臺北市 111 學年度市立國民中學正式教師聯合甄選
數學專業科目
選擇題(共 40 題,每題 1.75 分,共 70 分)
解答:令f(N)=N的個位數字⇒{f(21)=2,f(22)=4,f(23)=8,f(24)=6,f(25)=2⇒循環數4f(31)=3,f(32)=9,f(33)=7,f(34)=1,f(35)=3⇒循環數4f(5n)=5,n∈N⇒循環數1⇒{22021=24⋅505+1⇒f(22021)=232021=34⋅505+1⇒f(32021)=3f(52021)=5⇒f(22021+32021+52021)=f(2+3+5)=f(10)=0,故選(A)解答:a=2022⇒原式=(10000a+a)(10000(a−1)+a−1)−(10000a+a−1)(10000(a−1)+a)=(10001a)(10001a−10001)−(10001a−1)(10001a−10000)=(10001a)2−10001(10001a)−(10001a)2+10001(10001a)−10000=−10000,故選(D)
解答:令a=2022,則原式=a3−2a2−(a−2)a3+a2−(a+1)=(a2−1)(a−2)(a2−1)(a+1)=a−2a+1=20202023,故選(A)
解答:假設正方體邊長為a,則¯EG=√2a⇒¯AG=√a2+(√2a)2=√3a=15⇒a=5√3⇒表面積=6a2=6×75=450,故選(D)
解答:{甲定價:a+50乙定價:a⇒{甲買二條:a+50+(a+50)×0.6=1.6a+80乙買二條:2a×0.9=1.8a⇒1.6a+80=1.8a⇒0.2a=80⇒a=400⇒甲定價:a+50=450,故選(B)
解答:由第三列總和=25+a+21=46+a,因此左上角的數字為a+3,即a+324X18Yb25a21⇒{a+3+24+X=46+a24+Y+a=46+a⇒{X=19Y=22⇒X+Y+25=66⇒{19+b+21=6625+a+21=66⇒{b=26a=20⇒a+b=46,故選(C)
解答:假設安安抵達終點時,花了a秒⇒{安安速度:1000/a波波速度:800/a加加速度:600/a⇒波波抵達終點需再花200800/a=14a秒⇒加加從起點花了(a+14a)秒走了(a+14a)×600a=750公尺,離終點還有1000−750=250公尺,故選(B)
解答:{A:星期一→星期四→星期日B:星期二→星期五→星期一→星期四→星期日C:星期三→星期六→星期二→星期五→星期一→星期四D:星期四→星期日,故選(C)
解答:戊甲不能分開、丁在最後,因此丙只能在甲丁中間,因此順序為乙戊甲丙丁,故選(A)
解答:C32(17)2(67)=18343,故選(B)
解答:
令{P(0,4)Q(9,4)R(9,0)O(0,0)⇒ABCDE五邊形面積=長方形PQRO−△PAB−△QDE−△RCD−△OBC=9×4−12(2×3+2×2+5×2+4×1)=36−12=24,故選(B)
解答:四筆資料符合選項(D)之公式,故選(D)
解答:四筆資料符合選項(D)之公式,故選(D)
解答:{{91是7的倍數a+91是7的倍數⇒a是7的倍數a是9的倍數⇒a=63的倍數⇒a=63⇒6÷3=2,故選(B)
解答:{323x+457y=1104⋯(1)177x+543y=897⋯(2),(1)+(2)⇒500x+1000y=2000⇒x+2y=4⇒x=4−2y代入(2)⇒708−354y+543y=897⇒189y=189⇒y=1⇒x=2⇒a+b=x+y=3,故選(C)
解答:(76+87+94+a+b)÷5≥81⇒a+b≥148⇒a最大只能取100,此時b=48為最小,故選(B)
解答:
解答:{323x+457y=1104⋯(1)177x+543y=897⋯(2),(1)+(2)⇒500x+1000y=2000⇒x+2y=4⇒x=4−2y代入(2)⇒708−354y+543y=897⇒189y=189⇒y=1⇒x=2⇒a+b=x+y=3,故選(C)
解答:(76+87+94+a+b)÷5≥81⇒a+b≥148⇒a最大只能取100,此時b=48為最小,故選(B)
解答:
令{¯AB=a¯AD=b,由於∠B=∠D=45∘⇒{¯AE=a/√2¯AF=b/√2⇒¯AE+¯AF=1√2(a+b)=k⇒a+b=√2k⇒周長=2(a+b)=2√2k,故選(B)
解答:f(x)=ax4−bx2+x+5⇒f(−3)=81a−9b+2=2⇒81a−9b=0⇒f(3)=81a−9b+8=0+8=8,故選(B)
解答:取A(2,1)⇒{¯AB=1¯AC=2⇒矩形ABOC=2×1=2,故選(B)
解答:
