101年國中基測數學詳解

試題來源：心測中心 http://www.bctest.ntnu.edu.tw/
關鍵字：國中、數學、基測

1.三年甲班男、女生各有20人，圖(一)為三年甲班男、女身高的盒狀圖。若班上每位同學的身高均不相等，則全班身高的中位數在下列哪一個範圍？

(A) 150~155 (B) 155~160 (C) 160~165 (D) 165~170

解：

由盒狀圖可知：男生的中位數為165，女生的中位數為160。也就是說有10位男生身高小於165、10位女生身高小於160。全班有20位同學身高小於165，所以全班中位數落於160~165範圍內。選(C)。

---

2. 小明原有300元，圖(二)記錄了他今天所有支出，其中餅乾支出的金額被塗黑。若每包餅乾的售價為13元，則小明可能剩下多少元？

(A) 4  (B) 14  (C) 24  (D) 34

解：
        買三餐後，剩下 300-50-90-120=40元。
         若買一包餅乾，則剩下40-13=26元；買2包則剩下40-13X2=14；買3包則剩下 40-13X3 = 1。故選 (B)。

---

3. 解二元一次聯立方程式$\begin{cases}197x+4y=11\\ 197x=19-2y\end{cases}$，得y=？

(A) -4  (B) -4/3  (C) 5/3 (D) 5

解：

$\begin{cases}197x+4y=11\\ 197x=19-2y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 197x+4y=11\\ 197x+2y =19 \end{cases}$

上式減下式可得$2y=-8\Rightarrow y=-4,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

4. 已知甲、乙、丙三數，甲=$5+\sqrt{15}$，乙=$3+\sqrt{17}$，丙=$1+\sqrt{19}$，則甲、乙、丙的大小關係，下列何者正確？

(A) 丙<乙<甲  (B) 乙<甲<丙  (C) 甲<乙<丙 (D) 甲=乙=丙

解：

故選(A)。

---

5. 小美將某服飾店的促銷活動內容告訴小明後，小明假設某一商品的定價為x元，並列出關係式為0.3(2x-100)<1000，則下列何者可能是小美告訴小明的內容？
(A)買兩件等值的商品可減100元，再打3折，最後不到1000元耶！
(B)買兩件等值的商品可減100元，再打7折，最後不到1000元耶！
(C)買兩件等值的商品可打3折，再減100元，最後不到1000元耶！
(D)買兩件等值的商品可打7折，再減100元，最後不到1000元耶！
解：
由(2x-100)知: 買2件少100元，再乘0.3表打3折，所以選(A)。

---

6. 圖(三)是利用短除法求出三數8、12、18的最大公因數的過程。利用短除法，求出此三數h旳最小公倍數為何？
(A) 12  (B) 72  (C) 216  (D) 432

解：

最小公倍數=2x2x3x2x1x3=72，故選(B)

---

7.已知某公司去年的營業額為四千零七十億元，則此營業額可用下列何者表示？

解：

故選(C)

---

8. 圖(四)為製作果凍的食譜，傅媽媽想依此食譜內容製作六人份的果凍。若她加入50克砂糖後，不足砂糖可依比例換成糖漿，則她需再加幾小匙糖漿？
(A) 15  (B) 18  (C) 21  (D) 24

解：
依食譜，六人份果凍應需砂糖$20\times 6=120$克。已加入50克，尚需120-50=70克。
砂糖20克相當糖漿6小匙$\Rightarrow 20:6=70:y \Rightarrow  y=6\times 70/20=21$，故選(C)。

---

9.圖(五)的方格紙上有一平行四邊形ABCD，其頂點均在格線的交點上，且E點在AD上。今大華在方格紙格線的交點上任取一點F，發現△FBC的面積比△EBC的面積大。判斷下列哪一個圖形可表示大華所選取F點的位置？

解：

△FBC與△EBC有相同的底，所以要找比較長的高。

由上圖可知，當F點在最左時，有較長的高，故選(D)。

---

10. 小明將一正方形紙片畫分成16個全等的小正方形，且圖(六)為他將中四個小正方形塗成灰色的情形。若小明想再將一小正方形塗成灰色，使此紙片上的灰色區域成為線對稱圖形，則此小正方形的位置為何？

(A)第一列第四行   (B)第二列第一行

(C)第三列第三行   (D)第四列第一行

解：

故選(B)

---

11. 圖(七)的直線AE與四邊形ABCD的外接圓相切於A點。

(A) 64  (B) 65  (C) 67  (D) 68

解：
∠DAE=12，相對應的弧AD=12X2=24度，其它三弧為(360-24)/3=112度。
∠ABC=(弧AD+弧DC)/2=(24+112)/2=68度。故選(D)。

---

12. 一紙箱內有紅、黃、藍、綠四種顏色的紙牌，且圖(八)為各顏色紙牌數量的統計圖。若小華自箱內抽出一張牌，且每張牌被抽出的機會相等，則他抽出紅色牌或黃色牌的機率為何？

