111年高雄公立高中聯合轉學考(升高三)-數學詳解

 高雄區公立高中111學年度聯合招考轉學生《高2升高3》試卷

一、 單一選擇題（ 60 分）

 

解答： $$\cases{b\gt a\gt 0\\ c\lt 0} \Rightarrow b\gt a\gt c，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$A=\left[\begin{matrix}2 & -3 & 4 & 12\\1 & -2 & 1 & -5\\3 & 7 & 2 & 1\end{matrix}\right] \underrightarrow{-R_2+R_1}\left[ \begin{matrix}1 & -1 & 3 & 17\\1 & -2 & 1 & -5\\3 & 7 & 2 & 1\end{matrix}\right] \underrightarrow{-R_1+ R_2, -3R_1+R_3}\left[ \begin{matrix}1 & -1 & 3 & 17\\0 & -1 & -2 & -22\\0 & 10 & -7 & -50\end{matrix}\right]\\ \underrightarrow{R_2 +R_3, 10R_2+R_3} \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 5 & 39\\0 & -1 & -2 & -22\\0 & 0 & -27 & -270 \end{matrix} \right] \underrightarrow{-R_2, {-1\over 27}R_3 } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 5 & 39\\0 & 1 & 2 & 22\\0 & 0 & 1 & 10\end{matrix}\right]\\ \underrightarrow{-2R_2+R_1} \left[\begin{matrix}1 & -2 & 1 & -5\\0 & 1 & 2 & 22\\0 & 0 & 1 & 10 \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}1 & -2 & 1 & a\\0 & 1 & b & 22\\0 & 0 & 1 & c \end{matrix} \right] \Rightarrow \cases{a=-5\\ b=2\\ c=10} \Rightarrow a+b+c=7，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

3. 在空間中，若平面 𝐸: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 1 通過 𝐴(1,3,2) 與 𝐵(5,2,0) 兩點，且與直線 $𝐿: {𝑥−1\over 1}={y-2\over 2}={z-3\over 1}$平行，則 𝑎 + 𝑏 +𝑐 的值為

(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1 (E)-2

解答： $$E\parallel L \Rightarrow (a,b,c)\cdot (1,2,1)=0 \Rightarrow a+2b+c=0 \cdots(1)\\ 又\cases{E通過(1,3,2) \Rightarrow a+3b+2c= 1 \cdots(2)\\ E通過(5,2,0) \Rightarrow 5a+2b=1 \cdots(3)} , 由(1),(2),(3)可得\cases{a=1 \\ b=-2\\ c=3} \Rightarrow a+b+c = 2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

4. 以下於空間中的敘述，何者正確？

(A)相異三點恰可決定唯一的平面 

(B)設直線 L 在平面 E1 上，若 L 垂直平面 E2，則 E1⊥E2 

(C)與一直線垂直的兩直線必平行 

(D)與一直線平行的兩平面必平行 

(E)若 L1、 L2 互為歪斜線， L1、 L3 也互為歪斜線，則 L2、 L3 必是歪斜線

解答： $$(A)\times: 相異三點需不在一直線上 \\(C)\times: 可能是歪斜\\ (D)\times: 也可能垂直\\(E)\times: L_2與L_3可能平行\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

5. 隨著醫學日漸進步，病毒也進化得更為強大。某種濾過性病毒有害人體，某人將此病毒 100 個吸進體內，已知此病毒在人體內每隔 6 小時就會分裂成 2 個，當體內達到 1 億個病毒時身體就會出現異常反應，在此期間則稱為潛伏期，請問此病毒在體內的潛伏期大約有幾天？（ log 2 ≈ 0.3010， log 3 ≈ 0.4771）

(A)3 天 (B)5 天 (C)8 天 (D)10 天 (E)15 天

解答： $$100\cdot 2^n \gt 10^8 \Rightarrow 2^n\gt 10^6 \Rightarrow n\log 2\gt 6 \Rightarrow n\gt {6\over 0.301} \approx 20\\ \Rightarrow 需要20個6小時，即{20\over 4}=5天，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

6. 想解開古城門的封印，必須將一旁寶箱中的魔法伸縮棒放入正確位置。正當眾人面面相覷不知所措， 黃導推開腳邊的石頭發現了線索，線索大致如下：正確兩點連成的向量，與六邊形底邊內積為最大值。封印示意圖如下，試問應將魔法伸縮棒放在何處，方能產生所求向量？

