大學入學考試中心
八十七學年度學科能力測驗
在三區間(0,π/2)、(π/2,3π/2)、(3π/2,5π/2)各有一交點,故選(4)
解答:本題多項式非實係數,因此將1−i代入⇒(1−i)2+a(1−i)+3−i=0⇒a(1−i)+3−3i=0⇒a=3i−31−i=−3,故選(1)
解答:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)⇒max(P(A),P(B))≤P(A∪B)<P(A)+P(B)⇒max(12,13)≤P≤(12+13)⇒12≤P≤56,故選(4)
解答:
解答:本題多項式非實係數,因此將1−i代入⇒(1−i)2+a(1−i)+3−i=0⇒a(1−i)+3−3i=0⇒a=3i−31−i=−3,故選(1)
解答:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)⇒max(P(A),P(B))≤P(A∪B)<P(A)+P(B)⇒max(12,13)≤P≤(12+13)⇒12≤P≤56,故選(4)
解答:
(1)→AB⋅→AB=¯AB2=1(2)→AB⋅→AC=√3cos30∘=3/2(3)→AB⋅→AD=2cos60∘=1(4)→AB⋅→AE=0(5)→AB⋅→AF=1cos120∘<0,故選(2)
貳、多重選擇題
解答:(1)513+216=729≡1mod4⇒729是完全平方數(3)216+145=361≡1mod4⇒361是完全平方數(5)145+216=361≡1mod4⇒361是完全平方數,故選(135)解答:{L1:ax−4y=1L2:(a+1)x+3y=2L3:x−2y=3⇒{L1斜率m1=a/4L2斜率m2=−(a+1)/3L3斜率m3=1/2⇒{m1m2=−a(a+1)/12=−1⇒a=3,−4m2m3=−(a+1)/6=−1⇒a=5m1m3=a/8=−1⇒a=−8⇒a=−8,−4,−1,3,5皆可能形成直角三角形,故選(1245)
解答:(1)×:cos50∘=sin40∘<sin50∘⇒sin50∘>cos50∘(2)×:sin50∘>cos50∘⇒{tan50∘=sin50∘cos50∘>1cot50∘=1tan50∘<1⇒tan50∘>cot50∘(3)◯:sin50∘<1⇒sin50∘cos50∘<1cos50∘⇒tan50∘<sec50∘(4)◯:{sin230∘=−sin50∘cos230∘=−cos50∘⇒sin230∘<cos230∘(5)×:{tan230∘=tan50∘cot230∘=cot50∘⇒tan230∘>cot230∘,故選(34)
解答:
{A(1,2,3)B(2,5,3)C(2,6,4)⇒{¯AC中點E=(3/2,4,7/2)¯AB中點F=(3/2,7/2,3)¯BC中點G=(2,11/2,7/2)⇒{ABCP為平行四邊形⇒P=2E−B=(1,3,4)ACBQ為平行四邊形⇒Q=2F−C=(1,1,2)ABRC為平行四邊形⇒R=2G−A=(3,9,4)D∈{P,Q,R}⇒A、B、C、D構成一平行四邊形,故選(235)
解答:{f(4)>0f(5)<0⇒f(1)為極大值(1)◯:圖形對稱x=1⇒f(4)=f(1+3)=f(1−3)=f(−2)>0⇒f(0)>0(2)◯:理由同上(3)◯:理由同上(4)×:f(5)=f(1+4)=f(1−4)=f(−3)<0(5)×:f(−4)=f(1−5)=f(1+5)=f(6)<0,故選(123)
解答:a(12+123+⋯)+b(122+124+⋯)=a⋅1/21−1/4+b⋅1/41−1/4=23a+13b=3⇒2a+b=9
解答:假設{甲生產速度=a萬/時乙生產速度=b萬/時丙生產速度=c萬/時⇒{10(a+b+c)=315(b+c)=315a+30c=3⇒{a=1/10b=3/20c=1/20⇒全由乙生產需要3b=20小時
解答:
解答:(1)◯:由圖形可知:{f(1)=2f(2)=4=22f(3)=8=23f(4)=16=24⇒f(t)=2t(2)◯:f(5)=25=32>30(3)×:log212−log24=2+log23−2=log23=log3log2=0.47710.301≈1.58>32(4)◯:log22+log23=log26(5)×:{1−3月:8−22=32−4月:16−42=6⇒兩者速度不相等,故選(124)
第二部分:填充題