解答:取A(2,1)⇒{¯AB=1¯AC=2⇒矩形ABOC=2×1=2,故選(B)
解答:
左圖:∠1+⋯+∠7=(c+d+e)+(d+e+f)+(e+f+g)+(f+g+a)+⋯+(b+c+d)=3(a+⋯+g)=3×360∘÷2=540∘右圖:∠1+⋯+∠7=k+ℓ+m+⋯+j=360∘÷2=180∘,故選(B)
解答:直角△ABC中,¯AC=√32+42=5又{∠BAC+∠CAD=90∘∠BAC+∠BCA=90∘⇒∠CAD=∠BCA⇒△ABC∼△DCA⇒4:3:5=¯DC:5:¯DA⇒{¯CD=20/3¯AD=25/3;同理,△ACD∼△DCE⇒5:203=203:¯CE⇒¯CE=809⇒¯AE=5+809=1259,故選(A)
解答:
解答:直角△ABC中,¯AC=√32+42=5又{∠BAC+∠CAD=90∘∠BAC+∠BCA=90∘⇒∠CAD=∠BCA⇒△ABC∼△DCA⇒4:3:5=¯DC:5:¯DA⇒{¯CD=20/3¯AD=25/3;同理,△ACD∼△DCE⇒5:203=203:¯CE⇒¯CE=809⇒¯AE=5+809=1259,故選(A)
假設正方形S1,S2,S3的邊長分別為a,b,c⇒{a+b+c=3322⋯(1)a−b+c=2022⋯(2)(1)−(2)⇒2b=1300⇒b=650,故選(A)
解答:72=6mod43⇒76=63mod43=1mod43⇒712=1mod43⇒712−1=43k,故選(B)
解答:a+1=b+2=c+3=d+4=a+b+c+d+5⇒{b+c+d=−4a+c+d=−3a+b+d=−2a+b+c=−1四式相加⇒3(a+b+c+d)=−10⇒a+b+c+d=−103,故選(B)
解答:a是12的倍數也是18的倍數⇒a是36的倍數,由於50≤a≤100,因此a=72;又{(a,b)=12b>a⇒b=12×7=84;同理{(a,c)=18c>b>a⇒c=18×5=90⇒a+b+c=72+84+90=246,故選(D)
解答:原二位數:10a+b⇒對調後:10b+a⇒(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)=k2⇒a+b=11⇒(a,b)=(9,2),(8,3),(7,4),(6,5),(5,6),(4,7),(3,8),(2,11)⇒共8個二位數,故選(C)
解答:此數字:123456789,任取3個數字後,剩下的六位數為其所求,因此共有C96=84個,故選(A)
解答:(a−1):(b+1):(c+2)=1:2:3⇒{a=k+1b=2k−1c=3k−2⇒f(k)=a2+b2+c2=(k+1)2+(2k−1)2+(3k−2)2=14k2−14k+6⇒f′(k)=28k−14=0⇒k=1/2⇒最小值=f(1/2)=5/2=2.5,故選(B)
解答:{左邊正方形面積=(x+y)2右邊矩形面積=(x+2y)y,兩者面積相等⇒(x+y)2=(x+2y)y⇒x2+xy−y2=0令xy=k,則x=ky代入上式⇒k2y2+ky2−y2=0⇒y2(k2+k−1)=0⇒k2+k−1=0⇒k=√5−12,故選(C)
解答:x=√1+2√1+2√1+2…⇒x2−1=2x⇒x2−2x−1=0⇒x=1+√2,故選(B)
解答:令a=2022∑k=21k⇒2023∑k=21k=a+12023⇒原式=(1−a)(a+12023)−(1−(a+12023))a=(1−a)(a+12023)−(20222023−a)a=a+12023−a2−a2023−20222023a+a2=12023,故選(C)
解答:x+1x=√5⇒(x+1x)2=5⇒x2+1x2=3⇒x4+1x4=7⇒x8=7x4−1⇒x13=7x9−x5⇒x13−7x9+x5=0,故選(A)
解答:x2+px−444p=0的兩整數根為a,b⇒{a+b=−pab=−444p=111×(−4p)⇒111−4p=−p⇒p=37,故選(D)
解答:x1+x2+x3+x4=13⇒(x1−1)+(x2−1)+(x3−1)+(x4−1)=9⇒共有H49=C129=220組解,故選(A)
解答:a100=2a99+1=2(2a98+1)+1=22a98+2+1=⋯=299a1+298+⋯+2+1=299+298+⋯+2+1=2100−1,故選(A)
解答:Cn2≥200⇒n=15,此時C152=105,即15種任取2種不同口味有105種選擇,若再加上兩種口味可以相同,有105+15=120種選法,故選(D)
解答:得分最高三隊為A、B、C,此三隊與其他三隊比賽兩場皆獲勝,A、B、C各獲得2×3×3=18分;A、B、C三隊之間比賽:{A勝B、B勝C、C勝A⇒各得3分A勝C、C勝B、B勝A⇒各得3分⇒A、B、C同為18+6=24分,故選(B)
