94學年度指定科目考試試題
數學乙
第壹部分：選擇題一、單選題
B(2,-2,1)。 假 定 地 球 為 半 徑 等 於 6400 公 里 的 圓 球 ， 試 問 飛 機 從 A 城 市 直 飛 至 B城 市 的 最 短 航 線 長 最 接 近 下 列 那 一 個 選 項 的 值 ？
(1) 8000 公 里
(2) 8500 公 里
(3) 9000 公 里
(4) 9500 公 里
(5) 10000 公 里
解：
$$\cos \angle AOB = \cfrac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}|} = \cfrac{(1,2,2)\cdot (2,-2,1)}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\times \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} = \cfrac{2-4+2}{3\times 3} =0 \\ \Rightarrow \angle AOB= {\pi \over 2} \Rightarrow \overset{\frown}{AB} = 6400 \times {\pi \over 2} = 3200 \times 3.14 = 10048，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$
解：
(1) 任 一 組 資 料 都 恰 有 一 個 第 一 十 分 位 數
(2) 若 將 原 資 料 每 個 數 據 分 別 乘 以 5， 則 原 資 料 的 第 一 十 分 位 數 乘 以 5 也 會 是 新資 料 的 第 一 十 分 位 數
(3) 若 將 原 資 料 每 個 數 據 分 別 加 5， 則 原 資 料 的 第 一 十 分 位 數 加 5 也 是 此 新 資 料的 第 一 十 分 位 數
(4) 若 有 A,B 兩 組 資 料 其 第 一 十 分 位 數 分 別 為 \(w_A , w_B\) ， 則 \(w_A + w_B\) 也 是 此 兩 組 資料 合 併 成 一 組 後 的 第 一 十 分 位 數
(5) 任 一 組 資 料 的 第 一 十 分 位 數 必 小 於 該 組 資 料 之 算 術 平 均 數
解：$$(1)\times: 只要介於前十分之一與後十分之九間的數都是第一十分位數 \\(2)\bigcirc: 每個數據都乘5，並不改變順序 \\(3) \bigcirc: 每個數據都加5，並不改變順序 \\(4)\times: A組資料由小到大為a_1,a_2, \dots, a_{10}; B組資料由小到大為b_1,b_2, \dots, b_{10}且a_i < b_j\\，此例w_A=a_1, w_B=b_1，但兩組資料合併後的第一十分位數為a_2 \ne (a_1+b_1) \\(5) \times: 若資料數據都一樣，則第 一 十 分 位 數 等於 該 組 資 料 之 算 術 平 均 數\\，故選\bbox[red,2pt]{(2,3)}$$
4. 試 問 在 坐 標 平 面 上 ， 下 列 有 關 拋 物 線 的 敘 述 哪 些 是 正 確 的 ？
(1) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， x+y=0 為 對 稱 軸 。
(2) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， 頂 點 是 (1,1)， 焦 點 是 (1,2)。
(3) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， 焦 點 是 (2,2)， 且 通 過 (3,3)。
(4) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， 且 通 過 (3,3), (-3,4)。
(5) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， y 軸 為 對 稱 軸 ， 且 通 過 (3,3),(-3,3)。
解：
$$ (1) \times: 準線與對稱軸需垂直 \\(2) \bigcirc:該拋物線為(x-1)^2 =4(y-1)\\ (3) \times: (3,3)至焦點(2,2)的距離為\sqrt 2，而(3,3)至準線的距離為3，兩者不相等\\ (4)\bigcirc: \cases{A(3,3)至準線的距離=3 \\ B(-3,4)至準線的距離=4} \Rightarrow \cases{以A為圓心半徑為3畫一圓C_1 \\ 以B為圓心半徑為4畫一圓C_2}\\ \Rightarrow C_1與C_2的交點即可作為拋物線的焦點 \\(5) \bigcirc: 方法同(4)可得焦點(0,3)\\，故選\bbox[red,2pt]{(2,4,5)}$$
