85年大學學測-數學詳解

大學入學考試中心
八十五學年度學科能力測驗

第一部分：選擇題  

壹、單一選擇題 

解答： $$40=13\times 3+1 \Rightarrow 40^{255} \mod 13=1^{255}=1，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$2D-A= (6,4)-(1,2)=(5,2)，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答： $$L_1:\cases{x=1+t\\ y=t\\ z=-1} \Rightarrow L_1的方向量\vec u=(1,1,0)\\  欲求之平面法向量即為\vec u \Rightarrow 過(1,0,-1)且法向量為\vec u之平面:x-1+y=0，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$f為三次式\Rightarrow f(x)=0至少有一實根，目前已有兩虛根:\pm i \Rightarrow f(x)=0恰有一實根，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$依題意\cases{b=4\\ c=4} \Rightarrow a=4\sqrt 2 \Rightarrow 長軸=2a=8\sqrt 2，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答： $$與切線平行\Rightarrow L: y=2x+k ,又L與\Gamma有兩個交點，因此L的y截距\gt 2\\，即k\gt 2 \Rightarrow y-2x\gt 2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$y=-x(\cos x)為奇函數，只有(A)及(B)符合此要求；又x=\pi/4 \Rightarrow y\lt 0，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$赤道半徑R \Rightarrow R\cdot 10^\circ=1113 \Rightarrow R\cos 20^\circ \cdot 10^\circ=1113 \cos 20^\circ =1113\times 0.9397 (試題附表) \\ =1045.9，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

貳、多重選擇題

解答： $$\cases{y= f(x)= ax^2 +bx+ c, a\gt 0\\ y=g(x) =dx^2 +ex+ f, d\lt 0} \Rightarrow y=f(x)+g(x) =(a+d)x^2 +(b+e)x +c+f\\ \Rightarrow y= f(x)+g(x) 為\cases{一條拋物線,若a+d \ne 0\\ 一條直線, 若a+d=b+e=0}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BC)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: \cases{大部份人的歷史成績是不及格的 \\大部份人的國文成績是及格的 } \Rightarrow 歷史平均低於國文平圴\\(B) \bigcirc: 只有歷史平均不及格\\(C) \times: 國文成績分佈較集中，其標準差低於英文標準差\\ (D)\bigcirc: 英文成績分布最分散，標準差最大\\(E) \times: \cases{國文成績與歷史負相關\\ 國文成績與英文正相關} \Rightarrow 國文與歷史相關係數 \lt 國文與英文相關係數\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABD)}$$

解答： $$\cases{A生產的瑕疵品占比:{0.3\times 1\%\over 0.3\times 1\%+ 0.7\times 5\%} ={3\over 38} \\B生產的瑕疵品占比:{0.7\times 5\%\over 0.3\times 1\%+ 0.7\times 5\%} ={35\over 38}}，故選\bbox[red, 2pt]{(BC)}$$

解答： $$算幾不等式: \cases{{a+b\over 2} \ge \sqrt{ab} \Rightarrow \log{a+b\over 2}\ge \log \sqrt{ab} ={1\over 2}(\log a+\log b) \Rightarrow r\gt q\\ {\log a+\log b\over 2}\ge \sqrt{\log a\cdot \log b} \Rightarrow q\gt p} \\ \Rightarrow r\gt q\gt p，故選\bbox[red, 2pt]{(AD)}$$

解答： $$f(x)=\begin{cases} x/2 & x\ge 0\\ -x & x\le 0\end{cases} \Rightarrow f(x-6)=\begin{cases} (x-6)/2 & x\ge 6\\ -(x-6) & x\le 6 \end{cases} \\ \Rightarrow h(x)=f(x)-f(x-6)=\begin{cases} x/2-(x-6)/2 = 3 & x\ge 6\\ x/2+(x-6) = 3x/2-6& 0\le x\le 6\\ -x+(x-6)=-6 &  x\le 0\end{cases} \\\Rightarrow \cases{h(x) 最大值=3\\ h(x)最小值=-6}，故選\bbox[red, 2pt]{(AD)}$$

解答： $$a_1+ a_2+\cdots +a_{101}=0 \Rightarrow \cases{a_1+\cdots +a_{50}=a_{51} =a_{52}+\cdots +a_{101} =0 \\ a_i+a_{102-i}=0,i=1-50}\\(A)\times:  a_1+a_{101}=0\\(B)\times:a_2+a_{100} =0\\ (C) \bigcirc: a_3+a_{99}=0\\ (D)\times: a_{51}=0\\ (E)\bigcirc: a_{71}=71 \Rightarrow a_{31}=-71 \Rightarrow a_1\lt 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CE)}$$

第二部份、填充題

解答： $$\triangle ABD={2\over 3}\triangle ADC \Rightarrow \triangle ABD:\triangle ADC = 2:3 = \overline{BD}:\overline{DC} \Rightarrow D =(2C+ 3B)\div 5 =\bbox[red, 2pt]{\left( {14\over 5},3\right)}$$

解答：

$$假設\cases{大圓半徑r_1 \\ 小圓半徑r_2} \Rightarrow \cases{r_1^2\pi =75\pi \\ r_2^2\pi =27\pi } \Rightarrow \cases{ r_1= 5\sqrt 3\\ r_2= 3\sqrt 3}\\又假設\cases{P(a,b)\\Q(a,0)\\ 原點O(0,0)}及\cases{P至小圓最近的點A\\ P至大圓最近的點B}\Rightarrow \overline{PA}= \overline{PB} =\overline{PQ}=b\\ \Rightarrow \cases{\overline{PA}= \sqrt{a^2+b^2}-3\sqrt 3=b\\ \overline{PB} =5\sqrt 3-\sqrt{a^2+b^2}=b},兩式相加\Rightarrow 2\sqrt 3=2b \Rightarrow b=\sqrt 3 \Rightarrow a=3\sqrt 5\\ \Rightarrow P=\bbox[red, 2pt]{(3\sqrt 5,\sqrt 3 )}$$

解答：

$$假設每一小格的面積為1，則共有2+4+3+2+3+1 =\bbox[red, 2pt]{15}長方形包含A或B$$

解答： $$\begin{array}{} 事件A & 機率P(A) & 期望值\\\hline 三正& 1/8 & 15/8\\ 二正一反& 3/8 & 24/8\\ 一正二反& 3/8 & 3/8\\ 三反& 1/8 & -6/8\\\hline\end{array} \Rightarrow 期望值={1\over 8}(15+24+3-6)=\bbox[red, 2pt]{9\over 2}$$

解答： $$\begin{Vmatrix} u_1  &  u_2  & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{Vmatrix} =5 \Rightarrow \begin{Vmatrix} 2u_1   &  2u_2   & 2u_3  \\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{Vmatrix} =10\\ 列運算\Rightarrow \begin{Vmatrix} 2u_1+3v_1 & 2u_2+3v_2 & 2u_3+3v_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{Vmatrix} =\bbox[red, 2pt]{10}$$

解答： $$令四面體ABCD各頂點坐標\cases{A(0,0,0)\\ B(1,0,1)\\ C(0,1,1)\\ D(1,1,0)} \Rightarrow \cases{E=(A+B+C)/3= (1/3,1/3,2/3)\\ F=(A+C+D) /3 =(1/3,2/3,1/3)} \\ \Rightarrow \cases{\overline{BD}= \sqrt 2\\ \overline{EF}=\sqrt 2/3} \Rightarrow \overline{EF}: \overline{BD}= \bbox[red, 2pt]{1:3}$$

========================= END ==========================

解答僅供參考，其他歷屆試題及詳解