新北市公立高級中等學校 111 學年度教師聯合甄選
一、 填充題: 共 10 題,每題 7 分。
解答:a+b+c=0⇒c=−(a+b)⇒a3+b3+c3=a3+b3−(a+b)3=−3ab(a+b)=1⇒ab(a+b)=−13解答:
作¯D′D″∥¯BC,並交圓於D′、D″及直線¯AB於P點,見上圖;¯AB為¯DD′的中垂線⇒¯AD′=¯AD=9⇒cos∠AOD′=82+82−922⋅8⋅8=47128⇒cos∠D′OD=−47128=82+12−¯DD′22⋅8⋅1⇒¯DD′=94√14⇒¯PD=¯PD′=98√14圓冪定理:¯ADׯDC=¯DD′ׯDD″⇒9×7=94√14ׯDD″⇒¯DD″=2√14又¯PD∥¯BC⇒¯AP:¯PB=¯AD:¯DC=9:7⇒{¯AP=9k¯PB=7k,k∈R;再一次圓冪定理:¯D′PׯP′D″=¯APׯPB⇒98√14×(98√14+2√14)=9k×7k⇒k=54√2⇒¯AB=16k=20√2=10√2
解答:113+23+⋯+k3=(2k(k+1))2=4(1k−1k+1)2=4(1k2+1(k+1)2−2k(k+1))=4(1k2+1(k+1)2)−8(1k−1k+1)⇒∞∑k=1113+23+⋯+k3=4∞∑k=11k2+4∞∑k=11(k+1)2−8∞∑k=1(1k−1k+1)=4⋅π26+4(π26−1)−8=43π2−12
解答:令g(x)=f(7x+8)+8x+7,則g(x)=0的三根為1,2,3⇒g(x)=a(x−1)(x−2)(x−3)f(x)首項為1⇒f(7x+8)首項為73⇒g(x)=73(x−1)(x−2)(x−3)⇒g(4)=f(36)+32+7=73⋅3⋅2⋅1⇒f(36)=343×6−39=2019
解答:令g(x)=f(x+1),則(x,eex+1)在y=eex+1上⇒(eex+1,x)在y=g(x)上⇒g(x)=lnln(x−1)⇒f(x)=lnln(x−2)
解答:S={1,2,3,4}代表四種口味,及{A⊆S:小英買到的口味B⊆S:小華買到的口味C⊆S:小明買到的口味,滿足{A∩B≠∅B∩C≠∅A∩C≠∅排容原理:84−3×64+3×54−44=1827
解答:點數種類:意思應該是一種點數=只出現1,或只出現2...、二種點數=只出現1或2,只出現2或3,....丟骰子10次,出現點數1的機率=出現點數2的機率=⋯=出現點數6的機率=1−(56)10⇒有出現點數k的期望值=1−(56)10⇒點數種類期望值=6×(1−(56)10)
解答:a,b為x2+xtanθ−sinθ=0的兩根⇒{a+b=−tanθab=−sinθL為(a,a2)至(b,b2)的連線⇒L:y=(a+b)(x−a)+a2⇒(a+b)x−y−ab=0⇒原點至L的距離=|ab√(a+b)2+1|=|sinθ√tan2θ+1|=|sinθsecθ|=|sinθcosθ|=12sin2θ=12sin30∘=14
解答:假設z=x+yi,x,y∈R,則z−iz−2=a∈R⇒x+(y−1)i=ax−2a+ayi⇒{x=2a/(a−1)=2−2/(1−a)y=1/(1−a)⇒x=2−2y⇒直線L:x+2y=2|z|+|z+1|=√x2+y2+√(x+1)2+y2=¯PO+¯PQ,其中{O(0,0)Q(−1,0)P∈LO對稱直線L的對稱點O′(4/5,8/5)⇒¯PO+¯PQ的最小值=¯O′Q=√81/25+64/25=√145/5
解答:令an=[√n]+n∑k=1,利用歸納法證明:當n=1時,a1=[√1]+[√1]=2為偶數⇒原式成立;假設n=ℓ時成立,即aℓ=[√ℓ]+ℓ∑k=1[ℓk]亦為偶數;當n=ℓ+1時,若ℓ+1為完全平方數⇒{[√ℓ+1]=[√ℓ]+1∑ℓ+1k=1[ℓ+1k]=∑ℓk=1[ℓk]+m,其中m為ℓ+1的正因數個數(奇數)⇒aℓ+1=aℓ+m+1=偶+奇+奇=偶數若ℓ+1不是完全平方數⇒{[√ℓ+1]=[√ℓ]∑ℓ+1k=1[ℓ+1k]=∑ℓk=1[ℓk]+m,此時m為偶數⇒aℓ+1=aℓ+m=偶+偶=偶因此當n=ℓ+1時,原式亦成立,故得證
解答:令g(x)=f(7x+8)+8x+7,則g(x)=0的三根為1,2,3⇒g(x)=a(x−1)(x−2)(x−3)f(x)首項為1⇒f(7x+8)首項為73⇒g(x)=73(x−1)(x−2)(x−3)⇒g(4)=f(36)+32+7=73⋅3⋅2⋅1⇒f(36)=343×6−39=2019
解答:令g(x)=f(x+1),則(x,eex+1)在y=eex+1上⇒(eex+1,x)在y=g(x)上⇒g(x)=lnln(x−1)⇒f(x)=lnln(x−2)
