大學入學考試中心
八十四學年度學科能力測驗
第一部分:選擇題
壹、單一選擇題
解答:x坐標越大、y坐標越小,則k值較大,因此挑右下角的坐標,故選(E)解答:由輾轉相除法可得4369與5911的最大公因數為257,即{4369=257×175911=257×23⇒14359+15911=23+17257×17×23=40100487,故選(A)
解答:10×5+9×4+8×3+7×2+6×1=50+36+24+14+6=130,故選(C)
解答:x2+y2+z2−2x+4y+2z−19=0⇒(x−1)2+(y+2)2+(z+1)2=25⇒{圓心P(1,−2,−1)半徑r=5⇒P在平面z=−1上,故選(B)
解答:{前兩位英文字母有26×26種組合後四位數字有10×10×10×9−1種組合⇒共有26×26(10×10×10×9−1)種組合,故選(D)
解答:X8910111250Y1112108950X26481100121144510Y21211441006481510XY8810810088108492∑⇒相關係數r=n∑XY−∑X∑Y√n∑X2−(∑X)2⋅√n∑Y2−(∑Y)2=5⋅492−50⋅50√5⋅510−502⋅√5⋅510−502=−4050=−45,故選(E)
貳、多重選擇題
解答:(A)◯:f(x)=(12)3x⇒f(−x)=(12)−3x=23x(B)×:f(x)=23x⇒f(−x)=2−3x≠32x(C)×:f(x)=x2⇒f(−x)=(−x)2=x2≠−x2(D)◯:f(x)=logx⇒f(−x)=log(−x)(E)×:{f(x)=cosx⇒f(−x)=cos(−x)=cosxsin(x−π/2)=−cosx⇒f(−x)≠sin(x−π/2),故選(AD)解答:cos74∘−cos14∘=−2sin74∘+14∘2sin74∘−14∘2=−2sin44∘sin30∘=−sin44∘<0(A)×:cos60∘=12≠−sin44∘(B)×:2sin30∘sin44∘=sin44∘≠−sin44∘(C)×:2cos30∘cos44∘>0(D)◯:sin16∘−sin76∘=2cos16∘+76∘2sin16∘−76∘2=2cos46∘sin(−30∘)=2cos(90∘−44∘)⋅−12=−sin44∘(E)◯:sin164∘+cos166∘=sin16∘−cos14∘=cos74∘−cos14∘,故選(DE)
解答:(A)◯:等軸雙曲線的特性之一(B)×:x+y=0未經過中心點(1,1)⇒x+y=0不是漸近線(C)◯:過中心(1,1)且與坐標軸平行(D)×:(x−1)2a2−(y−1)2a2=1經過(3,0)⇒a=√3⇒頂點(1±√3,1)(E)×:a=b=√3⇒c=√6⇒焦點(1±√6,1),故選(AC)
解答:令{A(0,0,0)B(1,0,1)C(0,1,1)D(1,1,0)⇒M=(C+D)÷2=(1/2,1,1/2)(A)◯:{平面ABM的法向量→n=→AB×→AM=(1,0,1)×(1/2,1,1/2)=(−1,0,1)→CD=(1,0,−1)⇒→n∥→CD⇒平面ABM與¯CD垂直(B)◯:→AB⋅→CD=(1,0,1)⋅(1,0,−1)=0⇒→AB⊥→CD(C)◯:{cos∠AMB=→MA⋅→MB|→MA||→MB|=1/3cos∠ADB=→DA⋅→DB|→DA||→DB|=1/2⇒cos∠ADB>cos∠AMB⇒∠AMB>∠ADB(D)◯:{平面ACD的法向量→u=→AC×→AD=(0,1,1)×(1,1,0)=(−1,1,−1)平面BCD的法向量→v=→BC×→BD=(−1,1,0)×(0,1,−1)=(−1,−1,−1)⇒cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=13<cos60∘⇒θ>60∘(E)×:{¯BA=√2¯BM=√32⇒¯BA≠¯BM,故選(ABCD)
解答:令{A(0,0,0)B(1,0,1)C(0,1,1)D(1,1,0)⇒M=(C+D)÷2=(1/2,1,1/2)(A)◯:{平面ABM的法向量→n=→AB×→AM=(1,0,1)×(1/2,1,1/2)=(−1,0,1)→CD=(1,0,−1)⇒→n∥→CD⇒平面ABM與¯CD垂直(B)◯:→AB⋅→CD=(1,0,1)⋅(1,0,−1)=0⇒→AB⊥→CD(C)◯:{cos∠AMB=→MA⋅→MB|→MA||→MB|=1/3cos∠ADB=→DA⋅→DB|→DA||→DB|=1/2⇒cos∠ADB>cos∠AMB⇒∠AMB>∠ADB(D)◯:{平面ACD的法向量→u=→AC×→AD=(0,1,1)×(1,1,0)=(−1,1,−1)平面BCD的法向量→v=→BC×→BD=(−1,1,0)×(0,1,−1)=(−1,−1,−1)⇒cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=13<cos60∘⇒θ>60∘(E)×:{¯BA=√2¯BM=√32⇒¯BA≠¯BM,故選(ABCD)
第二部份、填充題
解答:令{Γ1:x=y2+3y−2Γ2:y=x2+kx+19L:x+y=3,將L代入Γ1⇒3−y=y2+3y−2⇒y2+4y−5=0⇒(y+5)(y−1)=0⇒{y=1⇒x=2y=−5⇒x=8,將(2,1)及(8,−5)代入Γ2⇒{1=4+2k+19−5=64+8k+19⇒{k=−11k=−11⇒k=−11解答:9=1+8=3+6=5+4=7+2=9+0⇒x9係數=2⋅9+4⋅7+6⋅5+8⋅3+10⋅1=18+28+30+24+10=110
解答:林先生沒射中且陳小姐射中的機率=35×12=310
解答:10n−1>9n⇒n−1>nlog9=2nlog3⇒(1−2log3)n>1⇒n>11−2log3=21.85⇒n=22
解答:
四條直線{L1:x−y=1L2:x+y=4L3:8x+y=−10L4:x=2的交點{A(−2,6)B(2,2)C(2,1)D(−1,−2)⇒對角線{¯AC=√41¯BD=5
cos(50∘+70∘)=2002+3002−x22⋅200⋅300⇒−12=130000−x2120000⇒x2=190000⇒x=100√19
解答:{a=25ar10=30⇒r10=3025=65⇒r20=3625⇒ar30=30⋅3625=2165=43.2
解答:f(x)=(sinx+cosx+2)2−4,而sinx+cosx=√2sin(x+45∘)最小值為−√2因此f(x)的最小值=(−√2+2)2−4=2−4√2
解答:
解答:f(x)=(sinx+cosx+2)2−4,而sinx+cosx=√2sin(x+45∘)最小值為−√2因此f(x)的最小值=(−√2+2)2−4=2−4√2
解答:
令P′為P(1,2,1)的對稱點(xy−平面為對稱平面),則P′(1,2,−1)且¯OP=¯OP′;又¯OR=2¯PO⇒→OR=2→P′O=(−2,−4,2)
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解答僅供參考,其他歷屆試題及詳解
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