2⇒1.52=E(X)−6.52⇒E(X)=1.52+6.52=44.5,故選(5)
貳、多選題
解答:α→OA+β→OB落在陰影區⇒α+β≥1(1)◯:1+2≥1(2)◯:34+13=1312≥1(3)×:34−13<1(4)×:34+15=1920<1(5)×:34−15<1,故選(12)解答:
(1)×:{a2=22−b2(5−a)2=42−b2⇒5−a>a⇒{mCD=(5−a)/bmAB=a/b⇒mCD>mAB(2)◯:{mAD=−a/bmBC=−(5−a)/b⇒mBC最小(3)◯:{mBC=−(5−a)/bmCD=(5−a)/b⇒mBC=−mCD(4)×:{¯AB2+¯BC2=22+42=20¯AC2=52=25⇒¯AB2+¯BC2≠¯AC2⇒∠ABC≠90∘(5)◯:mCD+mDA=5−ab−ab=5−2ab>0(5−a>a⇒5−2a>0),故選(235)
解答:{A(−1,2,0)B(3,0,2)⇒L=↔AB:x+14=y−2−2=z2(1)×:(2,2,2)∉L(2)◯:(1,1,1)∈L(3)×:(4,−2,2)∉L(4)×:(−2,4,0)∉L(5)×:(−5,−4,−2)∉L,故選(2)
解答:
解答:{A(−1,2,0)B(3,0,2)⇒L=↔AB:x+14=y−2−2=z2(1)×:(2,2,2)∉L(2)◯:(1,1,1)∈L(3)×:(4,−2,2)∉L(4)×:(−2,4,0)∉L(5)×:(−5,−4,−2)∉L,故選(2)
解答:
假設直角三角形,兩股長分別為a及b,斜邊長為c,如上圖;(1)◯:θ<45∘⇒a<b⇒bc>ab,即cosθ>sinθ(2)×:c>b⇒ac<ab⇒sinθ<tanθ(3)×:若{a=3b=4c=5⇒{tanθ=3/4cosθ=4/5⇒cosθ≮tanθ(4)×:若θ=30∘⇒{cos2θ=1/2sin2θ=√3/2⇒sin2θ≮cos2θ(5)◯:tanθ=2tanθ/21−tan2θ/2⇒12tanθ−tanθ/2=tan3θ/21−tan2θ/2>0,故選(15)
解答:
解答:
x29−y216=1⇒{a=3b=4⇒c=5⇒兩焦點{F1(−5,0)F2(5,0){△AF1F2:¯F1F2=¯AF2=2c=10⇒¯AF1−¯AF2=2a⇒¯AF1=6+10=16△BF1F2:¯BF1=¯F1F2=2c=10⇒¯BF1−¯BF2=2a⇒¯BF2=10−6=4⇒{△AF1F2周長=10+10+16=36△BF1F2周長=10+10+4=24,故選(25)
解答:(1)×:P∈¯AB⇒¯PA+¯PB=¯AB=10≠14(2)◯:若{¯PA=2¯PB=12⇒¯PA+¯PB=14,此時P在直線AB上,但不在線段AB上(3)◯:若{¯PA=8¯PB=6⇒62+82=102,此時P在球面上(4)◯:以A、B為橢圓焦點,長軸長2a=14,短軸長2b<20;此時取P為短軸上的頂點,P在球內且符合¯PA+¯PB=14(5)◯:理由同(4),取短軸長2b=20、長軸長2a>20,取P為長軸上的頂點,P在球外且符合¯PA+¯PB=14,故選(2345)
第 二 部 分 : 填 充 題
解答:利用長除法:x5+x4+x3+px2+2x+q=(x2+x+1)(x3−x+(p+1))⇒{4=p+1q=2(p+1)⇒p=3,q=8解答:P(x,y)⇒{△PDA:△PBC=1:2=1−y:y⇒y=2/3△PAB:△PCD=2:3=x:1−x⇒x=2/5⇒P(25,23)
解答:假設向右跳a次、向左跳b次,則{a+b=6a−b=4⇒{a=5b=1;5個a,1個b的排列數=6
解答:z=1−i=√2(1√2−1√2i)=√2(cos45∘−isin45∘)⇒z10=25(cos450∘−isin450∘)=−25i1+z+z2+⋯+z9=a+bi⇒(1−z)(1+z+z2+⋯+z9)=1−z10=(a+bi)(1−z)⇒a+bi=1−z101−z=1+25ii=25−i⇒a=32,b=−1
解答:{A(a,0)B(0,b)P(2,1)⇒{→PA=(a−2,−1)→PB=(−2,b−1)⇒→PA⋅→PB=−2a−b+5=0⇒2a+b=5算幾不等式:2a+b2≥√2ab⇒52≥√2ab⇒ab≤258⇒△OAB面積=12ab≤2516
解答:假設¯AB=¯AD=a,由於¯AD為∠BAC的角平分線,因此¯AB¯AC=¯BD¯DC=36⇒¯AC=2¯AB=2a{cos∠BAD=a2+a2−322a2cos∠DAC=a2+(2a)2−624a2⇒a2+a2−322a2=a2+(2a)2−624a2⇒a2=18⇒cos∠BAD=18+18−92⋅18=34
解答:P在Γ:y2=4x上⇒P(t2/4,t);並假設Q(a,b),再由¯PF¯QF=32⇒F=(2P+3Q)÷5⇒Q=(5F−2P)÷3=(53−t26,−23t)代入Γ⇒49t2=4(53−t26)⇒t2=6⇒P的x坐標=t2/4=32
解答:x⋅3x=318⇒log3(x⋅3x)=log3318⇒log3x+x=18由於{18<log316+16<1917<log315+15<18⇒15<x<16⇒k=15
解答:假設{D(0,0,0)C(1,0,0)A(0,1,0)B(1,1,0)E(0,1,1)P(a,b,c)⇒{→AP=(a,b−1,c)→AB=(1,0,0)→AD=(0,−1,0)→AE=(0,0,1)⇒34→AB+12→AD+23→AE=(34,−12,23)=(a,b−1,c)⇒{a=3/4b=1/2c=2/3⇒P(3/4,1/2,2/3)至¯AB(y軸)距離=√(1/2)2+(2/3)2=56
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解答僅供參考,其他歷屆試題及詳解
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