111年法務部調查局調查人員考試
考 試 別:調查人員
等 別:三等考試
類 科 組:電子科學組
科 目:工程數學
解答:(一)∇⋅→F=∂∂xx2+∂∂yxy+∂∂z(y+z2)=2x+x+2z=3x+2z(二)∇×→F=(∂∂y(y+2z)−∂∂zxy,∂∂zx2−∂∂x(y+z2),∂∂xxy−∂∂yx2)=(1,0,y)(三)∇⋅(∇×→F)=∇⋅(1,0,y)=0(四)∇×(∇×→F)=∇×(1,0,y)=(1,0,0)
解答:(一)只要能寫成y″+p(x)y′+q(x)y=f(x),就是線性二階微分方程,因此是(二)y″+6y′−7y=0⇒特徵方程式r2+6r−7=0⇒(r+7)(r−1)=0⇒r=1,−7⇒齊次解:yh=C1ex+C2e−7x,C1及C2為常數(三)特定解yp=acosx+bsinx⇒y′p=−asinx+bcosx⇒y″p=−acosx−bsinx⇒y″p+6y′p−7yp=−acosx−bsinx−6asinx+6bcosx−7acosx−7bsinx=(6b−8a)cosx−(6a+8b)sinx=cosx⇒{6b−8a=16a+8b=0⇒{a=−2/25b=3/50⇒特定解yp=−225cosx+350sinx

解答:(一)A=[3−111]⇒det
解答:(一)\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,dx =1 \Rightarrow \int_{-\infty}^\infty Ce^{-\lambda|x|}\,dx =\int_{-\infty}^0 Ce^{\lambda x}\,dx + \int_0^{\infty} Ce^{-\lambda x}\,dx= 1\\ \quad\Rightarrow \left. \left[{C\over \lambda }e^{\lambda x} \right] \right|_{-\infty}^0 + \left. \left[ -{C\over \lambda }e^{-\lambda x} \right]\right|_{0}^\infty ={2C\over \lambda } =1 \Rightarrow C= \bbox[red, 2pt]{\lambda \over 2} \\(二)E(X) = \int_{-\infty}^\infty xf_X(x)\,dx =\int_{-\infty}^0 Cxe^{\lambda x}\,dx + \int_0^{\infty} Cxe^{-\lambda x}\,dx\\ \quad =C\left. \left[({x\over \lambda }-{1\over \lambda^2})e^{\lambda x} \right] \right|_{-\infty}^0 + C\left. \left[ (-{x\over \lambda }-{1\over \lambda^2})e^{-\lambda x} \right]\right|_{0}^\infty =\bbox[red, 2pt]{0} \\(三)x\gt x^2 \Rightarrow x\in (0,1) \Rightarrow P(X\gt X^2)=\int_0^1 f_X(x)\,dx = \int_0^1 Ce^{-\lambda x}\,dx = \left.\left[ -{C\over \lambda}e^{-\lambda x} \right] \right|_0^1 \\ =-{C\over \lambda}e^{-\lambda}+{C\over \lambda} =\bbox[red, 2pt]{{1\over 2}(1-e^{-\lambda})} \\(四)F_Y(y) = P(Y\le y)= P(|X|\le y) = P(-y\le X\le y) = F_X(y)-F_X(-y)\\ \Rightarrow f_Y(y)=\begin{cases}f_X(y)+f_X(-y) & y\ge 0\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} =\begin{cases}2f_X(y) & y\ge 0\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases} = \bbox[red, 2pt]{\begin{cases} \lambda e^{-\lambda y} & y\ge 0\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}}

解答:(一)\bbox[red,2pt]{z=0} \\(二) \cos z= {1\over 2}(e^{iz}+ e^{-iz}) \Rightarrow \cos(i)= {1\over 2}(e+{1\over e}) \Rightarrow f(i)=\cos(i)/i^5 ={1\over 2}(e+{1\over e})/i \\ \quad=- {1\over 2}(e+{1\over e})i =\alpha+ i\beta \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{\alpha=0\\ \beta =- {1\over 2}(e+{1\over e})}} \\(三)由羅倫特展開式可知Res(f(z))={1\over 24} \Rightarrow \int_C f(z)\,dz = {1\over 24}\times 2\pi i=\bbox[red, 2pt]{\pi i\over 12} \\(四)z=0不在K內,因此\int_K f(z)\,dz = \bbox[red, 2pt]0
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解題僅供參考,其他歷屆試題及詳解
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