91年大學指考-數學乙詳解

九十一學年度指定科目考試數學乙試題

第壹部分：(60%)

一、單一選擇題(12%)

解答：$$f(x)= x^4-4x^3-3x^2+x+1 \Rightarrow \cases{f(-3)=160 \gt 0\\ f(-2)=35 \gt 0\\ f(-1)=2 \gt 0\\ f(0)= 1\gt 0\\ f(1)=-4\lt 0\\ f(2)= -25 \lt 0}\Rightarrow 介於0與1之間至少有一實根，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

解答：$$(1)\times: 北部地區相對生活滿意度:\cases{88年:75.4/79.1= 95.3\% \\89年:73.3/73.2= 100.1\% \\90年:63.6/64.1= 99.2\% } \Rightarrow 88年最低 \\(2)\times: 中部地區相對生活滿意度:\cases{88年:74.6/79.1= 94.3\% \\89年:73.8/73.2= 100.8\% \\90年:61.9/64.1= 96.6\% } \Rightarrow 89年\gt 88年,非逐年下降 \\(3)\bigcirc: 南部地區相對生活滿意度:\cases{88年:77.6/79.1= 98.1\% \\89年:71.6/73.2= 97.8\% \\90年:60/64.1= 93.6\% } \Rightarrow 90年最低 \\(4)\times: \cases{88年:75.4,74.6, 77.6,79.1 \\ 89年: 73.3,73.8, 71.6,73.2\\ 90年: 63.3,61.9, 60,64.1} \Rightarrow 89年差異最小 \\(5)\times: 89年最小，非逐年降低，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

二、選填題（ 4 8 % ）

解答：$$(1+{a\over 100})^{10}=2 \Rightarrow 10\log(1+{a\over 100})=\log 2 \Rightarrow \log(1+0.01a)={0.301\over 10} =0.0301 \\ 查表可得\; 0.0294\lt \log(1+0.01a)\lt 0.0334 \Rightarrow 7\lt a\lt 8 \Rightarrow a\ge \bbox[red, 2pt]8$$

解答：$$\cases{2a= 5+1=6\\ 2c=5-1=4} \Rightarrow \cases{a=3\\ c=2 } \Rightarrow b=\sqrt 5 \Rightarrow (a,b)=\bbox[red,2pt]{(3,\sqrt 5)}$$

解答：$$\angle AOB={360^\circ\over 8} =45^\circ \Rightarrow \angle AOC=22.5^\circ \Rightarrow {a\over b}=\sin 22.5^\circ =\bbox[red, 2pt]{\sqrt{2-\sqrt 2}\over 2}\\ 註:\sin 22.5^\circ=a \Rightarrow \cos 22.5^\circ =\sqrt{1-a^2} \Rightarrow \cos 45^\circ =1-2\sin^2 22.5^\circ \Rightarrow {1\over \sqrt 2} =1-2a^2\\ \Rightarrow a^2 ={2-\sqrt 2\over 4} \Rightarrow a={\sqrt{2-\sqrt 2}\over 2}$$

解答：$$假設\cases{\bigcirc:供水\\ \times:停水}，本題相當於5個\bigcirc與2個\times排列，其中2個\times不能相鄰\\ \Rightarrow 排列數=全部-2個\times相鄰={7!\over 5! 2!}-6=\bbox[red, 2pt]{15}$$

解答：$$假設第n層有a_n個焊接點，則\cases{a_1=1\\ a_n= a_{n-1}+n,n\ge 2}\\ \Rightarrow a_n= a_{n-2}+(n-1)+n= a_1+ 2+3+\cdots+ n\\ \Rightarrow a_n=1+2+\cdots +n={n(n+1)\over 2} \Rightarrow \sum_{n=1}^6 a_n ={1\over 2}\sum_{n=1}^6(n^2+n) ={1\over 2}\left({6\cdot 7\cdot 13\over 6}+ {6\cdot 7\over 2} \right) =\bbox[red, 2pt]{56}$$

解答：$$等腰直角\triangle ，斜邊長為2 \Rightarrow 腰長為2/\sqrt 2= \bbox[red, 2pt]{\sqrt 2}$$

第貳部分：（40%）

解答：$$\cases{甲廠獲利期望值:10000\times 0.6-7000\times 0.4=3200萬元\\ 乙廠獲利期望值:6000\times 0.7-5000\times 0.3=2700萬元}\\ \Rightarrow 在甲地設廠獲利期望值大於乙地，故選\bbox[red,2pt]{甲地}投資$$

解答：

$$假設廣告費分配為\cases{報章雜誌廣告 x拾萬元 \\ 電台廣告y拾萬元} \Rightarrow \cases{x,y\ge 0\\ 5x+6y\ge 160\\ 10x+4y \ge 160\\ 5x+6y +10x+4y\ge 360\\ 目標函數f(x,y)=x+y}\\ \Rightarrow 所圍區域各頂點坐標:\cases{A(0,40)\\ B(4,30)\\ C(14,15)\\ D(32,0)} \Rightarrow \cases{f(A)=40\\ f(B)=34\\ f(C)=29最小\\ f(D)=32}\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{至少要花290萬元，其中報章雜誌廣告 140萬元、電台廣告150萬元}$$

解答：$$(1)a_n={1+\sqrt{8n-7} \over 2} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{a_2=2\\ a_3={1+\sqrt{17} \over 2} \\a_4= 3 \\ a_5= {1+\sqrt{33}\over 2} \\a_6= {1+\sqrt{41}\over 2} \\a_7=4}}\\(2) k^2-k=k(k-1) =(奇數\times 偶數)或(偶數\times 奇數) =偶數 \Rightarrow k^2-k必為偶數\\(3) a_m ={1+\sqrt{8m-7} \over 2}=k \Rightarrow m={(2k-1)^2+7\over 8} ={4k(k-1)+8\over 8} \in \mathbb{N} \\(\because k(k-1)為偶數\Rightarrow 4k(k-1)為8的倍數)，因此只要取m={4k(k-1)+8\over 8}，就可得到a_m=k$$

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解題僅供參考，其他歷屆試題及詳解