解答： $$與\overrightarrow{AB}內積最大的向量，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

7. 阿斌老師善於從生活中各種情境，想出有趣的數學問題。這天他不經意將空紙箱網牆腳一扔，眼前的畫面頓時激發他的靈感。如圖，將長方形 ABCD 斜靠在牆邊，若$\overline{AB}= 3$， $\overline{BC}=4$且$\angle BCC'=\theta$， 則下列何者為 A 點到地面的距離  $\overline{A'C'}$？

解答：

$$作\overline{BB'}\parallel \overline{CC'} \Rightarrow \angle B'BC= \angle BCC'=\theta; \\又\angle A'BA+\angle ABB'= 90^\circ = \angle B'BC+\angle ABB' \Rightarrow \angle A'BA=\theta\\ 因此\cases{\overline{A'B}= \overline{AB}\cos \theta = 3\cos \theta\\ \overline{BC'} = \overline{BC}\sin \theta =4\sin \theta} \Rightarrow \overline{A'C'}=3\cos \theta +4\sin \theta，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

8. 某工廠有三部機器 A、 B、 C 產量分別占全部的 60%， 30%， 10%，又設 A、 B、 C 三部機器所生產的不良品率依次為 2%，3%， 4%，由全部產品中任取一產品，發現其為不良品，則此不良品來自 A 機器的機率為

解答： $${A機器產生的不良品\over  三台機器產生的不良品} ={ 60\%\times 2\%\over 60\%\times 2\%+  30\%\times 3\%+  10\%\times 4\% } = {120\over 250} ={12\over 25}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$y=\sin x \;\underrightarrow{垂直方向伸縮a倍}\; y=a\sin x\; \underrightarrow{水平方向伸縮b倍}\; y=a\sin(x/b)= 3\sin(4x) \Rightarrow \cases{a=1/4\\ b=3}\\ \underrightarrow{水平方向平移c}\; y= 3\sin(4(x-c)) \; \underrightarrow{垂直方向平移d} \; y= 3\sin(4(x-c))+d = 3\sin(4(x+{\pi \over 6}))-1\\ \Rightarrow \cases{c=-\pi/6 \\ d= -1} \Rightarrow (a,b,c,d)= ({1\over 4}, 3, -{\pi\over 6},-1)，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答： $$y= 4\cos x-2\sqrt 3\sin(x+{\pi \over 3}) = 4\cos x-2\sqrt 3(\sin x\cdot {1\over 2}+ \cos x \cdot {\sqrt 3\over 2}) =\cos x-\sqrt 3\sin x\\ =2({1\over 2}\cos x-{\sqrt 3\over 2}\sin x) =2(\sin {\pi\over 6}\cos x-\cos {\pi\over 6}\sin x) = 2\sin({\pi \over 6}-x) =r \sin(x+\theta) \\ \Rightarrow (r,\theta)=(2, {5\pi\over 6})，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\overrightarrow{AP}= t\overrightarrow{AC}= 2t\overrightarrow{AB}+ 3t\overrightarrow{AC} \Rightarrow 2t+3t=1 \Rightarrow t={1\over 5} \Rightarrow \overrightarrow{AP}= {2\over 5}\overrightarrow{AB}+ {3 \over 5}\overrightarrow{AC} ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{a_1x+ b_1y=c_1\\ a_2x+ b_2y=c_2} \Rightarrow A\mathbb{x}=c，其中A=\left(\begin{matrix} a_1 & b_1 \\a_2 & b_2 \end{matrix} \right),\mathbb{x}=\left(\begin{matrix} x  \\y \end{matrix} \right),c=\left(\begin{matrix} c_1  \\ c_2 \end{matrix} \right) \\ \Rightarrow A^{-1} = {1\over \det(A)}\left(\begin{matrix} b_2 & -b_1 \\-a_2 & a_1 \end{matrix} \right), 其中\det(A)=a_1b_2-a_2b_1; 因此 \left(\begin{matrix} x  \\y \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 3  \\ -6 \end{matrix}\right)=A^{-1}\left(\begin{matrix} c_1  \\ c_2 \end{matrix} \right) \\ ={1\over \det(A)} \left( \begin{matrix} b_2 & -b_1 \\-a_2 & a_1 \end{matrix} \right)\left(\begin{matrix} c_1  \\ c_2 \end{matrix} \right) ={1\over \det(A)}\left( \begin{matrix} b_2c_1-b_1c_2   \\ a_1c_2-a_2c_1 \end{matrix} \right) \Rightarrow \cases{(b_2c_1-b_1c_2)/\det(A) =3\\(a_1c_2-a_2c_1)/\det(A)=-6 }\\ 現在\cases{(3a_1-b_1)x +5b_1y = c_1\\ (3a_2-b_2)x + 5b_2y = c_2}，即B\mathbb{x}=c,其中B=\left(\begin{matrix} 3a_1-b_1 & 5b_1 \\3a_2-b_2 & 5b_2 \end{matrix} \right) \\ \Rightarrow \det(B)= 15a_1b_2-5b_1b_2-15a_2b_1+5b_1b_2= 15\det(A) \\\Rightarrow B^{-1}={1\over 15\det(A)}\left(\begin{matrix}  5b_2 & -5b_1 \\ -3a_2+b_2 & 3a_1-b_1 \end{matrix} \right)\ \Rightarrow \left(\begin{matrix} x  \\y \end{matrix} \right)=B^{-1}c \\={1\over 15\det(A)}\left(\begin{matrix}  5b_2 & -5b_1 \\ -3a_2+b_2 & 3a_1-b_1 \end{matrix} \right)\left(\begin{matrix} c_1  \\ c_2 \end{matrix} \right) ={1\over 15\det(A)} \left(\begin{matrix} 5(b_2c_1-b_1c_2)  \\ 3(a_1c_2-a_2c_1)+ b_2c_1-c_1b_2 \end{matrix} \right) \\ =\begin{pmatrix}(b_2c_1-b_1c_2)/3\det(A) \\ (a_1c_2-a_2c_1)/5\det(A)+ (b_2c_1-b_1c_2)/15\det(A) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ -6/5+ 1/5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ -1\end{pmatrix}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$(2-(-1))\times (2-0)\times |\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}| =6|(1,2,2)|= 6\times 3=18，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$\vec a與\vec b張開的平行四邊形面積=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot \vec b)^2} =|\vec a\times \vec b| \Rightarrow \sqrt{9|\vec b|^2-144} =\sqrt{36+9 +36}\\ \Rightarrow |\vec b|^2 ={225\over 9} \Rightarrow |\vec b|=5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{P(3,1,2)\\ Q(1,2,0)\\ R(a,b,4)} \Rightarrow \cases{\vec u=\overrightarrow{QP}=(2,-1,2)\\ \vec v= \overrightarrow{QR}= (a-1,b-2,4)\\ xy平面的法向量\vec z=(0,0,1)} \Rightarrow {\vec z\cdot \vec u\over |\vec z||\vec u|} ={ \vec z\cdot \vec v\over |\vec z||\vec v|} \\ \Rightarrow {2\over 3}={4\over \sqrt{(a-1)^2+ (b-2)^2+4^2}} \Rightarrow (a-1)^2 +(b-2)^2 =20，只有(a,b)= (-3,4)符合要求\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

