94年大學指考數學甲詳解

94學年度指定科目考試試題

數學甲

第壹部分：選擇題
一、單選題

1. 地震規模的大小通常用芮 氏 等 級 來 表 示。已 知 芮 氏等級每增加 1 級，地 震 震 幅強度約增加為原來的 10 倍，能量釋放強度則約增加為原來的 32 倍。現假設有兩次地震，所釋放的能量約相差 100,000 倍，依上述性質則地震震幅強度約相差幾倍？請選出最接近的答案。
（ 1） 10 倍
（ 2） 100 倍
（ 3） 1000 倍
（ 4） 10000 倍
解：

$$地震增加x級，震幅強度變為10^x倍，能量釋放強度變為32^x倍；\\現在32^x=100,000 \Rightarrow  \log 32^x = \log 100000 \Rightarrow x\log 32=5 \Rightarrow 5x\log 2=5 \\\Rightarrow x= 1/\log 2 = 1/0.301 \approx 3.3 \Rightarrow 震幅強度變為10^x = 10^{3.3} 倍，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

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解：

$$\cfrac{\sin 3\theta}{\sec 2\theta}- \cfrac{\cos 3\theta}{\csc 2\theta} = \cos 2\theta\sin 3\theta -\sin 2\theta\cos 3\theta = \sin(3\theta-2\theta) = \sin \theta，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

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解：

$$z=x+yi,其中x,y\in R \Rightarrow \bar z=x-yi \Rightarrow (1+i)z-(1-i)\bar z=0\\ \Rightarrow (1+i)(x+yi) -(1-i)(x-yi)=0  \Rightarrow (x-y)+(x+y)i-(x-y)+(x+y)i = (x+y)i=0\\ \Rightarrow x+y=0 為一直線，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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二、多選題

解：
$$(1) \times: a=1 \Rightarrow f(x)= x^2+1-x^2=1 為一水平直線 \\(2) \bigcirc:f(x)=x^2+a(1-x^2) \Rightarrow f'(x)=2x-2ax =2x(1-a); \\ \qquad有極值代表f'(x)=0有解 \Rightarrow x=0 \Rightarrow 有極值f(0)=a \\(3) \times: 若f(0)=a=0為極大值 \Rightarrow f(x)=x^2 \Rightarrow 0為極小值，不是極大值 \\(4) \bigcirc:a\ne 0 \Rightarrow f(x)=(1-a)x^2+a \Rightarrow 判別式g(a)=-4a(1-a); \\\qquad若有重根,則g(a)=0 \Rightarrow \cases{a=0(不合)\\ a=1 \Rightarrow f(x)=1 無重根} \Rightarrow f(x)=0 無重根\\，故選\bbox[red,2pt]{(2,4)}$$

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解：

$$令\cases{\overline{PB}=a \\ \overline{BQ}=b \\ \angle BPQ=\alpha \\ \angle BQP=\beta} ,見上圖;\\(1) \bigcirc: \cases{\angle A=\angle B=90^\circ \\ \angle APS+ \angle BPQ = 90^\circ = \angle BPQ+\angle BQP \Rightarrow \angle APS=\angle BQP =\beta \Rightarrow \angle ASP=\alpha  } \\ \qquad \Rightarrow 符合AAA \Rightarrow \triangle SAP \sim \triangle PBQ \\(2)\bigcirc: 同(1) \Rightarrow \triangle SAP \sim \triangle QCR,又\overline{PS} =\overline{QR}(長方形)，因此\triangle SAP \cong \triangle QCR \\(3) \bigcirc: 由(2)知\triangle SAP \cong \triangle QCR \Rightarrow \cases{\overline{AP}=1-x=\overline{RC} \\ \overline{QC}=1-y=\overline{AS}}; \\又由(1)\triangle SAP \sim \triangle PBQ \Rightarrow {\overline{AS}\over \overline{AP}}={ \overline{BP}\over \overline{BQ}} \Rightarrow {1-y \over 1-x}={ x \over y} \Rightarrow y-y^2=x-x^2 \Rightarrow (x-y)-(x^2-y^2)=0 \\ \qquad \Rightarrow (x-y)(1-(x+y))=0 \Rightarrow \cases{x=y \\ x=1-y \Rightarrow \cases{\overline{PB}=\overline{QC}=1-y\\ \overline{BQ} =\overline{RC}=y} \Rightarrow \overline{PQ} =\overline{QR}(不合)}\\ (4)\times:x<1 \Rightarrow \triangle PBQ = {1\over 2}x^2< {1\over 2} \not > {1\over \sqrt 2}  \\，故選\bbox[red,2pt]{(1,2,3)}$$