$$假設該正方體邊長為1，且令A為坐標原點 \Rightarrow \cases{A(0,0,0) \\ B(1,1,0) \\ O(1/2, 1/2, -1/2)} \\ \Rightarrow \cos \angle AOB =\cfrac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{ |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} =\cfrac{(-1/2,-1/2,1/2)\cdot (1/2,1/2,1/2)}{|(-1/2,-1/2,1/2)||(1/2,1/2,1/2)|} =\cfrac{-1/4}{3/4} = \bbox[red, 2pt]{-\cfrac{1}{3}}$$
$$第1列至第98列共有1+2+\cdots + 98= 99\times 98\div 2= 4851個數字，因此第99列第1個數字是4852；\\同理，第1列至第99列共有1+2+\cdots + 99 = 99\times 100\div 2= 4950，因此第100列第1個數字是4951；\\由於奇數列的第1個數字在最右邊，因此第99列由左至右第67個為4951-67= \bbox[red, 2pt]{4884}$$
解：
$$10^4 = 2^4\times 5^4 \Rightarrow 10^4 有(4+1)(4+1)=25個正因數，將25個因數由小至大排列為a_1,a_2,\dots,a_{25};\\ \Rightarrow a_1\times a_{25} = a_2\times a_{24} = \cdots = a_{25}\times a_1=10^4 \Rightarrow (a_1\times a_{25}) \times(a_2\times a_{24}) \times \cdots \times (a_{25}\times a_1)=(10^4)^{25}\\ \Rightarrow (a_1\times a_2 \times \cdots \times a_{25})^2 = 10^{100} \Rightarrow n=a_1\times a_2 \times \cdots \times a_{25}=\sqrt{10^{100}} = 10^{50} \\\Rightarrow \log n= \log 10^{50} = \bbox[red, 2pt]{50}$$
$$10^4 = 2^4\times 5^4 \Rightarrow 10^4 有(4+1)(4+1)=25個正因數，將25個因數由小至大排列為a_1,a_2,\dots,a_{25};\\ \Rightarrow a_1\times a_{25} = a_2\times a_{24} = \cdots = a_{25}\times a_1=10^4 \Rightarrow (a_1\times a_{25}) \times(a_2\times a_{24}) \times \cdots \times (a_{25}\times a_1)=(10^4)^{25}\\ \Rightarrow (a_1\times a_2 \times \cdots \times a_{25})^2 = 10^{100} \Rightarrow n=a_1\times a_2 \times \cdots \times a_{25}=\sqrt{10^{100}} = 10^{50} \\\Rightarrow \log n= \log 10^{50} = \bbox[red, 2pt]{50}$$
解：
$$當飛機在A(-8,4)時，原點發射飛彈，並在B(m,4)擊中飛機；\\由於飛機與飛彈相同速度\Rightarrow \overline{AB}= \overline{BO} \Rightarrow m+8= \sqrt{m^2+4^2} \Rightarrow m^2+16m+64=m^2+16\\ \Rightarrow 16m=-48 \Rightarrow m=-3 \Rightarrow B(-3,4) = (a,b) \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{a=-3\\ b=4}}$$
解：