二、 多重選擇題（ 40 分）

解答： $$(A)\times: \log 0\ne 1\\ (B)\bigcirc: \log 1=0\\ (C)\times: \log a=b \Rightarrow \log 10a =\log 10+\log a= 1+\log a=1+b\ne 10b\\ (D)\bigcirc: \log({1\over a})^2 =2\log{1\over a}=-2\log a=-2b \\(E) \bigcirc: \log{a^3\over 10}=\log a^3-\log 10 = 3\log a-1=3b-1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BDE)}$$

17.根據史料記載，數千年前某個古文明善於從海波形狀預測未來。這天考古學家發現一本當年的海象觀測紀錄，裡頭有密密麻麻的波形圖。為了方便歸納，他請數學家將圖形轉換為公式儲存在電腦。某張圖以二次函數 $y = ax^2 + bx$ 與指數函數$y=({b\over a})^x$兩公式表示，根據你的判斷， 圖形可能為

解答： $$(A)\bigcirc: 兩圖形均符合a\gt b\gt 0\\ (B)\times: \cases{二次函數:ab\lt 0\\ 指數函數:ab\gt 0} \\(C)\bigcirc: 兩圖形均符合 0\gt b\gt a \\(D)\times:  \cases{二次函數:|a|\gt |b|\\ 指數函數:|b|\gt |a|} \\(E)\times: \cases{二次函數:a\gt b\gt 0\\ 指數函數:b\gt a\gt 0 或 0\gt a\gt b}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AC)}$$