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解： $$\cases{x^2+ y^2+z^2 =4 \Rightarrow \cases{球心O(0,0,0) \\ 球半徑r=2}\\ P(1,-2,1) \\Q(-1,2,-1)} \Rightarrow \cases{\overline{OP}= \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt 6 > r=2 \\ \overline{OQ}= \sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt 6 > r =2 \\ P,Q的中點=(0,0,0)=球心O } \\ (1)\bigcirc: 直線\overline{PQ}通過球心 \Rightarrow 直線\overline{PQ}與球交於兩點 \\(2)\bigcirc: P,Q皆在球外 且直線\overline{PQ}通過球心 \Rightarrow 線段\overline{PQ}與球交於兩點 \\(3)\times: 由(1)知交於兩點，不相切 \\ (4)\bigcirc: 球心為P,Q的中點 \Rightarrow 直線\overline{PQ}通過球心\\故選\bbox[red,2pt]{(1,2,4)}$$

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7. 宴 會 在 場 的 50 位 賓 客 有 人 偷 了 主 人 的 珠 寶 ， 由 於 賓 客 身 上 都 沒 有 珠 寶 ， 而 且他 們 都 不 承 認 偷 竊 。 警 方 決 定 動 用 測 謊 器 ， 並 且 只 問 客 人 一 個 問 題 ：「 你 有 沒有 偷 珠 寶 ？ 」。 已 知 若 某 人 說 謊 ， 則 測 謊 器 顯 示 他 說 謊 的 機 率 為 99％ ； 若 某 人誠 實 ， 則 測 謊 器 顯 示 他 誠 實 的 機 率 是 90％ 。 下 列 敘 述 何 者 正 確 ：

（ 1） 設 竊 賊 只 有 一 人。當 賓 客 受 測 時，測 謊 器 顯 示 賓 客 說 謊 的 機 率 大 於 10％。

（ 2） 設 竊 賊 只 有 一 人 。 當 測 謊 器 顯 示 一 賓 客 說 謊 時 ， 該 賓 客 正 是 竊 賊 的 機 率大 於 50％ 。

（ 3） 設 竊 賊 只 有 一 人 ， 當 測 謊 器 顯 示 一 賓 客 誠 實 時 ， 該 賓 客 卻 是 竊 賊 的 機 率小 於 20％ 。

（ 4） 當 測 謊 器 顯 示 一 賓 客 說 謊 時 ， 該 賓 客 是 竊 賊 的 機 率 ， 並 不 因 竊 賊 人 數 多少 而 改 變 。

解：
    大家都不承認偷竊，代表只有一人(小偷)說謊，另外49人都是誠實的；
$$(1)\bigcirc: 測 謊 器 顯 示 賓 客 說 謊 的 機 率 = 測謊器偵測到小偷說謊及其他誠實的49人也說謊的機率 \\ \qquad = {1\over 50}\times 99\% + {49\over 50}\times 10\% = {0.99+4.9 \over 50} = {5.89 \over 50} > {5\over 50}=10\% \\(2) \times: \cfrac{偵測到竊賊且測謊器顯示說謊}{測謊器顯示說謊} =\cfrac{{1\over 50}\times 99\%}{{1\over 50}\times 99\% + {49\over 50}\times 10\%} = \cfrac{0.99}{5.89} < 50\% \\ (3)  \bigcirc: \cfrac{偵測到竊賊且測謊器顯示誠實}{測謊器顯示誠實} =\cfrac{{1\over 50}\times 1\%}{{1\over 50}\times 1\% + {49\over 50}\times 90\%} =\cfrac{0.01}{4.42} = \cfrac{1}{442} < \cfrac{1}{5} \\(4)\times: 有n個竊賊\Rightarrow \cfrac{偵測到竊賊且測謊器顯示說謊}{測謊器顯示說謊} =\cfrac{{n\over 50}\times 99\%}{{n \over 50}\times 99\% + {50-n\over 50}\times 10\%} = \cfrac{0.99n}{5+0.89n}\\\qquad ,上式與n有關 \\故選\bbox[red,2pt]{(1,3)}$$

