114年初等考試-統計學大意詳解

114年公務人員初等考試試題

等別：初等考試
類科：統計
科目：統計學大意

考試時間： 1 小時
※注意：
本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。
本科目共40題，每題2.5分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題上作答者，不予計分。
可以使用電子計算器。
作答時請參閱附表。

解答: $$(A)\bigcirc: X,Y獨立 \Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y) \Rightarrow Cov(X,Y)= E(X,Y)-E(X)E(Y)=0 \\\qquad \Rightarrow \rho_{XY} ={Cov(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} =0\\(B)\times: 假設\cases{P(X=-1)=0.5\\ P(X=1)=0.5\\ Y=X^2 \Rightarrow X,Y非獨立} \Rightarrow \cases{E(X)=0\\ E(Y)=1\\ E(X,Y)= 0} \Rightarrow Cov(X,Y)= E(X,Y)-E(X)E(Y)=0\\(C)\bigcirc:X,Y獨立 \Rightarrow E(X,Y) = \int xy \mu(X,Y)\,dx dy = \int xy \mu(X)\mu(Y)\,dxdy \\\qquad = \left( \int x\mu(X)\,dx\right) \left( \int y\mu(Y)\,dy \right) =E(X)E(Y) \\(D)\bigcirc: X,Y獨立 \Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y) \Rightarrow Cov(X,Y)= E(X,Y)-E(X)E(Y)=0 \\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$每1000名取1名為系統抽樣，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\cases{\bar x=E(X)=300/50=6\\ E(X^2) =2842/50= 56.84} \Rightarrow Var(X)=56.84-6^2=20.84 \\ \Rightarrow 信賴區間:\bar x\pm z_{\alpha/2}{\sigma \over \sqrt n} =6\pm 1.96\sqrt{20.84\over 50} \approx 6\pm 1.265 =(4.735, 7.265)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$單尾檢定中，樣本數n={(z_{1-\alpha}+ z_{1-\beta})^2  \sigma^2 \over (\mu_1-\mu_2)^2 }\\(A)\times: n固定下，\alpha增加，則\beta 變小\\ (B)\bigcirc: 理由同(A)\\(C)\times: \alpha固定，n增加 \Rightarrow  \beta 減小 \\(D) \times: \beta 固定，n增加\Rightarrow \alpha 變小\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$



解答: $$\cases{a+b=272\\ c+18=20\\ a/c=28 \\ b/18=d} \Rightarrow c=2 \Rightarrow a=2\times 28 =56 \Rightarrow b=272-56=216 \Rightarrow d=216/18=12 \\ \Rightarrow a+b+c+d = 56+216+2+12= 286，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$


解答: $$\cases{數學z分數={76-73\over 8}= 0.375\\ 英文z分數={65-61\over 12} =0.333} \Rightarrow 數學z分數\gt 英文z分數，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$



解答: $$(A)\bigcirc:機率值大於等於0\\ (B)\times: 連續型f(x)\ne 1\\ (C)\times: 應該是\int f(x)\,dx =1\\ (D)\times: 機率值沒有無窮大\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$


解答: $$\bar p={10\over 100}=0.1 \Rightarrow 信賴區間:\bar p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\bar p(1-\bar p)\over n} =0.1\pm 1.96\cdot \sqrt{0.1\times 0.9 \over 100} =0.1\pm 0.0588 \\ \Rightarrow 信賴區間=(0.1-0.0588,0.1+0.0588) =(0.0412,0.1588)，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$


解答: $$\alpha 值變小則拒絕H_0變難，又H_0:\mu \ge \mu_0 為左尾檢定，因此臨界值向左移，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$三款品牌\Rightarrow n_1=3-1=2；又總共測試3\times 5=15部車，因此n_2=15-1-n_1= 12 \\\Rightarrow F(n_1,n_2)= F(2,12)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$迴歸直線通過(\bar X,\bar Y) \Rightarrow 512=0.72\bar X+141.2 \Rightarrow \bar X=515，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$迴歸直線斜率0.72=\rho \cdot {\sigma_Y\over \sigma_X} \Rightarrow 相關係數\rho =0.72{\sigma_X\over \sigma_Y} =0.72\cdot  {100\over 98} =0.734，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$P(|X-\mu|\le 3\sigma) =P(-3\sigma\le X-\mu\le 3\sigma) = P(-3\le Z\le 3) \xrightarrow{查考卷附表}0.4987\times 2= 0.9974\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$\iint f(x,y)\,dydx=1 \Rightarrow \int_0^1 \int_x^1 k\,dy dx = \int_0^1 k(1-x)\,dx= {1\over 2}k=1 \Rightarrow k=2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$常態曲線的反曲點在\mu\pm \sigma處，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$若樣本統計值(statistic)可以充分利用每一個樣本的觀測值去估算母體參數(parameter)時，\\稱該樣本統計值具有充分性。依此定義，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$n={(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta})^2\sigma^2 \over (\mu_1-\mu_2)^2} ={(2.32+0.845)^2 \cdot 0.3^2\over (3-2.9)^2} =90.155 \Rightarrow n=91，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}\\查考卷附表(單尾)可得z_{0.99}=2.32, z_{0.8} =(0.84+0.85)/2 =0.845$$

解答: $$\cases{MSA=SSA/(a-1) \\MSB= SSB/(b-1) \\ MSE= SSE/((a-1)(b-1)) \\ MST= SST/(ab-1)} \Rightarrow MSA+MSB+ MSE \ne MST，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$殘差為平均數為0的常態分布，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$P(|X|\ge 1.38) =P(X\ge 1.38)+P(X\le -1.38) =2 P(X\ge 1.38) = 2(1-P(X\le 1.38))\\=2\times (1-0.9162) =0.1676，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$



