111年高雄聯合轉學考(升高二)-數學詳解

 高雄區公立高中111學年度聯合招考轉學生《高1升高2》試卷

一、 單一選擇題（ 60 分）

解答： $$f(x)=x^3p(x)+(x-1) =  (x^2-x+1)q(x)+r(x)，由於x^3與x^2-x+1無公因式\\ 取\cases{p(x)=x^2-x+1\\ q(x)=x^3} \Rightarrow R(x)=x-1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

2. 日文老師為了確保學生有最好的學習效率，便和心理學家合作，想研究出學生學習時間與背誦日文單字量的關係。經過抽樣調查，得出公式 $𝐿(𝑡) = 𝑎(1 − 10^{−𝑏𝑡})$描述學生經過 t 小時學習之後可以背熟的單字量，這裡常數 a 與 b 跟學生及學習的科目有關。假設阿悟專心背誦單字， 2 個小時之後，可以背熟 40 個單字； 4 個小時之後，可以背熟 100 個單字。若這個模式沒有改變的情形下，利用上面的數據計算， 6 個小時之後，可以背熟____________個單字。

(A) 150   (B) 170   (C) 190   (D) 210

解答： $$\cases{L(2)=40\\ L(4)=100} \Rightarrow \cases{a(1-10^{-2b})=40 \\ a(1-10^{-4b})=100},兩式相除\Rightarrow {1-10^{-2b} \over 1-10^{-4b}} ={2\over 5} \Rightarrow 3-5\cdot 10^{-2b}+ 2\cdot 10^{-4b}=0\\ \Rightarrow 3\cdot 10^{4b}-5\cdot 10^{2b}+2=0 \Rightarrow (3\cdot 10^{2b}-2)(10^{2b}-1)=0 \Rightarrow 10^{2b}={2\over 3}(10^{2b}\ne 1,否則b=0)\\ \Rightarrow a(1-10^{-2b})= a(1-{3\over 2})=40 \Rightarrow a=-80 \Rightarrow L(6)=a(1-10^{-6b})=-80(1-({3\over 2})^3)=190\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

3. 在過去，尋找最大的質數一直是不少數學家的目標，直到 20 世紀中後期超級電腦問世，繁瑣的運算變得容易，陸續有更大的質數被發現。在 1999 年 6 月 1 日數學家利用超級電腦驗證出$2^{6972593} − 1$是一個質數。假定每張 A4 紙可列印出 3000 個數字，試問若想列印出此質數至少需要多少張 A4 紙？請從下列選項中，選出最接近的答案。

(A) 100   (B) 200   (C) 500   (D) 700

解答： $$\log 2^{6972593}= 6972593\times 0.301= 2098750.493 2^{6972593}是2098751位數\\ 2098751\div 3000 = 699.58 ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$1\le 2x\le 3x+4y \le 5y\le 20 \Rightarrow \cases{x\ge {1\over 2}\\ y\le 4\\ y\ge 3x}所圍區域為一\triangle，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

5. 已知三次函數$𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥^3 − 6𝑥^2 + 15𝑥 − 9$，若函數𝑔(𝑥 )的圖形沿著 x 軸方向向右平移 2 單位，再沿著 y 軸方向向上平移 5 單位後，會與𝑦 = 𝑓(𝑥)的圖形重合，試求函數𝑔(𝑥) =？

$(A) 𝑥^2 + 2𝑥 \quad(B) 𝑥^2 + 3𝑥 \quad(C) 𝑥^2 + 4𝑥 \quad(D) 𝑥^2 + 5𝑥$

解答： $$g(x-2)+5 = x^3-6x^2+15x-9 \Rightarrow g(x-2)= x^3-6x^2+15x-14 =(x-2)(x^2-4x+7)\\ =(x-2)((x-2)^2+3) = (x-2)^3+3(x-2) \Rightarrow g(x-2)=(x-2)^3+3(x-2)\\ \Rightarrow g(x)=x^3+3x，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}\\ 答案選項有誤，應該是x^3+3x,不是x^2+3x; 三次方程式經過平移後仍是三次式$$

