111年法務部調查局調查人員考試
考 試 別:調查人員
等 別:三等考試
類 科 組:電子科學組
科 目:工程數學
解答:(一)∇⋅→F=∂∂xx2+∂∂yxy+∂∂z(y+z2)=2x+x+2z=3x+2z(二)∇×→F=(∂∂y(y+2z)−∂∂zxy,∂∂zx2−∂∂x(y+z2),∂∂xxy−∂∂yx2)=(1,0,y)(三)∇⋅(∇×→F)=∇⋅(1,0,y)=0(四)∇×(∇×→F)=∇×(1,0,y)=(1,0,0)
解答:(一)只要能寫成y″+p(x)y′+q(x)y=f(x),就是線性二階微分方程,因此是(二)y″+6y′−7y=0⇒特徵方程式r2+6r−7=0⇒(r+7)(r−1)=0⇒r=1,−7⇒齊次解:yh=C1ex+C2e−7x,C1及C2為常數(三)特定解yp=acosx+bsinx⇒y′p=−asinx+bcosx⇒y″p=−acosx−bsinx⇒y″p+6y′p−7yp=−acosx−bsinx−6asinx+6bcosx−7acosx−7bsinx=(6b−8a)cosx−(6a+8b)sinx=cosx⇒{6b−8a=16a+8b=0⇒{a=−2/25b=3/50⇒特定解yp=−225cosx+350sinx

解答:(一)A=[3−111]⇒det(A)=4⇒A−1=1det(A)[11−13]=[1/41/4−1/43/4](二)det(A)=|3−111|=3+1=4(三)det(A−λI)=0⇒λ2−4λ+4=0⇒(λ−2)2=0⇒特徵值λ=2又(A−2I)X=0⇒[1−11−1][x1x2]=0⇒x1=x2⇒只能找到一組線性獨立的特徵向量(k,k),k∈R⇒A無法對角化,故得證
解答:(一)∫∞−∞fX(x)dx=1⇒∫∞−∞Ce−λ|x|dx=∫0−∞Ceλxdx+∫∞0Ce−λxdx=1⇒[Cλeλx]|0−∞+[−Cλe−λx]|∞0=2Cλ=1⇒C=λ2(二)E(X)=∫∞−∞xfX(x)dx=∫0−∞Cxeλxdx+∫∞0Cxe−λxdx=C[(xλ−1λ2)eλx]|0−∞+C[(−xλ−1λ2)e−λx]|∞0=0(三)x>x2⇒x∈(0,1)⇒P(X>X2)=∫10fX(x)dx=∫10Ce−λxdx=[−Cλe−λx]|10=−Cλe−λ+Cλ=12(1−e−λ)(四)FY(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤y)=P(−y≤X≤y)=FX(y)−FX(−y)⇒fY(y)={fX(y)+fX(−y)y≥00otherwise={2fX(y)y≥00otherwise={λe−λyy≥00otherwise

解答:(一)z=0(二)cosz=12(eiz+e−iz)⇒cos(i)=12(e+1e)⇒f(i)=cos(i)/i5=12(e+1e)/i=−12(e+1e)i=α+iβ⇒{α=0β=−12(e+1e)(三)由羅倫特展開式可知Res(f(z))=124⇒∫Cf(z)dz=124×2πi=πi12(四)z=0不在K內,因此∫Kf(z)dz=0
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解題僅供參考,其他歷屆試題及詳解
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