18.甲、乙與丙三人一同玩射擊手遊，由於所選槍枝相異，加上槍法落差以致於命中率有差異。分別為 ${1\over 2},{1\over 3}$與${1\over 4}$，且互不影響。今此三人對同一目標物開火，各射一發子彈，則下列敘述何者正確？

(A)此目標物共中三發子彈的機率為 ${1\over 24}$
(B)此目標物沒中任何子彈的機率為 ${1\over 4}$
(C)此目標物只中一發子彈的機率為 ${13\over 24}$
(D)此目標物只中一發子彈下，此發子彈來自甲所射的機率為 ${6\over 11}$
(E)此目標物至少中一發子彈下，甲與乙皆沒射中的機率為 ${1\over 3}$

解答： $$令\cases{p_1=1/2\\ p_2=1/3\\ p_3=1/4}\\(A)\bigcirc: 三人都命中的機率=p_1p_2p_3 = 1/24\\(B)\bigcirc: 三人都沒命中的機率=(1-p_1)(1-p_2)(1- p_3) = {1\over 2}\cdot {2\over 3}\cdot {3\over 4}={1\over 4} \\(C) \times:\cases{甲命中、乙丙未命中:p_1(1-p_2)(1-p_3) = 1/2\cdot 2/3 \cdot 3/4=1/4\\ 乙命中、甲丙沒命中:(1-p_1)p_2(1-p_3)= 1/2\cdot 1/3\cdot 3/4=1/8\\ 丙命中、甲乙未命中:(1-p_1)(1-p_2)p_4= 1/2\cdot 2/3\cdot 1/4 = 1/12} \\ \qquad \Rightarrow 只有一人命中機率={1\over 4}+ {1\over 8} +{1\over 12} ={11\over 24} \ne {13\over 24}\\ (D)\bigcirc: \cfrac{1/4}{11/24} ={6\over 11}\\(E)\times: \cases{至少中一發的機率=1-三人都沒命中機率=1-{1\over 4}= {3\over 4}\\ 甲乙皆未命中:(1-p_1)(1-p_2)= 1/3} \Rightarrow {1/3\over 3/4}={4\over 9} \ne {1\over 3}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABD)}$$

19. 坐標平面上，$\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} =\vec 0$，且$|\overrightarrow{OA}|=1,|\overrightarrow{OB}|=2, |\overrightarrow{OC}| =\sqrt 2$，若$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\theta$，則下列選項哪些是正確的？

解答： $$\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} =\vec 0 \Rightarrow O為\triangle ABC的重心;\\因此取\cases{O(0,0)\\ A(1,0)\\ B(2\cos\theta, 2\sin \theta)} \Rightarrow C=O-A-B=(-1-2\cos\theta, -2\sin \theta) \\\Rightarrow \overline{OC}=\sqrt 2 = \sqrt{(1+2\cos\theta)^2+ 4\sin^2\theta} \Rightarrow 2=5+4\cos\theta \Rightarrow \cos\theta = -{3\over 4} \Rightarrow \sin \theta ={\sqrt 7\over 4} \\ \Rightarrow \triangle OAB面積={1\over 2} \cdot 1\cdot 2\cdot {\sqrt 7\over 4} ={\sqrt 7\over 4} \Rightarrow \triangle ABC面積=3\triangle OAB面積={3\over 4}\sqrt 7，故選\bbox[red, 2pt]{(BCD)}$$

20. 袋中有 3 個白球、 4 個黑球，甲、 乙、丙依序隨機取出一球，取後不放回袋中， 則下列哪些選項是正確的？

(A). 在甲取到白球的條件下，乙取到白球的機率 2/7
(B). 在乙取到白球的條件下，甲取到白球的機率 2/7
(C). 甲、乙取到同色球的機率 3/7
(D). 若不知甲、乙取到球的顏色，則丙取到白球的機率 3/7
(E). 若甲、乙取到不同色球， 則丙取到白球的機率 2/5