6. 麻將國的推銷員陳自摸經常在東風、 西風、 南風、 北風、 紅中等五個城市推銷產品，但礙於政府資金短缺， 西風、 南風兩城市之間無相連的道路。若陳自摸由東風出發，再回到東風之間，每一個城市恰都經過一次，試問有多少種走法？

(A) 4 (B) 6 (C) 12 (D) 24

解答： $$"東"排第一、西南北中任排，有4!=24種排法；需扣除西南或南西，各有6個\\，因此有24-6-6=12種走法，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

7. 降雨季節分布不均總會造成不少地區困擾，當地的自來水公司必須提出相應的對策。以 A 市為例，自來水公司決定未來 10 天之中選擇 3 天停止供水。為避免造成民眾不便，決議停水的任兩天不相連，則自來水公司有幾種選擇方式？

(A) 56 (B) 120 (C) 336 (D) 112

解答： $$\begin{array} {} 停水日 & 數量\\\hline 1,3,5-10 & 6\\ 1,4,6-10& 5\\ \cdots\\ 1,8,10 & 1\\\hdashline 2,4. 6-10 & 5\\ 2,5,7-10 & 4\\ \cdots\\ 2, 8, 10& 1\\\hdashline \dots \\\hdashline 6,8,10 & 1\\\hline \end{array} \Rightarrow 共有\sum_{n=1}^6 \sum_{k=1}^n k = 1+3+6+10+15+21= 56種，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

8. 某班化學小考表現不佳，全班 15 位同學平均僅 50 分，因此化學老師決定替每位同學加 20 分，但其中兩位同學的原始分數為 90 分及 100 分，調整後皆以 100 分計算。已知調分前標準差為 20 分，且其餘同學調整後都未超過 100 分，試問調整後的標準差σ滿足下列哪個選項？

(A) 15 < 𝜎 ≤ 16 (B) 16 < 𝜎 ≤ 17 (C) 17 < 𝜎 ≤ 18 (D) 18 < 𝜎 ≤ 19

解答： $$原始分數為X \Rightarrow \cases{\bar x=50\\ \sigma_X=20} ;調整後分數Y=X+20 \Rightarrow \bar y = ((50+20)\times 15-10-20)\div 15 =68\\ 若原始分數為90及100的兩位同學加分至110及120，則調整後的標準差不變\\，即 20=\sqrt{Q+(110-68)^2 +(120-68)^2 \over 15} \Rightarrow Q=1532(其他13位同學調整後與平均差值的平方和)；\\真正的調整後的標準差為\sqrt{Q+(100-68)^2 +(100-68)^2 \over 15} =\sqrt{1532+32^2+32^2\over 15} =15.45\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

9. 一房屋的側面圖如下圖所示，若 ABCD 為正方形且邊長為 a， $\overline{𝐴𝐸}=b，\angle EAB=\theta$，則屋頂 E 點離地面的高度可表示為

解答： $$a+b\sin(\theta-90^\circ)= a-b\cos \theta，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

10. 小謝、 小邱、 小涵三個好朋友常到彼此家拜訪，為了方便辨識，他們各有一張地圖上分別以 A、 B、 C 三點標示小謝、 小邱、 小涵的家。由於他們最常到小邱家，因此知道 B、 C 之間的直線距離為 200 公尺，B、 A 之間的直線距離為 1500 公尺。假設今天他們想估計 A、 C 之間的直線距離，已知∠ ACB=60°，試問最佳近似值為何？

