111年新北市高中教甄聯招-數學詳解

新北市公立高級中等學校 111 學年度教師聯合甄選

一、 填充題： 共 10 題，每題 7 分。

解答：$$a+b+c=0 \Rightarrow c=-(a+b) \Rightarrow a^3+b^3 +c^3 =a^3+b^3-(a+b)^3 = -3ab(a+b)=1\\ \Rightarrow ab(a+b)= \bbox[red, 2pt]{-{1\over 3}}$$

解答：

$$作\overline{D'D''} \parallel \overline{BC}，並交圓於D'、D''及直線\overline{AB}於P點，見上圖；\\ \overline{AB}為\overline{DD'}的中垂線\Rightarrow \overline{AD'} =\overline{AD}=9 \Rightarrow \cos \angle AOD' ={8^2+8^2-9^2\over 2\cdot 8\cdot 8} ={47\over 128} \\ \Rightarrow \cos \angle D'OD =-{47\over 128} ={8^2+1^2-\overline{DD'}^2\over 2\cdot 8\cdot 1} \Rightarrow \overline{DD'}= {9\over 4}\sqrt{14} \Rightarrow \overline{PD}=\overline{PD'}= {9\over 8}\sqrt{14}\\ 圓冪定理:\overline{AD} \times \overline{DC} =\overline{DD'}\times \overline{DD''} \Rightarrow 9\times 7 = {9\over 4}\sqrt{14}\times \overline{DD''} \Rightarrow \overline{DD''} =  2\sqrt{14}\\ 又\overline{PD}\parallel \overline{BC} \Rightarrow \overline{AP}: \overline{PB}=\overline{AD}:\overline{DC } =9:7 \Rightarrow \cases{\overline{AP}=9k\\ \overline{PB}=7k},k \in \mathbb{R};\\再一次圓冪定理:\overline{D'P} \times \overline{P'D''} =\overline{AP} \times \overline{PB} \Rightarrow {9\over 8}\sqrt{14}\times ({9\over 8}\sqrt{14}+ 2\sqrt{14}) = 9k\times 7k \\ \Rightarrow k={5\over 4\sqrt 2} \Rightarrow \overline{AB}=16k = {20\over \sqrt 2} =\bbox[red,2pt]{10\sqrt 2}$$

解答：$${1\over 1^3+ 2^3+\cdots +k^3} =\left({2\over k(k+1)}\right)^2 = 4\left({1\over k}-{1\over k+1} \right)^2  = 4\left({1\over k^2} +{1\over (k+1)^2}-{2\over k(k+1)} \right)\\ =4 \left({1\over k^2} +{1\over (k+1)^2} \right)-8\left({1\over k}-{1\over k+1} \right)\\ \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty{1\over 1^3+ 2^3+\cdots +k^3} = 4\sum_{k=1}^\infty {1\over k^2}+ 4 \sum_{k=1}^\infty {1\over (k+1)^2} -8\sum_{k=1}^\infty \left({1\over k}-{1\over k+1} \right) \\ =4\cdot {\pi^2\over 6} +4({\pi^2\over 6}-1)-8 = \bbox[red, 2pt]{{4\over 3}\pi^2-12}$$

解答：$$令g(x)=f(7x+8)+8x +7，則g(x)=0的三根為1,2,3 \Rightarrow g(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)\\ f(x)首項為1 \Rightarrow f(7x+8)首項為7^3 \Rightarrow g(x)=7^3(x-1)(x-2)(x-3) \\\Rightarrow g(4)=f(36)+ 32+7 = 7^3 \cdot 3\cdot 2\cdot 1 \Rightarrow f(36)=343\times 6-39=\bbox[red, 2pt]{2019}$$

解答：$$令g(x)=f(x+1)，則(x,e^{e^x}+1)在 y=e^{e^x}+1上\Rightarrow (e^{e^x}+1,x) 在y= g(x)上 \\\Rightarrow g(x)=\ln\ln(x-1) \Rightarrow f(x)=\bbox[red, 2pt]{\ln\ln(x-2)}$$

解答：$$S=\{1,2,3,4\}代表四種口味，及\cases{A \subseteq S:小英買到的口味\\ B \subseteq S:小華買到的口味\\ C \subseteq S:小明買到的口味}，滿足\cases{A\cap B\ne \varnothing \\B \cap C\ne \varnothing \\A\cap C\ne \varnothing }\\ 排容原理:8^4-3\times 6^4+3\times 5^4-4^4 =\bbox[red,2pt]{1827}$$

解答：$$點數種類:意思應該是一種點數=只出現1,或只出現2...、二種點數=只出現1或2，只出現2或3，....\\丟骰子10次，出現點數1的機率= 出現點數2的機率=\cdots =出現點數6的機率=1-({5\over 6})^{10}\\ \Rightarrow 有出現點數k的期望值=1-({5\over 6})^{10} \Rightarrow 點數種類期望值= \bbox[red,2pt]{6\times(1-({5\over 6})^{10})}$$

