111年警專41期數學科(乙組)詳解

臺灣警察專科學校 111 學年度專科警員班第 41 期正期學生組

新生入學考試乙組數學科試題

壹、單選題：

解答： $$\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 2 & 2\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{2+a=1\\ 0+b=2\\ 2+c=3\\ 2+d=4} \Rightarrow \cases{a=-1\\ b=2\\ c=1\\ d=2} \Rightarrow ab+cd= -2+2=0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$P(12,4,1)至yz平面(即x=0)的投影點為(0,4,1)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\sqrt{2019}-\sqrt{2018} \gt \sqrt{2020}-\sqrt{2019} \gt \sqrt{2021}-\sqrt{2020} \gt \sqrt{2022}-\sqrt{2021} ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$|x-2022|\le 111 \Rightarrow -111\le x-2022\le 111 \Rightarrow 1911\le x\le 2133 \\ \Rightarrow 共有2133-1911+1=223 個整數解，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\angle BOA = 111^\circ-21^\circ = 90^\circ \Rightarrow \overline{AB} =\sqrt{4^2+5^2} =\sqrt{41}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$餘弦定理:\cos \angle B=\cos 120^\circ =-{1\over 2} =\frac{10^2+20^2-\overline{AC}^2}{2\cdot 10\cdot 20} \Rightarrow \overline{AC}^2=700 \Rightarrow \overline{AC}=10\sqrt 7\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$數字間變化越大，則有較大的標準差，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$除了(0,10)外，其它資料Y值隨著X值循序漸增，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$每組4人:分8組剩下一人；若分7組剩下5人，將第7組拆成三人一組，剩下6人可分2組，因此共9組；\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$十人任取2人，共有C^{10}_2=45取法，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$剩下六人拆成前排二人後排四人，共有C^6_2=15種拆法；\\前排二人有2!=2排法、後排四人有4!=24排法；\\因此共有15\times 2\times 24=720排法，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$6個數字任排有6!=720種排法，第一次沒猜中的機率:{719\over 720}\\，剩下719種排列再猜第二次，又沒猜中機率{719\over 720} \times {718\over 719}\\，剩下718種排列再猜第三次，又沒猜中機率{719\over 720} \times {718\over 717} \times {718\over 718}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$f(x)=x^{111}-111x +4.1 \Rightarrow f(-1)= -1+111+4.1= 114.1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$f(x)=x^2 +2x+2= (x+1)^2 +1 \Rightarrow \cases{最小值m=f(-1)=1\\ 最大值M=f(-5)=17} \Rightarrow M-m=16，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$真數需大於0，因此(A)及(C)無意義；又底數不可為1，即(B)也不符要求，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\log 111-\log 3+{2\over 3}\log 8 =\log {111\over 3} +{2\over 3}\log 2^3 =\log 37 +2\log 2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$A=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \Rightarrow A^2=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3\cdot 3+2\cdot 1 & 3\cdot 2+ 2\cdot (-1) \\ 1\cdot 3-1\cdot 1 & 1\cdot 2+(-1)\cdot (-1)\end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} 11 & 4 \\ 2 & 3\end{bmatrix}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$令扇形夾角為\theta \Rightarrow 8\theta = 2\pi \Rightarrow \theta ={\pi \over 4} \Rightarrow 面積=8^2 \pi\times {\pi/4\over 2\pi} =8\pi ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$將立方體展開，\triangle AEG為一直角三角形，其中\cases{\angle E=90^\circ\\ \overline{AE}=3\\ \overline{EG}=3+3=6} \\\Rightarrow 斜邊\overline{AG}= \sqrt{3^2+6^2} =3\sqrt 5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$本題\bbox[red,2pt]{(送分)}$$

解答： $$\frac{(1+111)\times 111}{2} =56\times 111 = 6216，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$y=({1\over 2})^x 為一遞減函數，因此取x=1，y={1\over 2}為最小值, \forall x \le 1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$中指的數字為x_k=3,7,11,15,... \Rightarrow x_k= 3+ 4(k-1),k \in \mathbb{N}；而111 = 3+ 4(28-1) \Rightarrow 中指\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$圖二為一橢圓，且\cases{2a=10\\ 2b=8\\ 中心點位於原點} \Rightarrow {x^2\over a^2} +{y^2\over b^2}=1 \Rightarrow {x^2\over 25} +{y^2\over 16}=1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$圖三顯示最大值為2、最小值為0，因此圖形是y=\sin x向上平移1\Rightarrow y=\sin x +1；\\又週期為\pi，圖形修正為y=\sin (2x)+1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{假設阿花走了m公尺\\假設阿花第k次看見綠燈 } \Rightarrow m= 10+70(k-1)； 因此k=7時，m= 10+420=430\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{P(皆正面)= P(皆反面)=1/4\\ P(一正一反)=1/2} \Rightarrow 期望值=0 \times {1\over 4}+100 \times {1\over 2} +300\times {1\over 4}=125，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$({9\over 10})^3= {729\over 1000} =72.9\% \approx 七成，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$等差數列\langle a_n\rangle，其中\cases{首項a_1=1\\ 公差d=3} \Rightarrow  a_1 +(n-1)d = 111 \Rightarrow 1+3(n-1)=111\\ \Rightarrow 3(n-1)=110，110不是3的倍數，因此不存在n符合要求，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$假設汽車共N輛，則\cases{A牌車有10\%\times N輛 \\B牌車有90\%\times N輛 } \Rightarrow p={A牌車被正確辨識\over A牌車被正確辨識+ B牌車被錯誤辨識} \\={10\%\times N\times 90\% \over 10\%\times N\times 90\%+ 90\%\times N\times 10\%} =0.5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$該點需在第二或第四象限，故選\bbox[red,2pt]{(BE)}$$