(A) 1500 公尺 (B) 1600 公尺 (C) 1700 公尺 (D) 1800 公尺

解答： $$假設\overline{AC}=a \Rightarrow \cos \angle ACB ={\overline{BC}^2+\overline{AC}^2-\overline{AB}^2 \over 2\cdot \overline{BC} \cdot \overline{AC}} \Rightarrow \cos 60^\circ ={1\over 2}={200^2+a^2 -1500^2 \over 400a}\\ \Rightarrow a^2-200a-2210000=0 \Rightarrow a={200+ \sqrt{8840400}\over 2} =100+\sqrt{2210100} \approx 1586，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$p=\sqrt{32}-5 = 4\sqrt 2-5 \Rightarrow \sqrt 2= {p+5\over 4} \Rightarrow \sqrt 2的小數部份={p+5\over 4}-1 ={p+1\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

12. 某研究機構發表全球平板電腦的產值預測，未來四年的成長率依序為 80 ％、 50 ％、 0％、 20 ％。依此數據，請問未來四年的「平均成長率」最接近下列那一個選項？

(A) 23 ％ (B) 25 ％ (C) 30 ％ (D) 34 ％ (E) 40 ％。

解答： $$(1+0.8)(1+0.5)(1+0)(1+0.2) = 3.24 = (1+p)^4 \Rightarrow p=0.34，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

13.設有 10 筆$（ x_i， y_i）$的資料，$σ_X＝ 4，σ_Y＝ 2$，且相關係數 r＝ 0.8，則 y 對 x 做最適直線的斜率為下列何者？

(A)0.4 (B) 0.64 (C) 0.8 (D) 1 (E) 1.6。

解答： $$r \times {\sigma_Y\over \sigma_X} =0.8\times {2\over 4}=0.4，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$0.6\times 2+0.03 \lt 1.63 \lt  0.6\times 3+0.03 \Rightarrow 1.516^2\times 1.021 \lt 2^{1.63}\lt 1.516^3\times 1.021\\ \Rightarrow 2.3465 \lt 2^{1.63} \lt 3.557，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

15 . 10 張撲克牌中有 4 張紅心， 6 張黑桃。甲從這 10 張牌中隨機抽一張出來，如果是紅心，代表甲輸，甲要付給乙 300 元；如果是黑桃，代表乙輸，為了公平起見，乙要付給甲多少元？

(A) 180 (B) 120 (C) 450 (D) 200 (E) 300

解答： $${4\over 10}\times 300 ={6\over 10}\times x \Rightarrow x=200，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

二、 多重選擇題（ 40 分）

16.圖中，兩直線 L1， L2 之方程式分別為 L1： ax − y + b = 0， L2： cx − y + d = 0。試問下列 哪些選項是正確的？

解答： $$(A)\times: L_1斜率為負值\Rightarrow a\lt 0\\ (B)\bigcirc: L_1的x截距為正值\Rightarrow -{b\over a} \gt 0 \Rightarrow b\gt 0 (a\lt 0) \\(C)\bigcirc: L_1斜率\gt L_2斜率 \Rightarrow a\gt c\\ (D)\bigcirc: L_2的x截距為負值\Rightarrow -{d\over c}\lt 0 \Rightarrow d\lt 0,由(2)知:b\gt 0，因此b\gt d \\(E)\times: \cases{a,c,d\lt 0\\ b\gt 0} \Rightarrow \cases{{b\over a}\lt 0\\ {d\over c}\gt 0} \Rightarrow {d\over c}\gt {b\over a}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCD)}$$

