新北市立樟樹國際實創高級中等學校 111 學年度教師甄選筆試
【數學科專業能力】試題
解答:若我們將三角陣列左右各加一個1,則第n列的數字就是(x+y)n+1的係數,因此第2022列的數字就是(x+y)2023的係數,而原三角陣列第2022列總和=22023−2;而220=576mod1000、240=776mod1000、280=176mod1000、2160=976mod1000、2320=576mod1000⇒循環數=4因此22023=21280⋅2640⋅280⋅220⋅23=176⋅776⋅176⋅576⋅8mod1000=608mod1000⇒22023−2=606mod1000解答:an=n∑k=13k√n4+4k2n2=n∑k=11n⋅3k√n2+4k2=n∑k=11n⋅3k/n√1+4(k/n)2⇒limn→∞an=∫103x√1+4x2dx=[34√1+4x2]|10=34(√5−1)
解答:x=2022:剩下1−2021作取2個,有C20212取法;x=2021:剩下1−2020作取2個,有C20202取法;⋯x=3:剩下1−2作取2個,有C22取法;因此期望值=2021∑k=2(k+1)Ck2/C20223=1C202232021∑k=2(k+1)k(k−1)2=12C202232021∑k=2(k3−k)=32022⋅2021⋅2020(20212⋅202224−2021⋅20222)=3⋅2021⋅20224⋅2020−32⋅2020=3⋅2021⋅1011−32⋅2020=60694
解答:
假設圓心O,則∠AOB:∠BOC:∠COD:∠DOE:∠EOF:∠FOA=5:5:7:7:5:7⇒{∠AOB=∠BOC=∠EOF=50∘∠COD=∠DOE=∠FOA=70∘⇒∠BAF=120∘⇒cos∠BAF=cos120∘=52+72−¯BF22⋅5⋅7=−12⇒¯BF2=109⇒六角形ABCDEF面積=正△BDF+3×△ABF=√34⋅¯BF2+32⋅5⋅7⋅sin120∘=1094√3+1054√3=1072√3
解答:A=[−√31−1−√3]=−2[√3/2−1/21/2√3/2]=−2[cos30∘−sin30∘sin30∘cos30∘]⇒A99=(−2)99[cos2970∘−sin2970∘sin2970∘cos2970∘]=(−2)99[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘]=(−2)99[0−110]=[0299−2990]=[abcd]⇒{a=d=0b=299c=−299⇒log4ad−bca+b−c−d=log421982100=log4298=log4449=49
解答:令{L1:x−y=0L2:x−y=8L3:3x+y=0L3:3x+y=k⇒d(L1,L2)=d(L3,L4)⇒8√2=|k|√10=|k|=8√5⇒k=−8√5(菱形包含原點)又{A=L1∩L3=(0,0)B=L2∩L3=(2,−6)⇒邊長a=¯AB=2√10⇒ka=−8√52√10=−2√2
解答:
解答:令{L1:x−y=0L2:x−y=8L3:3x+y=0L3:3x+y=k⇒d(L1,L2)=d(L3,L4)⇒8√2=|k|√10=|k|=8√5⇒k=−8√5(菱形包含原點)又{A=L1∩L3=(0,0)B=L2∩L3=(2,−6)⇒邊長a=¯AB=2√10⇒ka=−8√52√10=−2√2
解答:
(1){A(1,2,0)B(4,2,−3)C(1,8,3)H(a,b,c)⇒{→AB=(3,0,−3)→AC=(0,6,3)→AH=(a−1,b−2,c)⇒→n=→AB×→AC=(18,−9,18)→AH=23→AB−13→AC+2(→AB×→AC)⇒(a−1,b−2,c)=(2,0,−2)−(0,2,1)+(36,−18,36)=(38,−20,33)⇒四面體體積=16‖30−306338−2033‖=14586=243(2)→AH=(a−1,b−2,c)=(38,−20,33)⇒{a=39b=−18c=33⇒H(39,−18,33)E:18(x−1)−9(y−2)+18z)=0⇒2x−y+2z=0令H′(d,e,f),則{→HH′=(39−d,−18−e,33−f)∥→nH″=¯HH′中點=((39+d)/2,(−18+e)/2,(33+f)/2))∈E⇒{39−d:−18−e:33−f=2:−1:2⋯(1)39+d−(−18+e)/2+33+f=0⋯(2),由(1)可得{d=39−2te=t−18f=33−2t代入(2)⇒t=36⇒{d=−33e=18f=−39⇒H′=(−33,18,−39)(3)投影點H″=(H+H′)/2=(3,0,−3)⇒→AH″=(2,−2,−3)=α→AB+β→AC=(3α,6β,−3α+3β)⇒{α=2/3β=−1/3;由於−1/3<0,因此投影點不在△內部;
解答:
解答:
(1)D(x)=S(x)⇒−x210+270=x220+3x+45⇒320x2+3x−225=0⇒x2+20x−1500=0⇒(x−30)(x+50)=0⇒x=30⇒D(30)=S(30)=180⇒均衡點=(30,180)(2)上圖著色區域面積=∫300180−S(x)dx=5400−3150=2250
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