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解： $$\cases{A\left[ \matrix{1 \\ -1}\right] =\left[ \matrix{1 \\ 1}\right] \\ A\left[ \matrix{1 \\ 1}\right] =\left[ \matrix{-1 \\ 1}\right] } \Rightarrow A\left[ \matrix{1 & 1\\ -1 & 1}\right] =\left[ \matrix{1 & -1\\ 1 & 1}\right] \Rightarrow A =\left[ \matrix{1 & -1\\ 1 & 1}\right]\left[ \matrix{1 & 1\\ -1 & 1}\right]^{-1} = \left[ \matrix{1 & -1\\ 1 & 1}\right]\cdot {1\over 2}\left[ \matrix{1 & -1\\ 1 & 1}\right] \\ ={1\over 2}\left[ \matrix{0 & -2\\ 2 & 0}\right] = \left[ \matrix{0 & -1\\ 1 & 0}\right] \Rightarrow A^2=\left[ \matrix{0 & -1\\ 1 & 0}\right]\left[ \matrix{0 & -1\\ 1 & 0}\right]=\left[ \matrix{-1 & 0\\ 0 & -1}\right] \\ \Rightarrow A^4=\left[ \matrix{-1 & 0\\ 0 & -1}\right]\left[ \matrix{-1 & 0\\ 0 & -1}\right] =\left[ \matrix{1 & 0\\ 0 & 1}\right] =I \Rightarrow A^4\left[ \matrix{a\\ b}\right] =I\left[ \matrix{a\\ b}\right]=\left[ \matrix{a\\ b}\right]=\left[ \matrix{3\\ 2}\right] \Rightarrow \cases{a=3\\ b=2}\\ (1)\times: a=3\ne -3 \\(2)\bigcirc: b=2 \\(3)\bigcirc: A^2\left[ \matrix{1\\ -1}\right] = \left[ \matrix{-1 & 0\\ 0 & -1}\right]\left[ \matrix{1\\ -1}\right] = \left[ \matrix{-1\\ 1}\right] \\(4)\bigcirc: A= \left[ \matrix{0 & -1\\ 1 & 0}\right]=\left[ \matrix{\cos \pi/2 & -\sin \pi/2\\ \sin \pi/2 & \cos \pi/2}\right],相當於旋轉90^\circ\\，故選 \bbox[red, 2pt]{(2,3,4)}$$

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解：

$$(1) \times: 與三直線相切的拋物線有無限多條，並非皆對稱Y軸\\ (2) \bigcirc: 拋物線對稱Y軸並與X軸相切，其頂點必為(0,0)，方程式可寫成x^2=4cy，其中c>0; \\ \qquad 將y=x-1 代入拋物線方程式可得x^2=4c(x-1) \Rightarrow x^2-4cx+4c=0; 由於相切\\\qquad，判別式16c^2-16c=0 \Rightarrow c(c-1)=0 \Rightarrow c=1\\ (3) \times: 拋物線可能是斜的，頂點不一定在X軸上\\ (4) \bigcirc:  有無限多條\\，故選\bbox[red,2pt]{(2,4)}$$

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三、選填題

解：

$$\cfrac{抽到2個女生且都想去墾丁的次數}{抽到2個女生的次數} = \cfrac{C^{10}_2}{C^{10+6+9}_2} =\cfrac{C^{10}_2}{C^{25}_2} = \cfrac{10 \times 9}{ 25\times 24} = \cfrac{3}{20}= \bbox[red, 2pt]{0.15}$$