解答： $$(A)\times: 圓心為(3,4)\ne (-3,-4)\\(B) \bigcirc: 面積=r^2\pi = 2022\pi \\(C)\bigcirc: 圓心(3,4)至直線y=x的距離={1\over \sqrt 2} \lt \sqrt{2022}(半徑) \Rightarrow 直線與圓交兩點\\(D)\times: 圓心(3,4)至直線x=1的距離= 2 \lt 半徑\Rightarrow 直線與圓交兩點 \\(E)\bigcirc:圓心(3,4)至直線y=4 +\sqrt{2022}的距離= \sqrt{2022} = 半徑\Rightarrow 相切\\，故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: f(x)=x(x-111)(x-2022) =0 \Rightarrow x=0,111,2022，共三個整數解\\(B)\times: f'(x)=(x-111)(x-2022)+ x(x-2022)+ x(x-111) \\\qquad \Rightarrow f''(x) = 2x-2133+2x-2022+2x-111 =6x-4266=0 \Rightarrow x=711\\ \qquad \Rightarrow 對稱中心(711,f(711)) \ne (111,0) \\(C)\bigcirc: \cases{f(110)= 110\times (-1)\times (-1912)\gt 0 \\ f(2021)=2021\times 1910\times (-1)\lt 0} \Rightarrow f(110)\gt f(2021) \\(D)\times: f為三次式，最大值為\infty \\(E)\times: f為三次式，最小值為-\infty\\，故選\bbox[red,2pt]{(AC)}$$

解答： $$(A)\times: \cases{\vec u=(3,6)\\ \vec v=(2,-1)} \Rightarrow \vec u+\vec v=(5,5) \ne (6,-6)\\ (B)\bigcirc: \vec u\cdot \vec v =6-6=0 \Rightarrow \vec u\bot \vec v \\(C) \times: 3\vec v=(6,-3) \ne \vec u\\ (D) \bigcirc:-2\vec u=(-6,-12) \\(E) \bigcirc: |\vec u|= \sqrt{3^2+6^2} =3\sqrt 5\\，故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}$$

解答： $$假設D(a,b)，則\cases{\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC} \Rightarrow (a-4,b-15)=(17-1,-6-(-13)) \Rightarrow D(20,22) \\ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB} \Rightarrow (a-4,b-15)=(1-17,-13-(-6)) \Rightarrow D(-12,8) \\ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{BD} \Rightarrow (17-4,-6-15)=(a-1,b-(-13)) \Rightarrow D(14,-34) \\ }\\，故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}$$

解答： $$(A)\bigcirc: \cases{\overline{BC} =10\sin 22^\circ\\ \overline{AC}=10\cos 22^\circ} \Rightarrow \overline{AC}\gt \overline{BC}\\ (B)\times: \overline{AC}=10\cos 22^\circ \ne 10\tan 22^\circ \\(C)\bigcirc: \overline{BC} =10\sin 22^\circ\\(D) \times: \tan 22^\circ = {\overline{BC}\over \overline{AC}} \ne  {\overline{AC}\over \overline{BC}} \\(E)\times: \cos 22^\circ = {\overline{AC}\over \overline{AB}} \ne {\overline{AB}\over \overline{AC}}\\，故選\bbox[red,2pt]{(AC)}$$

解答： $$(C)\times: \cos{2\pi\over 3}\lt 0\\ (D)\times: \tan {3\pi\over 4}\lt 0 \\ (E)\times: \tan \pi =0\\ 其餘皆正確，故選\bbox[red,2pt]{(AB)}$$

解答： $$(A)\times: 赤道長= 圓周長=2\pi r=  32\pi \ne 16\pi \\(B) \bigcirc: 經線長=圓周長=2\pi r=  32\pi\\ (C)\bigcirc:北緯60度的半徑=16\cos 60^\circ =8 \Rightarrow 周長=16\pi \\(D)\times: 南緯30度的半徑=16\cos 30^\circ=8\sqrt 3 \Rightarrow 圓周長=16\sqrt 3\pi \ne 16\pi\\(E)\bigcirc: 南緯60度的緯線長=北緯60度的緯線長=16\pi\\，故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}$$

解答： $$圖形y=k^x \Rightarrow \cases{若k\gt 1，圖形為遞增且k\gt t\gt 1 \Rightarrow k^x \gt t^x ;\\ 若k\lt 1，圖形為遞減且k\lt t\lt 1 \Rightarrow t^x \gt k^x}\\(A)\bigcirc: A圖形遞增\Rightarrow a\gt 1 \\(B)\times: c\not \lt 0\\ (C)\times: B圖形高於A圖形\Rightarrow b\gt a \\(D)\bigcirc: 任何數的0次方為1 \\(E) \times: c^0=1 \not \lt 1\\，故選\bbox[red,2pt]{(AD)}$$

解答： $$(A)為前視圖、(E)為上視圖、(C)為右視圖，故選\bbox[red,2pt]{(ACE)}$$

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解題僅供參考，歷屆試題及詳解