解答:
解答:a+1=b+2=c+3=d+4=a+b+c+d+5⇒{b+c+d=−4a+c+d=−3a+b+d=−2a+b+c=−1四式相加⇒3(a+b+c+d)=−10⇒a+b+c+d=−103,故選(B)
解答:a是12的倍數也是18的倍數⇒a是36的倍數,由於50≤a≤100,因此a=72;又{(a,b)=12b>a⇒b=12×7=84;同理{(a,c)=18c>b>a⇒c=18×5=90⇒a+b+c=72+84+90=246,故選(D)
解答:原二位數:10a+b⇒對調後:10b+a⇒(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)=k2⇒a+b=11⇒(a,b)=(9,2),(8,3),(7,4),(6,5),(5,6),(4,7),(3,8),(2,11)⇒共8個二位數,故選(C)
解答:此數字:123456789,任取3個數字後,剩下的六位數為其所求,因此共有C96=84個,故選(A)
解答:(a−1):(b+1):(c+2)=1:2:3⇒{a=k+1b=2k−1c=3k−2⇒f(k)=a2+b2+c2=(k+1)2+(2k−1)2+(3k−2)2=14k2−14k+6⇒f′(k)=28k−14=0⇒k=1/2⇒最小值=f(1/2)=5/2=2.5,故選(B)
解答:{左邊正方形面積=(x+y)2右邊矩形面積=(x+2y)y,兩者面積相等⇒(x+y)2=(x+2y)y⇒x2+xy−y2=0令xy=k,則x=ky代入上式⇒k2y2+ky2−y2=0⇒y2(k2+k−1)=0⇒k2+k−1=0⇒k=√5−12,故選(C)
解答:x=√1+2√1+2√1+2…⇒x2−1=2x⇒x2−2x−1=0⇒x=1+√2,故選(B)
解答:令a=2022∑k=21k⇒2023∑k=21k=a+12023⇒原式=(1−a)(a+12023)−(1−(a+12023))a=(1−a)(a+12023)−(20222023−a)a=a+12023−a2−a2023−20222023a+a2=12023,故選(C)
解答:x+1x=√5⇒(x+1x)2=5⇒x2+1x2=3⇒x4+1x4=7⇒x8=7x4−1⇒x13=7x9−x5⇒x13−7x9+x5=0,故選(A)
解答:x2+px−444p=0的兩整數根為a,b⇒{a+b=−pab=−444p=111×(−4p)⇒111−4p=−p⇒p=37,故選(D)
解答:x1+x2+x3+x4=13⇒(x1−1)+(x2−1)+(x3−1)+(x4−1)=9⇒共有H49=C129=220組解,故選(A)
解答:a100=2a99+1=2(2a98+1)+1=22a98+2+1=⋯=299a1+298+⋯+2+1=299+298+⋯+2+1=2100−1,故選(A)
解答:Cn2≥200⇒n=15,此時C152=105,即15種任取2種不同口味有105種選擇,若再加上兩種口味可以相同,有105+15=120種選法,故選(D)
解答:得分最高三隊為A、B、C,此三隊與其他三隊比賽兩場皆獲勝,A、B、C各獲得2×3×3=18分;A、B、C三隊之間比賽:{A勝B、B勝C、C勝A⇒各得3分A勝C、C勝B、B勝A⇒各得3分⇒A、B、C同為18+6=24分,故選(B)
解答:
ABCD為正方形⇒∠CAD=45∘⇒¯AP=√2⋅¯PQ=√2⇒對角線長¯AC=2¯AP+¯PR=2√2+6⇒¯AD=¯AC÷√2=2√2+6√2=2+3√2⇒面積=(2+3√2)2=22+12√2,故選(A)
解答:
過A作直線,該直線平行L且分別交¯BY與¯CZ於P及Q,見上圖;因此¯BY,則¯AP=√¯AB2−¯BP2=√32−12=2√2;假設圓C半徑為r,則¯BY∥¯CZ⇒¯AB¯AC=¯BP¯CQ=¯AP¯AQ⇒3r+5=1r−1=2√2¯AQ⇒r=4⇒¯XZ=¯AQ=6√2,故選(A)
解答:x24+y29=1⇒4y2=36−9x2⇒8yy′=−18x⇒y′=−9x4y|(√2,3√2/2)=−32⇒通過(√2,3√2/2)且斜率為−32之切線方程式:y=−32(x−√2)+3√22=−32x+3√2,故選(B)
======================== END ==============================
請問老師,73題後面的算式111-4p=-p 是怎麼來的?
回覆刪除兩根分別為111及(-4p) =>兩根之和=-p=111+(-4p)
刪除了解,謝謝
刪除請問老師,67題為什麼不用考慮有0的情況?
回覆刪除數字要遞增,0要擺哪? 只能放最前面,但就不是六位數了
刪除瞭解,謝謝老師
刪除筆試錄取分數 哪裡查?
回覆刪除