台灣聯合大學系統111學年度學士班轉學生考試
科目:微積分
類組別:A3/A4/A6
甲、填充題:共8題,每題8分,共64分
解答:limn→∞(1√n√n+1+1√n√n+2+⋯+1√n√n+n)=limn→∞n∑k=11√n√n+k=limn→∞n∑k=11n⋅√n√n+k=limn→∞n∑k=11n⋅1√1+kn=∫101√1+xdx=∫211√udu,其中u=x+1=[2√u]|21=2√2−2解答:利用球坐標{x=ρsinϕcosθy=ρsinϕsinθz=ρcosϕ⇒較小的體積=∫2π0∫π/30∫21/cosϕρ2sinϕdρdϕdθ=∫2π0∫π/30sinϕ((8cos3ϕ−1)sinϕ3cos3ϕ)dϕdθ=∫2π056dθ=53π
解答:∫4x2−3x+24x2−4x+3dx=∫(1+x−14x2−4x+3)dx=x+∫(18⋅8x−44x2−4x+3−12⋅14x2−4x+3)dx=x+18ln|4x2−4x+3|−∫18⋅1x2−x+3/4dx=x+18ln|4x2−4x+3|−18∫1(x−1/2)2+1/2dx=x+18ln|4x2−4x+3|−14∫1(√2(x−1/2))2+1dx=x+18ln|4x2−4x+3|−14√2tan−1(√2(x−1/2))+C=x+18(ln(4x2−4x+3)−√2tan−1(√2(x−1/2))+C)註:4x2−4x+3=(2x−1)2+2>0,∀x∈R
解答:∫10∫1xsin(y2)dydx=∫10∫y0sin(y2)dxdy=∫10ysin(y2)dy=[−12cos(y2)]|10=−12cos1+12=−12(1−2sin212)+12=sin212
解答:令{x=rcosθy=rsinθ,因此x2+y2=4⇒{0≤θ≤2π0≤r≤2;又y+2z=2⇒z=2−y2⇒{∂∂xz=0∂∂yz=−1/2⇒截面積=∫2π0∫20√02+(−1/2)2+1rdrdθ=√52∫2π0∫20rdrdθ=√5∫2π01,dθ=2√5π
解答:令u=3x⇒du=3dx⇒∫31cos3xxdx=∫93cosuu/313du=∫93cosuudu=F(9)−F(3)
解答:y=3x−x2⇒y′=3−2x⇒切點(a,y(a))=(a,3a−a2)的斜率=3−2a⇒切線方程式y=(3−2a)(x−a)+3a−a2⇒切線與坐標軸的交點{A(0,a2)B(a22a−3,0)⇒△OAB面積=f(a)=12⋅¯OA⋅¯OB=12⋅a2⋅a22a−3=a44a−6⇒f′(a)=4a34a−6−4a4(4a−6)2因此f′(a)=0⇒4a3(3a−6)(4a−6)2=0⇒a=2(a=0⇒切點=(0,0)不合)⇒f(2)=168−6=8
解答:利用Lagrange's 算子求極值:令{f(x,y,z)=4x2+y2+4z2−16T(x,y,z)=8x2+4yz−16z+600⇒{Tx=λfxTy=λfyTz=λfzf=0⇒{16x=λ⋅8x4z=λ⋅2y4y−16=λ⋅8z⇒{(λ−2)x=0⋯(1)2z=λy⋯(2)y−4=2λz⋯(3),由(1)知:λ=2或x=0Cases I: λ=2⇒{z=yy−4=4z⇒y=z=−43代入f=0⇒x=±43Cases II: x=0代入f=0⇒y2+4z2=16⋯(4),再由(2)(3)⇒2zy−4=y2z⇒4z2=y2−4y代入(4)⇒y2+y2−4y=16⇒(y−4)(y+2)=0⇒{y=4⇒z=0y=−2⇒z=±√3將Cases I 及Cases II 的極值點{A(4/3,−4/3,−4/3)B(−4/3,−4/3,−4/3)C(0,4,0)D(0,−2,√3)E(0,−2,−√3)代入T(x,y,z)⇒{T(A)=600T(B)=1928/3=642.7(最大)T(C)=600T(D)=600−24√3T(E)=600+24√3≈641.57⇒最熱的點:(−43,−43,−43)
乙、計算、證明題:共3題,每大題12分,共36分
解答:f(x)={e−1/x2,if x≠00,if x=0⇒f″(0)=f′(0)=f(0)=0⇒f(x)≈f(0)+f′(0)x+12f″(0)x2=0
解答:b≥a≥0⇒bn≥an≥0⇒2bn≥an+bn≥bn⇒n√2bn≥n√a2+b2≥n√bn⇒21/nb≥n√a2+b2≥b,由於limn→∞21/nb=b,因此b≥limn→∞n√a2+b2≥b由夾擠定理可知:limn→∞n√a2+b2=b,也就是該數列收斂,且極限值為b
解答:
a.{y=0⇒lim(x,y)→(1,0)xey−1xey−1+y=limx→1x−1x−1=1y=lnx⇒lim(x,y)→(1,0)xey−1xey−1+y=limx→1x2−1x2−1+lnx=limx→12x2x+1/x=2/3⇒極限不存在b.{y=x⇒lim(x,y)→(0,0)sin(x−y)|x|+|y|=limx→0sin(0)2|x|=0y=−x⇒lim(x,y)→(0,0)sin(x−y)|x|+|y|=limx→0+sin(2x)2x=1⇒極限不存在
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答案未公告,解題僅供參考!!
第三題錯了,答案1/4根號2,不是根號2
回覆刪除前面有個1/8, 所以變成根號2, 答案沒錯!!
刪除乙部分第2題,開n次方根號後為何會變成a平方+b平方?
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