解答：$$a,b 為x^2+x\tan \theta-\sin \theta =0的兩根\Rightarrow \cases{a+b= -\tan \theta \\ ab=-\sin\theta}\\ L為(a,a^2)至(b,b^2)的連線 \Rightarrow L: y=(a+b)(x-a)+a^2 \Rightarrow (a+b)x-y-ab=0\\ \Rightarrow 原點至L的距離=\left| {ab \over \sqrt{(a+b)^2+1 }}\right| =\left| {\sin \theta \over \sqrt{\tan^2 \theta +1 }}\right| =\left| {\sin \theta \over \sec \theta}\right| = |\sin\theta \cos\theta| ={1\over 2}\sin 2\theta\\ = {1\over 2}\sin 30^\circ = \bbox[red, 2pt]{1\over 4}$$

解答：$$假設z=x+yi, x,y\in \mathbb{R}，則{z-i\over z-2}= a \in \mathbb{R} \Rightarrow x+(y-1)i = ax-2a+ayi \\ \Rightarrow \cases{x= 2a/(a-1) =2-2/(1-a)\\ y= 1/(1-a)} \Rightarrow x=2-2y \Rightarrow 直線L: x+2y = 2\\ |z|+|z+1| = \sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{(x+1)^2 +y^2} =\overline{PO}+ \overline{PQ}，其中\cases{O(0,0)\\ Q(-1,0)\\ P\in L} \\ O對稱直線L的對稱點O'(4/5,8/5) \Rightarrow \overline{PO}+ \overline{PQ}的最小值=\overline{O'Q} =\sqrt{81/25+ 64/25} = \bbox[red, 2pt]{\sqrt{145}/5}$$

解答：$$令\cases{x= A-B\\ y=B-C\\ z=C-A}，則\cases{f(x,y,z)=\cos^ 2 x+\cos^ 2y +\cos^ 2 z\\ g(x,y,z)=x+y+z}，\text{利用 Lagrange 算子求 f 極值}，\\即\cases{f = \lambda g\\ g=0} \Rightarrow \cases{f_x= \lambda g_x \\f_y= \lambda g_y\\ f_z= \lambda g_z\\ g=0} \Rightarrow \cases{- \sin 2x=\lambda \\- \sin 2y=\lambda \\- \sin 2z=\lambda \\ x+y+z=0} \Rightarrow \cases{\sin (2x)= \sin (2y)=\sin(2z) \\ x+y+z=0} \\ 取\cases{2x=2y=-2\pi/3\\ 2z=4\pi/3} \Rightarrow \cases{x=y=-\pi/3 \\ z=2\pi/3}\Rightarrow f(x,y,z)= { 1\over 4} +{ 1\over 4} +{ 1\over 4}   = \bbox[red,2pt]{3\over 4} 為最小值$$

二、 計算證明題： 共 2 題，每題 15 分。

解答：$$f(x)=\cases{(x-1)^2m(x)+ax+b \\(x+1)^2n(x)+ bx+a\\ (x-1)^2(x+1)^2 p(x)+ cx^3+dx^2 +ex}  \Rightarrow f'(x)=\cases{(x-1)m_1(x)+ a\\ (x+1) n_1(x)+ b\\ (x-1)(x+1)p_1(x) + 3cx^2+2dx+ e} \\ \Rightarrow \cases{f(1)=a+b= c+d+e\\ f(-1)= -b+a= -c+d-e} \Rightarrow \cases{a=d\\ b=c+e} \cdots(1)\\ 又\cases{f'(1)=a= 3c+2d+e \\ f'(-1)=b =3c-2d+e }\cdots (2)，將(1)代入(2) \Rightarrow \cases{d=3c+2d+e\\ c+e=3c-2d+c} \Rightarrow \cases{c=d\\ e=-4c} \\ \Rightarrow R(x)=cx^3+ cx^2-4cx =cx(x^2+x-4) =0 \Rightarrow x=0,x= \bbox[red,2pt]{-1\pm \sqrt{17}\over 2}$$

解答：$$令 a_n = \left[\sqrt n \right] +\sum_{k=1}^n  ，利用歸納法證明:\\當n=1時，a_1=\left[\sqrt 1 \right]+\left[\sqrt 1 \right]=2為偶數 \Rightarrow 原式成立;\\假設n=\ell時成立，即a_{\ell}=\left[\sqrt \ell \right] +\sum_{k=1}^\ell \left[{\ell\over k} \right]亦為偶數;\\當n=\ell+1時，\\\qquad 若\ell+1為完全平方數 \Rightarrow \cases{\left[\sqrt {\ell+1}  \right]=\left[\sqrt {\ell}  \right]+1 \\ \sum_{k=1}^{\ell+1}\left[{\ell+1\over k} \right] =\sum_{k=1}^{\ell }\left[{\ell \over k} \right]+m},其中m為\ell+1的正因數個數(奇數)\\ \qquad \qquad\Rightarrow a_{\ell+1}=a_\ell +m+1 =偶+奇+奇=偶數\\\qquad 若\ell+1不是完全平方數 \Rightarrow \cases{\left[\sqrt{\ell+1} \right] =\left[ \sqrt \ell\right]\\ \sum_{k=1}^{\ell+1}\left[{\ell+1\over k} \right] =\sum_{k=1}^{\ell }\left[{\ell \over k} \right]+m}，此時m為偶數\\ \qquad \qquad \Rightarrow a_{\ell+1}=a_\ell +m = 偶+偶=偶\\ 因此當n=\ell+1時，原式亦成立，\bbox[red,2pt]{故得證}$$
 

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