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解：

$$當x=n時，雙曲上的點P_n=(n,\sqrt{n^2+1}) \Rightarrow P_n與漸近線的距離d_n= \left|{n-\sqrt{n^2+1}\over \sqrt 2} \right|\\ ={\sqrt{n^2+1} -n\over \sqrt 2}  \Rightarrow \lim_{n \to \infty}(n\cdot d_n)= \lim_{n \to \infty}n\cdot ({\sqrt{n^2+1} -n\over \sqrt 2})= \lim_{n \to \infty}n\cdot ({(\sqrt{n^2+1} -n)(\sqrt{n^2+1} +n)\over \sqrt 2 (\sqrt{n^2+1} +n)}) \\= \lim_{n \to \infty} {n \over \sqrt 2(\sqrt{n^2+1} +n)} = \lim_{n \to \infty} {1 \over \sqrt 2(\sqrt{1+1/(n^2+1)} +1)} = {1\over 2\sqrt 2} = {\sqrt 2 \over 4} \approx {1.414 \over 4} = 0.3535\\ \approx \bbox[red, 2pt]{0.35}$$

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第貳部份：非選擇題
一 、 袋 中 有 三 個 一 樣 大 小 的 球 ， 分 別 標 示 10 分 、 20 分 、 30 分 。 重 複 自 袋 中 取出 一 球 後 放 回 ， 記 錄 得 分 並 累 加 ， 其 中 取 出 各 球 之 機 率 皆 相 等 。
1. 求 抽 三 次 後 總 分 為 60 分 的 機 率 。（ 5 分 ）
2. 遊 戲「 過 三 十 」的 規 則 是 重 複 抽 球 ，直 到 總 得 分 大 於 或 等 於 30 分 後 停 止 ，總 得 分 恰 為 30 分 者 輸 ， 超 過 30 分 者 贏 。 求 贏 得 此 遊 戲 之 機 率 。（ 6 分 ）

解：
$$(1)60=10+20+30 = 20+20+20,又\cases{10,20,30排列數為3!=6 \\ 20,20,20的排列數為1} \\\Rightarrow 總和為60的機率為\cfrac{6+1}{3^3} = \bbox[red, 2pt]{\cfrac{7}{27}} \\(2) 30=30=20+10=10+10+10,又\cases{30排列數為1 \\ 10,20的排列數為2 \\ 10,10,10的排列數為1} \\ \Rightarrow 總分恰為30的機率為 {1\over 3} +{2\over 3^2} +{1\over 3^3} = { 16\over 27} \Rightarrow 贏的機率=1-{16\over 27} = \bbox[red,2pt]{11\over 27}$$

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解：

$$(1)\cases{切線L:y=x+\sqrt 2\\ F_1(0,0) \\ F_2(4,4) } \Rightarrow L//\overline{F_1F_2} \Rightarrow 切點P在\overline{F_2F_2} 的中垂線M上;\\ 橢圓中心點O=(4/2,4/2)=(2,2) \Rightarrow M:y-2=-(x-2) \Rightarrow M:x+y=4 \\ \Rightarrow 求直線L與M的交點P ,即切點 \Rightarrow \cases{y=x+\sqrt 2\\ y=4-x} \Rightarrow P=(2-\sqrt 2/2,2+\sqrt 2/2) \\ \Rightarrow 半長軸長=\overline{PF_2} =\overline{PF_1} =\sqrt{(2-\sqrt 2/2)^2+(2+\sqrt 2/2)^2} =\sqrt 9 =\bbox[red, 2pt]{3} \\(2) 依橢圓定義: \sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}=2\times 3\\ \Rightarrow \left(\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}\right)^2 =(6- \sqrt{x^2+y^2})^2 \\\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-8y+16=36-12\sqrt{x^2+y^2} +x^2+y^2 \\ \Rightarrow 12\sqrt{x^2+y^2}= 8x+8y+4 \Rightarrow (3\sqrt{x^2+y^2})^2 =(2x+2y+1)^2 \\ \Rightarrow 9x^2+9y^2 = 4x^2+4y^2 +1 + 8xy+4y+4x \\ \Rightarrow 5x^2-8xy+5y^2-4x-4y=1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{A=5\\B=-8 \\C=5 \\ D=-4 \\E=-4}}$$

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-- END   (僅供參考)  --