解答： $$\begin{array}{crrrrrr|r}& & & & & &\sum\\ \hline X &20 & 22 & 24 & 26 & 28 & 120\\Y & 12 & 13 & 11 & 9 & 10 & 55\\X^2 &400 & 484 & 576 & 676 & 784 & 2920\\Y^2 & 144 & 169 & 121 & 81 & 100 & 615\\XY &240 & 286 & 264 & 234 & 280 & 1304\\ \hline\end{array}\\(A) \times: \cases{ \sigma_X= \sqrt{\sum X^2/n-(\sum X/n)^2} =\sqrt{2920/5-(120/5)^2} = 2\sqrt 2\\ \sigma_Y= \sqrt{\sum Y^2/n-(\sum Y/n)^2} =\sqrt{615/5-(55/5)^2}=\sqrt 2} \Rightarrow \sigma_X \gt \sigma_Y \\(B)\times: 相關係數r={n\sum XY-\sum X\sum Y\over \sqrt{n\sum X^2-(\sum X)^2} \cdot \sqrt{n\sum Y^2-(\sum Y)^2}} ={5\cdot 1304-120\cdot 55\over \sqrt{5\cdot 2920-120^2} \cdot \sqrt{5\cdot 615-55^2}}\\\qquad \qquad ={-80\over \sqrt{200}\cdot\sqrt{50}} =-0.8\\ (C)\bigcirc: {Cov(U,V)\over \sigma(U) \sigma(V)} ={Cov(-2X-1,Y+1)\over \sigma(-2X-1)\sigma(Y+1)} ={-2Cov(X,Y)\over 2\sigma(X)\sigma(Y)} =-r=0.8\\(D) \times: 迴歸直線斜率=-0.8\times {\sigma(Y)\over \sigma(X)}= -0.8\times {\sqrt 2\over 2\sqrt 2} =-0.4，直線方程式y=-0.4(x-\bar x)+\bar y\\ \qquad \Rightarrow y=-0.4(x-120/5)+55/5 \Rightarrow y=-0.4(x-24)+11\\ (E)\bigcirc: x=25代入 y=-0.4(25-24)+11=10.6千箱=10600箱\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CE)}$$

解答： $$\cases{A(2,-1)\\ B(5,1)\\C(3,k)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB}=( 3,2)\\ \overrightarrow{AC}= (1,k+1)\\ \overrightarrow{BC}= (-2,k-1)}\\ \Rightarrow \cases{\angle A=90^\circ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0 \Rightarrow 3+2k+2=0 \Rightarrow k=-5/2\\ \angle B=90^\circ \Rightarrow  \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0 \Rightarrow -6+2k-2=0 \Rightarrow k=4 \\ \angle C=90^\circ \Rightarrow  \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0 \Rightarrow -2+k^2-1=0 \Rightarrow k=\pm \sqrt 3}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABCD)}$$

解答： $$S(36)=S(77) \Rightarrow 18(2a_1+35d)= (2a_1+76d)\cdot 77\div 2 \Rightarrow 2296d= -4592 \Rightarrow d=-2\\(A) \times: a_{57}= a_1+56d = 112-112=0 \\(B)\bigcirc: a_k =a_1+(k-1)d = 112-2(k-1)= 114-2k \\(C)\times: a_{55}+a_{56} = 114-2\cdot 55+ 114-2\cdot 56 = 228-2\cdot 111=6 \\(D)\bigcirc: 由(C)得a_{55}+a_{56} =6\\(E)\times: a_{55}+a_{56} +a_{57}= 6+a_{57} =6+112-2\times 56=6\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BD)}$$

解答： $$圓C:x^2+y^2-2x-1=0 \Rightarrow (x-1)^2+y^2=2 \Rightarrow \cases{圓心C(1,0)\\ 半徑 r=\sqrt 2}\\(A) \times: d(C,x=2) = 1 \ne r \\(B) \bigcirc: d(C,7x+y=17) = {10\over \sqrt{50}} =\sqrt 2 =r \\(C) \bigcirc:\overline{CP}= \sqrt{10} \Rightarrow \overline{PA}= \sqrt{\overline{CP}^2-r^2} =2\sqrt 2\Rightarrow CAPB面積= 2\triangle PAC =\overline{AP} \times r= 4 \\(D) \bigcirc: \triangle PAB的外接圓=四邊形PACB的外接圓，其圓心在\overline{PC}的中點\\\qquad =(P+C)\div 2 = (3/2,3/2)在y=x上 \\(E)\times: 外接圓半徑=\overline{PC}\div 2 = \sqrt{10}/2 \ne \sqrt 5\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCD)}$$

