91年大學指考-數學甲詳解

九十一學年度指定科目考試數學甲試題

第壹部分：(75%)

一、單一選擇題(12%)

解答：

$$正立方體頂點A、B、C、D，各頂點間距離皆為1，則邊長為{1\over \sqrt 2} \Rightarrow 體積為{1\over 2\sqrt 2}={\sqrt 2\over 4}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答： $$20(80\%+ 70\%+ 60\%+50\%+ 40\%)= 60，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

二、多重選擇題(48%)

解答： $$(1)\bigcirc: f(-x)=\cos(-x)+{4\over \cos(-x)}=\cos(x)+{4\over \cos(x)} =f(x) \\(2) \bigcirc:f(x)=\cos(x)+{4\over \cos(x)} \ge 2\sqrt{\cos(x)\cdot {4\over \cos x}} =4 \\(3)\times: f'(x)=0 \Rightarrow -\sin x+{4\sin x\over \cos^2 x} =0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow f(0)=1+4=5 \Rightarrow 最小值是5\\(4)\times: \lim_{x\to \pm\pi/2}f(x) = \infty\\，故選\bbox[red, 2pt]{(12)}$$

解答： $$該四邊形一定是四邊等長，但不一定是正方形，除非長軸與座標軸垂直或平行，故選\bbox[red, 2pt]{(234)}$$

解答： $$(1)\bigcirc:兩轉移矩陣相乘仍是轉移矩陣\\(2) \times: AB仍是轉移矩陣\\(3) \bigcirc: (A+B)/2仍符合(甲)(乙)兩條件\\ (4)\times: 應該是(A^2+B^2)/2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(13)}$$

解答： $${0.2\%\over 0.2\% +99.8\%\times 4\%} \approx  4.77\%，故選\bbox[red, 2pt]{(12)}$$

解答： $$前四個月利息都一樣，只需考慮5-12月的本利和，即\cases{a=(1+0.003)^8\\ b=(1+0.004)^4(1+0.002)^4\\ c=(1+0.002)^4(1+0.004)^4}\\ 由於\cases{1.003^2=0.006009\\ 1.004\cdot 1.002=1.006008}，因此a\gt b=c，故選\bbox[red, 2pt]{(12)}$$

解答： $$(1)\times: 氧化物最大濃度的值大約是15\pm 10，標準差不可能大於15\\(2) \times: 28筆資料，中位數=(序位14+序位15)\div 2，而\cases{序位15=15\\ 序位14\lt 15}，因此中位數\lt 15\\(3)\bigcirc: 風速序位14與序位15均介於45與50之間\\ (4)\bigcirc: 直線呈現左上右下趨勢，斜率為負\\，故選\bbox[red, 2pt]{(34)}$$

三、選填題(15%)

解答：

$$假設\cases{\overline{PQ} =\overline{QR}=a\\ \angle OQP= \theta}，及P、Q在\overleftrightarrow{OR}的投影點分別為S及T，如上圖;\\ \overline{OQ} =\overline{PQ} \sin \theta = a\sin\theta \Rightarrow \overline{QT}=a\sin \theta/2 \Rightarrow \overline{PS}= 2\overline{QT}= a\sin\theta (\because {\overline{QT}\over \overline{SP} } ={\overline{RQ}\over \overline{RP}}={a\over 2a}) \\ \Rightarrow \overline{OP} =2a\sin \theta/\sqrt 3 \Rightarrow \tan \theta={a\sin\theta \over 2a\sin \theta/\sqrt 3}={\sqrt 3\over  2} \Rightarrow \tan^2 \theta =\bbox[red, 2pt]{3\over 4}$$

解答：

$$\cases{|x|+|y|\le 2為一邊長為\sqrt 2的菱形ABCD \\ |x|+|y-1|\le 2為一邊長為\sqrt 2的菱形A'B'C'D' } \Rightarrow A'B'C'D'為ABCD 向上平移一單位，如上圖;\\ 因此\overline{AP}=  \overline{AA'}\div \sqrt 2=  {1\over \sqrt 2}  \Rightarrow \overline{PB}=2\sqrt 2-{1\over \sqrt 2} \Rightarrow 所圍面積=\left( 2\sqrt 2-{1\over \sqrt 2} \right)^2=\bbox[red, 2pt]{9\over 2}$$

解答： $$令\cases{A(0,2)\\ B_n(1/n,0)\\ C_n(-1/n,0)\\ O(0,0)} \Rightarrow \lim_{n\to \infty} B_n =\lim_{n\to \infty} C_n = O \Rightarrow \lim_{n\to \infty} D_n=\overline{AO}=\bbox[red, 2pt]2$$

第貳部分：(25%)

解答： $$假設黑球有a個\Rightarrow {C^7_2\over C^{7+a}_2}={7\over 22} \Rightarrow {7\times 6\over (7+a)\times(6+a)} ={7\over 22} \Rightarrow a^2+13a +42=132 \\ \Rightarrow (a-5)(a+18)=0 \Rightarrow a=5 \Rightarrow 黑球有\bbox[red,2pt]5個$$

解答： $$f(x)= 3x^4-4mx^3+1 \Rightarrow f'(x)=0 \Rightarrow 12x^2(x-m)=0 \Rightarrow x=0,m\\ 圖形y=f(x)為凹向上且f(x)=0無實數解 \Rightarrow f(0)\gt 0 且f(m)\gt 0 \Rightarrow 3m^4-4m^4+1\gt 0\\ \Rightarrow m^4\lt 1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{-1\lt m\lt 1}$$  

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解題僅供參考，其他歷屆試題及詳解