解答:假設三位數字為a,b,c⇒abc數量20−901030−911040−92101,50−93202,60−94203,70−95204,80−96205,90−972060−981070−9910⇒共150個解答:a(12+123+⋯)+b(122+124+⋯)=a⋅1/21−1/4+b⋅1/41−1/4=23a+13b=3⇒2a+b=9
解答:假設{甲生產速度=a萬/時乙生產速度=b萬/時丙生產速度=c萬/時⇒{10(a+b+c)=315(b+c)=315a+30c=3⇒{a=1/10b=3/20c=1/20⇒全由乙生產需要3b=20小時
解答:
將12條稜線編號:1−12,如上圖;則互為歪斜的稜線:(1,7),(1,8),(1,9,),(1,11)(2,5),(2,8),(2,10),(2,12),(3,5),(3,6),(3,9),(3,11),(4,6),(4,7),(4,10),(4,12)(5,11),(5,12),(6,9),(6,12),(7,9,),(7,10),(8,10),(8,11),共24對
解答:
解答:
路徑長度=3條長紅線+3條短藍線,其中藍線長度為√2,紅線長度8−√2因此路徑長=3(8−√2+√2)=24
解答:an+2=an+1+an⇒a4=a3+a2=2a2+a1=2r+1=2−√5⇒r=1−√52
解答:¯CD=¯AD−¯AC=20−50=150;又∠BCA=60∘=∠D+∠CBD=30∘+∠CBD⇒∠CBD=30∘⇒¯BC=¯CD=150⇒cos∠ACB=¯AC2+¯CB2−¯AB22⋅¯AC⋅¯CB⇒12=502+1502−¯AB22⋅50⋅150⇒¯AB2=17500⇒¯AB=50√7
解答:假設f(x)=(x2+x+1)P(x)+ax+b⇒(x+1)f(x)=(x+1)(x2+x+1)P(x)+(ax+b)(x+1)=(x+1)(x2+x+1)P(x)+ax2+(a+b)x+b=(x+1)(x2+x+1)P(x)+a(x2+x+1)+bx+(b−a)⇒bx+(b−a)=5x+3⇒{b=5b−a=3⇒a=2⇒餘式為2x+5
解答:P在¯QF的中垂線上⇒¯PF=¯PQ⇒¯OP+¯PF=¯OQ=圓半徑=6>¯OF=4⇒P的軌跡為一橢圓,且{中心=¯OF中點=(2,0)2c=¯OF=4⇒c=22a=6⇒a=3⇒b=√32−22=√5⇒橢圓方程式:(x−2)29+y25=1
解答:依試題所附公式:Ik=∑pikqi∑pi0qi×100=16⋅45+97⋅5+74⋅0.5+15⋅4+13⋅3+54⋅0.87.6⋅45+49⋅5+36⋅0.5+5.6⋅4+4.7⋅3+25⋅0.8×100=1384.2661.5×100=209.25%⇒高出209.25%−100%≈109%
解答:an+2=an+1+an⇒a4=a3+a2=2a2+a1=2r+1=2−√5⇒r=1−√52
解答:¯CD=¯AD−¯AC=20−50=150;又∠BCA=60∘=∠D+∠CBD=30∘+∠CBD⇒∠CBD=30∘⇒¯BC=¯CD=150⇒cos∠ACB=¯AC2+¯CB2−¯AB22⋅¯AC⋅¯CB⇒12=502+1502−¯AB22⋅50⋅150⇒¯AB2=17500⇒¯AB=50√7
解答:假設f(x)=(x2+x+1)P(x)+ax+b⇒(x+1)f(x)=(x+1)(x2+x+1)P(x)+(ax+b)(x+1)=(x+1)(x2+x+1)P(x)+ax2+(a+b)x+b=(x+1)(x2+x+1)P(x)+a(x2+x+1)+bx+(b−a)⇒bx+(b−a)=5x+3⇒{b=5b−a=3⇒a=2⇒餘式為2x+5
解答:P在¯QF的中垂線上⇒¯PF=¯PQ⇒¯OP+¯PF=¯OQ=圓半徑=6>¯OF=4⇒P的軌跡為一橢圓,且{中心=¯OF中點=(2,0)2c=¯OF=4⇒c=22a=6⇒a=3⇒b=√32−22=√5⇒橢圓方程式:(x−2)29+y25=1
解答:依試題所附公式:Ik=∑pikqi∑pi0qi×100=16⋅45+97⋅5+74⋅0.5+15⋅4+13⋅3+54⋅0.87.6⋅45+49⋅5+36⋅0.5+5.6⋅4+4.7⋅3+25⋅0.8×100=1384.2661.5×100=209.25%⇒高出209.25%−100%≈109%
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解答僅供參考,其他歷屆試題及詳解
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