解答: $${贏球且得分30以上\over 贏球且得分30以上+贏球且得分30以下} ={0.4\times 0.9\over 0.4\times 0.9+ (1-0.4)\times0.3} ={2\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$


解答: $${p-0.5\over \sqrt{0.5\cdot 0.5\over 1024}} =64(p-0.5) \gt z_{1-\alpha} =z_{0.95} =1.645 (查附表) \Rightarrow p ={n\over 1024}\gt 0.526 \\ \Rightarrow n\gt 538.32，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$


解答: $$1分鐘平均1輛車\Rightarrow 2分鐘平均2輛車 \Rightarrow Y \sim Poisson(\lambda=2) \Rightarrow P(Y=y) =e^{-\lambda}{\lambda^y\over y!} \\ \Rightarrow P(Y=0)=e^{-\lambda} =e^{-2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$調和數=倒數，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$超幾何分佈 \Rightarrow E(X)={1\over p}=2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$甲圖形左邊面積四分之一的質心A與乙圖形左邊面積四分之一質心B比較，顯然B在A的右邊\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$


解答: $$點數相異的數量=6\times 6-6=30，且點數和為奇數情形: (1,2),(1,4), (1,6),(2,3),( 2,5), (3,4), \\(3,6), (4,5),(5,6)及其對調，共18種，因此機率=18/30=3/5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$母體分布已知時，其統計顯然比無母數有效率，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$



解答: $$依定義，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$\cases{p_1=100/400=1/4\\ p_2 = 260/800=13/40} \Rightarrow 檢定統計量={13/40-1/4 \over \sqrt{{100+260\over 400+800}\times\left({1\over 400}+{1\over 800} \right)}} =2.6726，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=2a-1=9  \Rightarrow a=5\\Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=E(X^2)-a^2=1 \Rightarrow E(X^2)=a^2+1\\ \Rightarrow b=Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2= E((2X-1)^2)-9^2 =E(4X^2-4X+1)-81 \\\quad =4E(X^2)-4E(X)+1-81=4(a^2+1)-4a-80=104-20-80=4 \\ \Rightarrow a=5,b=4，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, \lambda={1\over 2} \Rightarrow P(X\gt 1)= \int_1^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx =e^{-\lambda }=e^{-1/2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$單一母體平均數檢定,\cases{H_0: \mu=77\\ H_1: \mu \gt 77}, 檢定統計值t={\bar x-\mu\over s/\sqrt n},自由度為n-1\\ (A)\times: \cases{n=64\\\alpha=0.01} \Rightarrow t={84-77\over 28/\sqrt{64}} =2 , 查表 \cases{t(\alpha=0.01,df=60) =2.390 \\ t(\alpha=0.01,df=70)=2.381} \\ \qquad \Rightarrow t(\alpha= 0.01,df =63)\gt 2 \Rightarrow 不能拒絕H_0 \Rightarrow 沒有改善 \\(B) \bigcirc: \cases{n =50\\ \alpha= 0.05} \Rightarrow t={84-77\over 28/\sqrt{50}} =1.768 , 查表 \cases{  t(\alpha=0.05,df=50)=1.676 \\ t(\alpha =0.05,df=40) =1.684}\\ \qquad \Rightarrow t(\alpha=0.05,df=49)\lt 1.768 \Rightarrow 拒絕H_0 \Rightarrow 有顯著改善\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$E(Y)=9= E(X^2-1) =E(X^2)-1 \Rightarrow E(X^2)=10 \\\Rightarrow Var(X)= E(X^2)- (E(X))^2 = 10-1^2=9，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答: $$\text{Test of a Single Variance}:檢定統計量\chi^2=(n-1)\cdot {s^2\over \sigma^2 } =(64-1)\cdot {20\over 4^2} =78.75\\ \Rightarrow p(\chi^2\ge 78.75, df=63) =0.087 \not \lt 0.05 \Rightarrow 不拒絕H_0，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$(A)\times: 盒狀圖沒有樣本數的資訊\\ (B)\times: 應該是中位數相等\\ (C)\bigcirc: 甲的Q_1= 乙的Q_1, 但甲的Q_3\gt 乙的Q_3, 因此甲的IQR比乙大\\(D)\times: 甲班分數較為集中，因此甲之變異量比乙小\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$中位數\lt 平均數\Rightarrow 右偏，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答: $$\sum P(X)=1 \Rightarrow 0.2+0.1(k+1)+ 0.3(k-1)+0.2=1 \Rightarrow 0.2+0.4k=1 \Rightarrow k=2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答: $$(A) \times: P(X\le 2)= P(X=0) +P(X=1) +P(X=2)=1-P(X=3)=1-0.2=0.8 \\(B) \times: P(X\gt 1) =P(X=2)+P(X=3) =0.3+0.2= 0.5 \\(C) \bigcirc: E(X) =P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3) =0.3+0.6+0.6=1.5 \\(D) \times: E(X^2)= 0.3+4\cdot 0.3+ 9\cdot 0.2 =3.3 \Rightarrow Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2= 3.3-1.5^2= 1.05\gt 1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答: $$\cases{E(X)=np= 7\\ Var(X)=np(1-p)= 6} \Rightarrow {np\over np(1-p)}={1\over 1-p}={7\over 6} \Rightarrow p={1\over 7} \Rightarrow n\cdot {1\over 7}=7 \Rightarrow n=49\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解題僅供參考，高普考歷年試題及詳解