大學入學考試中心
八十六學年度學科能力測驗
第一部分:選擇題
壹、單一選擇題
解答:tanθ=m1−m21+m1m2=√3−1/√31+1=1√3⇒θ=30∘,故選(1)解答:→PQ⊥(a,b,c)⇒→PQ⋅(a,b,c)=0,故選(4)
解答:−2<x<4⇒(x+2)(x−4)<0⇒f(x)=−(x+2)(x−4)⇒f(2x)=−(2x+2)(2x−4)<0⇒(x+1)(x−2)>0⇒x>2或x<−1,故選(2)
解答:假設{首項a公比r⇒{a1−r=89⋯(1)ar3=332⋯(2);(2)(1)⇒r3(1−r)=3344⇒r=34,故選(3)
解答:
假設{正六邊形邊長¯AB=3正12邊形邊長=3−2a,見上圖;則cosA=a2+a2−(3−2a)22⋅a⋅a⇒−12=−2a2+12a−92a2⇒a2−12a+9=0⇒a=6−3√3⇒3−2a=6√3−9,故選(5)
解答:→a=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(−1,0,0),(0,−1,0),(0,0,−1),共6個,故選(2)
解答:將正立方體的中心視為空間原點,則與xy−平面、yz−平面及xz−平面平行的四中心點連線皆為正方形,因此共有3個,故選(1)
解答:40人全都沒有連續丟5局的機率:(3132)40⇒至少有一人的機率p=1−(3132)40,利用試題附表:log(3132)40=40(log31−log32)=40(log3.1+1−(log3.2+1))=40(0.4914+1−(0.5051+1))=−40×0.0137=−0.548=−1+0.452=log2.8310=log0.283⇒(3132)40=0.283⇒p=1−0.283=0.717,故選(4)
解答:將正立方體的中心視為空間原點,則與xy−平面、yz−平面及xz−平面平行的四中心點連線皆為正方形,因此共有3個,故選(1)
解答:40人全都沒有連續丟5局的機率:(3132)40⇒至少有一人的機率p=1−(3132)40,利用試題附表:log(3132)40=40(log31−log32)=40(log3.1+1−(log3.2+1))=40(0.4914+1−(0.5051+1))=−40×0.0137=−0.548=−1+0.452=log2.8310=log0.283⇒(3132)40=0.283⇒p=1−0.283=0.717,故選(4)
貳、多重選擇題
解答:f(x)=3∑n=1(x−n)2+10∑n=8(x−n)2=(x−1)2+(x−2)2+(x−3)2+(x−8)2+(x−9)2+(x−10)2f′(x)=0⇒2(x−1)+2(x−2)+2(x−3)+2(x−8)+2(x−9)+2(x−10)=0⇒6x−33=0⇒x=5.5(1)×:a=5.5∉Z(2)◯:5.5<5.9(3)◯:5.5>5.1(4)×:|a−4|=|5.5−4|=1.5≮5(5)×:|a−6|=|5.5−6|=0.5≮0.5,故選(23)解答:令{直線L:3x+y−19=0F(−1,2)P(x,y),則|3x+y−19√10|=√(x+1)2+(y−2)2相當於¯PF=d(P,L)(1)◯:{F為焦點L為準線,該方程式符合拋物線的定義(2)×:焦點為(−1,2)≠(1,−2)(3)×:L為準線非漸近線(4)◯:對稱軸與L垂直且通過F,即為x−3y+7=0(5)×:Q=(3,1)⇒{¯QF=√17d(Q,L)=9/√10⇒¯QF≠d(Q,L)⇒Q∉Γ,故選(14)
解答:(1)◯:r1=r2=0(2)◯:r3>0=r2(3)×:r3=r4,X,Y互換(4)×:r(x,y)=r(x,2y)⇒r3=r5(5)◯:r3=r4=r5,故選(125)
第二部分:填充題
解答:利用長除法:f(x)=(x+7)(x4−x3+3x2+4x+2)+6⇒f(−7)=6解答:{E1:2x−y+2z=6E2:3x−4z=2⇒{→n1=(2,−1,2)→n2=(3,0,−4)⇒cosθ=→n1⋅→n2|→n1||→n2|=−215⇒θ為鈍角⇒cos(π−θ)=215⇒θ≈82(查試題附表)
解答:→AB⋅→AD=|→AB||→AD|cos∠A=2cos120∘=−1⇒|→AC|2=→AC⋅→AC=(3→AB+2→AD)⋅(3→AB+2→AD)=9|→AB|2+12→AB⋅→AD+4|→AD|2=25−12=13⇒|→AC|=√13
解答:三直線{y=03x−2y+3=0x+y−4=0相交於{A(1,3)B(−1,0)C(4,0)⇒{¯AB=√13¯AC=3√2¯BC=5⇒cos∠A=1√16⇒sin∠A=5√26⇒直徑=¯BCsin∠A=55/√26=√26
解答:∠A+∠C=180∘⇒cos∠A=−cos∠C⇒1+16−¯BD22⋅1⋅4=−22+32−¯BD22⋅2⋅3⇒51−3¯BD2=−26+2¯BD2⇒¯BD2=775⇒¯BD=√775
解答:3100=a×10m⇒log3100=log(a×10m)⇒100log3=100×0.4771=47.71=m+loga⇒loga=0.71;由於{log5=1−log2=1−0.301=0.699log6=0.301+0.4771=0.7781,因此log5<loga<log6⇒a的整數部份為5
解答:{P(甲→甲→甲)=910×910P(甲→乙→甲)=110×15,兩路線機率之和=81100+150=83100
解答:{P(三粒骰子都是n)=1/216P(三粒骰子中恰有二粒都是n)=15/216P(三粒骰子只有一粒是n)=75/216P(三粒骰子都不是n)=125/216⇒期望值=3×1216+2×15216+75216−125216=−17216
========================= END ==========================
解答僅供參考,其他歷屆試題及詳解
寫錯了啦=.=
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