解答:S={1,2,3,4}代表四種口味,及{A⊆S:小英買到的口味B⊆S:小華買到的口味C⊆S:小明買到的口味,滿足{A∩B≠∅B∩C≠∅A∩C≠∅排容原理:84−3×64+3×54−44=1827
解答:點數種類:意思應該是一種點數=只出現1,或只出現2...、二種點數=只出現1或2,只出現2或3,....丟骰子10次,出現點數1的機率=出現點數2的機率=⋯=出現點數6的機率=1−(56)10⇒有出現點數k的期望值=1−(56)10⇒點數種類期望值=6×(1−(56)10)
解答:a,b為x2+xtanθ−sinθ=0的兩根⇒{a+b=−tanθab=−sinθL為(a,a2)至(b,b2)的連線⇒L:y=(a+b)(x−a)+a2⇒(a+b)x−y−ab=0⇒原點至L的距離=|ab√(a+b)2+1|=|sinθ√tan2θ+1|=|sinθsecθ|=|sinθcosθ|=12sin2θ=12sin30∘=14
解答:假設z=x+yi,x,y∈R,則z−iz−2=a∈R⇒x+(y−1)i=ax−2a+ayi⇒{x=2a/(a−1)=2−2/(1−a)y=1/(1−a)⇒x=2−2y⇒直線L:x+2y=2|z|+|z+1|=√x2+y2+√(x+1)2+y2=¯PO+¯PQ,其中{O(0,0)Q(−1,0)P∈LO對稱直線L的對稱點O′(4/5,8/5)⇒¯PO+¯PQ的最小值=¯O′Q=√81/25+64/25=√145/5
解答:令{x=A−By=B−Cz=C−A,則{f(x,y,z)=cos2x+cos2y+cos2zg(x,y,z)=x+y+z,利用 Lagrange 算子求 f 極值,即{f=λgg=0⇒{fx=λgxfy=λgyfz=λgzg=0⇒{−sin2x=λ−sin2y=λ−sin2z=λx+y+z=0⇒{sin(2x)=sin(2y)=sin(2z)x+y+z=0取{2x=2y=−2π/32z=4π/3⇒{x=y=−π/3z=2π/3⇒f(x,y,z)=14+14+14=34為最小值
二、 計算證明題: 共 2 題,每題 15 分。
解答:f(x)={(x−1)2m(x)+ax+b(x+1)2n(x)+bx+a(x−1)2(x+1)2p(x)+cx3+dx2+ex⇒f′(x)={(x−1)m1(x)+a(x+1)n1(x)+b(x−1)(x+1)p1(x)+3cx2+2dx+e⇒{f(1)=a+b=c+d+ef(−1)=−b+a=−c+d−e⇒{a=db=c+e⋯(1)又{f′(1)=a=3c+2d+ef′(−1)=b=3c−2d+e⋯(2),將(1)代入(2)⇒{d=3c+2d+ec+e=3c−2d+c⇒{c=de=−4c⇒R(x)=cx3+cx2−4cx=cx(x2+x−4)=0⇒x=0,x=−1±√172解答:令an=[√n]+n∑k=1,利用歸納法證明:當n=1時,a1=[√1]+[√1]=2為偶數⇒原式成立;假設n=ℓ時成立,即aℓ=[√ℓ]+ℓ∑k=1[ℓk]亦為偶數;當n=ℓ+1時,若ℓ+1為完全平方數⇒{[√ℓ+1]=[√ℓ]+1∑ℓ+1k=1[ℓ+1k]=∑ℓk=1[ℓk]+m,其中m為ℓ+1的正因數個數(奇數)⇒aℓ+1=aℓ+m+1=偶+奇+奇=偶數若ℓ+1不是完全平方數⇒{[√ℓ+1]=[√ℓ]∑ℓ+1k=1[ℓ+1k]=∑ℓk=1[ℓk]+m,此時m為偶數⇒aℓ+1=aℓ+m=偶+偶=偶因此當n=ℓ+1時,原式亦成立,故得證
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計算2算是今年臺南女中第2題的延伸
回覆刪除其實我知道答案, 只是有點長........懶得打字...... 不曉得出這類題的意義?
刪除呵呵 原來如此,無論意義為何,出題老師想出就出了,辛苦的都是考生
刪除最後還是以比較易懂的方式證明,請參考!!
刪除老師你好 想請問填充第五題 不知是否需要加上x>2呢 謝謝你
回覆刪除人家要求函數f(x),沒說要domain範圍。基本上我們寫log(x), 其實就已經明示x>0
刪除謝謝老師的說明
刪除老師你好 想請問填充第十題
回覆刪除如何看出取2x=2x=-2pi/3的呢
我看到第一個是想到取x=y=z=0 但如此就不是最小值了
不知是怎麼看出來的 謝謝你
sin 值 在一、二象限是正值,三四象限是負值..... 所以....;另外,類似題以前有出過,所以很快就推出答案(這回答比較務實)
刪除感恩感恩!!
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