21.△ABC 中，下列何者為真？

(A) 若 sin2A + sin2B = sin2C，則∠ C = 90° (B)若 cosA < 0，則∠ A 是鈍角

(C) 若sin A=1/2，則∠ A = 30° (D) sinA + sinB > sinC 

(E) 若$c=\sqrt 2$ ， b = 1，∠ B = 30°，則∠ C = 45°

解答： $$(C)\times: \sin A={1\over 2} \Rightarrow A=30^\circ 或150^\circ \\(E)\times: \cases{c=\sqrt 2\\ b=1\\ \angle B=30^\circ } \Rightarrow \cos \angle B={a^2+c^2-b^2\over 2ac} \Rightarrow {\sqrt 3\over 2}={a^2+1\over 2\sqrt 2a} \Rightarrow a^2-\sqrt 6a +1=0\\\qquad \Rightarrow a={\sqrt 6\pm\sqrt 2\over 2}  \Rightarrow \cases{若a=(\sqrt 6+\sqrt 2)/4 \Rightarrow \cos \angle C=\sqrt 2/2 \Rightarrow \angle C=45^\circ\\ 若a=(\sqrt 6-\sqrt 2)/4 \Rightarrow \cos \angle C=-1/2 \Rightarrow \angle C=120^\circ}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABD)}$$

22.黑白藝術大師胖達善於用黑色板與白色板創作，不僅作工精細，他連平時收納色板也十分講究。喜歡對稱美的他，總是按照下面的規則來擺放色板。

按照這種規則，則下列哪些選項是正確的？

(A)圖 20 有白色板 62 塊 (B) 圖 1 到圖 10 白色板共有 185 塊 (C)圖 20 有黑色板 400 塊

(D)圖 1 到圖 10 黑色板共有 262 塊 (E)圖 1 到圖 10 黑、白兩色板共有 572 塊

解答： $$由圖1、圖2、圖3可推論出圖n的特性:\cases{圖n大小為(n+2)\times (n+1)\\ 圖n有黑色板n^2個\\ 圖n有白色板(n+2)(n+1)-n^2 = 3n+2個}\\ (A)\bigcirc: 圖20有白色板3\times 20+2=62 \\(B) \bigcirc: \sum_{n=1}^{10} (3n+2)=  3\sum_{n=1}^{10} n+ \sum_{n=1}^{10} 2 =  3 \cdot {10\cdot 11\over 2}+ 2\cdot 10=185\\(C)\bigcirc: 圖20有黑色板20^2=400 \\(D) \times: \sum_{n=1}^{10}n^2 ={10\cdot 11\cdot 21 \over 6} = 385 \ne 262 \\(E)\times: 由(B)及(D)可得185+385 = 570 \ne 572\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABC)}$$

23. 晴哥、 彤姐、 小絹、 老恩、 小怡、 牛總、 茹茹七人中選出 5 人組織一委員會，試問下列有關委員會的組合情形的敘述哪些是正確的？

(A)包含晴哥有 15 種 (B)不包含晴哥有 6 種 (C)包含晴哥且不包含彤姐有 5 種

(D)不同時包含晴哥、 彤姐的情形有 11 種 (E) 晴哥、 彤姐至少有 1 人入選的情形有 20 種

解答： $$(A)\bigcirc: 剩下六人選四人，有C^6_4=15種選法\\(B) \bigcirc: 剩下六人選五人，有C^6_5=6種選法\\(C) \bigcirc: 剩下五人選四人，有C^5_4= 5種選法 \\(D)\bigcirc: 同時包含晴哥與彤姐有C^5_3=10種選法\Rightarrow 不同時包含晴哥與彤姐有C^7_5-10=11種選法\\(E) \bigcirc: 晴哥與彤姐都沒入選有C^5_5=1種選法\Rightarrow 晴哥與彤姐至少一人入選有C^7_5-1=20種選法\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABCDE)}$$

解題僅供參考，其他歷年試題及詳解