正四面體外接球半徑與內切球半徑的比值

$$假設有一正四面體頂點分別為\cases{A(a,0,0) \\B(0,a,0) \\ C(0,0,a) \\ D(a,a,a)} \Rightarrow 邊長均為\sqrt 2 a;$$$$ 若P(a/2,a/2,a/2),則\overline{PA} =\overline{PB} =\overline{PC} =\overline{PD} = {\sqrt 3\over 2}a，因此P為該四面體的外接圓圓心 \\ \Rightarrow 外接圓半徑R={\sqrt 3 \over 2}a\\ 又\cases{\overrightarrow{AB} =(-a,a,0) \\ \overrightarrow{AC} =(-a,0,a)} \Rightarrow \vec n= \overrightarrow {AB}\times \overrightarrow{AC} = (1,1,1) \Rightarrow 過A,B,C三點之平面E:x+y+z=a\\ \Rightarrow 內切圓圓半徑r=\text{dist }(P,E)= \cfrac{a/2+a/2+a/2-a}{\sqrt 3} = {1\over 2\sqrt 3}a\\ \Rightarrow R:r={\sqrt 3\over 2}a:{1\over 2\sqrt 3}a=\bbox[red, 2pt]{3:1}\\\\ 另外，我們也可以知道正四面體邊長與外接圓半徑的比例為\sqrt 2a:{\sqrt 3\over 2}a= \bbox[blue, 2pt]{1:{\sqrt 6\over 4}} $$