$$b_{n+1} = 2b_n \Rightarrow b_{n+3} = 2b_{n+2}=4b_{n+1} =8b_n \cdots(1) \\ a_{n+1} =2(a_n+b_n) \Rightarrow a_{n+3} =2(a_{n+2}+b_{n+2}) = 2(2(a_{n+1}+b_{n+1})+b_{n+2}) \\= 2(2(2(a_n+b_n)+b_{n+1})+b_{n+2}) = 8a_n+8b_n+4b_{n+1} +2b_{n+2} \\ =8a_n+8b_n+8b_{n} +8b_{n} =8a_n+24b_n \cdots(2)\\ 由(1)及(2)知: \cases{a_{n+3}=8a_n+24b_n \\ b_{n+3}= 8b_n} \Rightarrow \left[ \matrix{a_{n+3} \\ b_{n+3}}\right] = \left[ \matrix{8 &24 \\0 & 8}\right]\left[ \matrix{a_n \\ b_n}\right] \Rightarrow \left[ \matrix{8 &24 \\0 & 8}\right] =\left[ \matrix{a & b \\c & d}\right] \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{a=8 \\ b=24 \\c=0 \\d=8}}$$
一 、 某 銀 行 檢 討 『 一 年 期 20 萬 元 的 小 額 急 用 貸 款 ， 一 年 後 還 款 21 萬 元 』 的 申 請 資格 。 過 去 幾 年 的 記 錄 顯 示 ： 申 辦 此 項 貸 款 者 一 年 後 只 有 依 約 還 款 21 萬 元 與 違約 不 理 (1 元 都 不 還 )兩 種 情 形 ， 沒 有 還 一 部 分 錢 等 其 他 情 形 發 生 ； 且 發 現 會 還錢 或 不 會 還 錢 者 與 其 年 收 入 有 關 ， 兩 者 的 累 積 次 數 分 配 部 分 圖 形 如 下 ：
(1) 一 個 年 收 入 30 萬 元 以 下 的 貸 款 者 ， 會 還 錢 的 機 率 為 何 ？ (4 分 )
(2) 銀 行 貸 款 給 一 個 年 收 入 30 萬 元 以 下 的 客 戶 ， 銀 行 的 獲 利 期 望 值 為 多 少 元 ？
解：
$$(1)由圖形知\cases{年數入30萬以下會還錢的累積人數為17400 \\ 年數入30萬以下不會還錢的累積人數為600}\\ \Rightarrow 會還錢的機率為{17400 \over 17400+600} ={17400 \over 18000} =\bbox[red, 2pt]{29 \over 30}\\ (2) 有還錢則銀行獲利1萬元，沒還錢則銀行賠20萬元\\，因此期望值為1\times {29\over 30} +(-20)\times (1-{29\over 30})= {9\over 30}萬元= \bbox[red, 2pt]{3千元}$$
二 、 根 據 過 去 長 期 統 計 資 料 顯 示 ： 某 公 司 推 銷 員 的 年 資 x (年 )， 與 每 次 推 銷 成 功 的機 率 y(x)， 滿 足 下 列 關 係 式 ：\(y(x)=\cfrac{2^{-3+x}}{1+2^{-3+x}}\)
(1) 化 簡 \(r(x)=\cfrac{y(x)}{1-y(x)}\)，並 說 明 \(r(x)\)的 值 隨 x 增 大 而 增 大 (即 \(r(x)\)為 遞 增 函 數 )。
(2) 說 明 年 資 8 年 (含 )以 上 的 推 銷 員 ， 每 次 推 銷 不 成 功 的 機 率 小 於 4%。
解：
$$(1)y(x)=\cfrac{2^{-3+x}}{1+2^{-3+x}} \Rightarrow r(x)= \cfrac{y(x)}{1-y(x)} = \cfrac{\cfrac{2^{-3+x}}{1+2^{-3+x}}}{1-\cfrac{2^{-3+x}}{1+2^{-3+x}}} = 2^{-3+x}\\ 若m>n \Rightarrow r(m)-r(n) = 2^{-3+m}-2^{-3+n} =2^{-3}(2^m-2^n) >0 \Rightarrow r(x)為遞增函數 \\(2) 先證明y(x)為遞增函數: m>n \Rightarrow y(m)-y(n) =\cfrac{2^{-3+m}}{1+2^{-3+m}} - \cfrac{2^{-3+n}}{1+2^{-3+n}}\\ =\left(1-\cfrac{1}{1+2^{-3+m}} \right) -\left(1-\cfrac{1}{1+2^{-3+n}} \right) = \cfrac{1}{1+2^{-3+n}} -\cfrac{1}{1+2^{-3+m}} >0 (\because 2^{-3+n} < 2^{-3+m}) \\ \Rightarrow y(x)為遞增函數\\y(8)= \cfrac{2^{-3+8}}{1+2^{-3+8}}= \cfrac{2^5}{1+2^5} =\cfrac{32}{33} \Rightarrow 不成功的機率1-\cfrac{32}{33} = \cfrac{3}{99} = 0.0\bar{3} < 4\%\\ 由於y(x)為遞增函數，年資越大推銷成功機越大，推銷不成功的機率就越小；\\因此年 資 8 年 (含 )以 上 的 推 銷 員 ， 每 次 推 銷 不 成 功 的 機 率 小 於 4%$$
-- END (僅供參考) --
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