解答： $$假設甲、乙、丙三取出的球依序為a,b,c \Rightarrow \begin{array}{} abc & 機率\\\hline 白白白 & p_1=(3/7)(2/6)(1/5)= 6/210\\白白黑& p_2= (3/7)(2/6)(4/5)= 24/210 \\ 白黑白 & p_3=(3/7)(4/6)(2/5)= 24/210 \\ 白黑黑& p_4=(3/7)(4/6)(3/6) = 36/210\\ 黑白白& p_5 =(4/7)(3/6) (2/5) = 24/210 \\ 黑白黑 & p_6=(4/7)(3/6)(3/5) = 36/210\\ 黑黑白 & p_7=(4/7)(3/6)(3/5) = 36/210\\ 黑黑黑& p_8= (4/7)(3/6)(2/5)= 24/210 \\ \hline \end{array}\\(A) \times:{甲取到白球且乙取到白球\over 甲取到白球} ={p_1+p_2 \over p_1+p_2+ p_3+ p_4} ={30\over 90} ={1\over 3} \\(B)\times: {甲取到白球且乙取到白球\over 乙取到白球} ={p_1+p_2 \over p_1+p_2+ p_5+ p_6} ={30\over 90} ={1\over 3} \\(C)\bigcirc: p_1+p_2+ p_7+p_8={90\over 210}={3\over 7} \\(D)\bigcirc: p_1+p_3+p_5+ p_7 ={90\over 210}={3\over 7} \\(E)\bigcirc: {甲乙取到不同色球且丙取到白球\over 甲乙取到不同色球} ={p_3 +p_5\over p_3+p_4 +p_5+p_6} ={48\over 120}={2\over 5}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CDE)}$$

解答： $$PB=AP \Rightarrow B=P^{-1}AP \Rightarrow B為A的對角化矩陣;\\ (A)\bigcirc:\det(A-\lambda I)=0 \Rightarrow \lambda^2-\lambda-6=0  \Rightarrow A^2-A-6I=0 \Rightarrow A^2=A+6I\\(B)\times: A^5-A^4-6A^3+A^2-2A-5I= A^3(A^2-A-6I)+(A^2-A-6I) - A+I=-A+I\\ (C)\times: P=\left(\begin{matrix}1 & 3 \\-1 & 2\end{matrix} \right) \Rightarrow P^{-1}=\left(\begin{matrix} \frac{2}{5} & \frac{-3}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{matrix}\right) \\(D) \times:B=P^{-1}AP = \left( \begin{matrix} \frac{2}{5} & \frac{-3}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix}1 & 3 \\2 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\-1 & 2\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix}-2 & 0 \\0 & 3 \end{matrix} \right) \\(E)\bigcirc: B=\left(\begin{matrix}-2 & 0 \\0 & 3 \end{matrix} \right) \Rightarrow B^5=\left(\begin{matrix}(-2)^5 & 0 \\0 & 3^5 \end{matrix} \right)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AE)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow A^2=0 \Rightarrow (I+A)^2 =I+2A \Rightarrow (I+A)^5 = (I+2A)^2(I+A)\\ \qquad \qquad=(I+4A)(I+A)=I+5A\\(B) \times: B=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow B^2=B \Rightarrow (I + B)^2 = I+3B \Rightarrow (I+B)^5 = (I+3B)^2(I+B) \\ \qquad \qquad =(I+15B)(I+B)= I+31B \ne I+32B\\ (C)\times: C=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow C^2=2C \Rightarrow (I+{1\over 2}C)^2 =I+{3\over 2} C \Rightarrow (I+{1\over 2}C)^5 = (I+{3\over 2}C)^2(I+{1\over 2}C)\\ \qquad \qquad=(I+{15\over 2}C)(I+{1\over 2}C)=I+{31\over 2}C \ne I+16C\\ (D)\bigcirc: D=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow D^2=D \Rightarrow (I-D)^2 = I-D \Rightarrow (I-D)^5=(I-D)^2(I-D) = I-D\\(E)\bigcirc: E=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow E^2=2E \Rightarrow (I-{1\over 2}E)^2 = I-{1\over 2}E \Rightarrow (I-{1\over 2}E)^5=I-{1\over 2}E\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ADE)}$$

解答： $$原面積=\begin{Vmatrix} 1 & 5\\ 2 & -6\end{Vmatrix}=16\\(A)\times: T=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -3\end{bmatrix} \Rightarrow \cases{T\vec a=(2,-15)\\ T\vec b=(4,18)} \Rightarrow 轉換後面積=\begin{Vmatrix} 2 & -15\\ 4 & 18\end{Vmatrix}=96\ne 16 \\(B)-(E)\bigcirc:旋轉、鏡射、水平移動、上下移動皆不改變面積\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCDE )}$$

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