(A) 1/5  (B) 2/5  (C) 1/3  (D) 1/2

解：
由統計圖可知共有3(紅)+3(黃)+5(藍)+4(綠)=15張牌，紅色牌與黃色牌共有6張，所以抽中紅色或黃色牌的機率為6/15=2/5，故選(B)。

---

13. 計算$(-1000\frac{1}{5})\times(5-10)$之值為何？

(A) 1000  (B) 1001 (C) 4999  (D) 5001

解： $$(-1000\frac{1}{5})\times(5-10)=-\frac{5001}{5}\times(-5) = 5001,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

14. 下列四個選項中，哪一個為多項式 $8x^2-10x+2$的因式？

(A) 2x-2  (B) 2x+2  (C) 4x+1  (D)4x+2

解： $$8x^2-10x+2=2(4x^2-5x+1)=2(4x-1)(x-1)=(4x-1)(2x-2), 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

15. 如圖(九)，大、小兩圓的圓心均為O點，半徑分別為3、2，且A點為小圓上的一固定點。若大圓上找一點B，使得OA=AB，則滿足上述條件的B點共有幾個？

(A) 0  (B) 1  (C) 2  (D) 3

圖(九)

解：相當於以A為圓心，AO為半徑畫一圓，此圓與大圓相交於兩點B、C，故選(C)。

---

16. 如圖(十)，△ABC中，$\overline{AB}= \overline{AC}=17，\overline{BC} =16，M$是△ABC的重心，求$\overline{AM}$的長度為何？

(A) 8  (B) 10  (C) 17/2  (D) 289/30

解：

延長$\overline{AM}與\overline{BC}交於D$點，如下圖：

在直角$\triangle ADC$中，$\overline{AD}^2 +\overline{DC}^2 =\overline{AC}^2 \Rightarrow \overline{AD}^2+8^2=17^2\Rightarrow \overline{AD}=15$
因為M為重心，所以$\overline{AM}=\overline{AD} \times\frac{2}{3}=15\times\frac{2}{3}=10$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---

17. 圖(十一)為魔術師在小美面前表演的經過：

根據圖(十一)，假設小美在紙上寫的數字為x，魔術師猜中的答案為y，則下列哪一個圖形可以表示x、y的關係？

解：

由魔術師的指令可得 (3x+6)/3 - x = y，y=2，故選(B)。

---

18. 判斷下列哪一組的a、b、c，可使二次函數 $y=ax^2+bx+c-5x^2-3x+7$ 在座標平面上的圖形有最低點？

(A) a=0, b=4, c=8   (B) a=2, b=4, c=-8

(C) a=4, b=-4, c=8  (D) a=6, b=-4, c=-8

解：

$y=ax^2+bx+c-5x^2-3x+7=(a-5)x^2+(b-3)x+(c+7)$ 
二次函數有最低點(極小值)代表$x^2$的係數大於零，即$(a-5)>0$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

---

19. 圖(十二)數線上的A、B、C、D四點所表示數分別為a、b、c、d，且O為原點。根據圖中各點位置，判斷|a-c|之值與下列何者不同？

(A) |a|+|b|+|c|  (B) |a-b|+|c-b|

(C) |a-d|-|d-c|  (D) |a|+|d|-|c-d|

解：
可直接令a=-2, b=-1, c=1, d=2 代入各式計算，只有(A)的結果與其他不同，故選(A)。

---

20. 表(一)為某公司200名職員年齡的次數分配表，其中36~42歲及50~56歲的次數因汙損而無法看出。若36~42歲及50~56歲職員人數的相對次數分別為a%、b%，則a+b之值為何？

(A) 10  (B) 45  (C) 55  (D) 99
解：

假設36~42歲及50~56歲的次數合計為X，則X=200-(6+40+42+2)=200-90=110。X所佔的比重為X/200=110/200=55/100，相當於55%，故選(C)。

---

21.圖(十三)正六邊形$ABCDEF$的邊長為1，連接$\overline{AC}、\overline{BE}、\overline{DF}$，求圖中灰色四邊形的周長為何？

解：

---

22. 有一段樹幹為一直圓柱體，其底面積為9π平方公尺，高為15公尺。若將此樹幹分為兩段圓柱形樹幹，且體積比為2:1，則體積較大的樹幹，其側面的表面積為多少平方公尺？

(A)60π  (B)72π  (C) 84π  (D)96π

解：
底面積=9π → 半徑=3 → 圓周長=2x3xπ=6π 
體積比=2:1 → 高度比=2:1 → 大圓柱高=10
側面的表面積=大圓柱高x圓周長=10x6π=60π，故選(A)。

---

23. 計算$[(\frac{2}{3})^2]^3\times[(\frac{3}{2})^2]^2$之值為何？

解： $$[(\frac{2}{3})^2]^3\times[(\frac{3}{2})^2]^2= (\frac{2}{3})^6\times(\frac{3}{2})^4 = \frac{2^6\times 3^4}{3^6\times 2^4}=\frac{2^2}{3^2}=(\frac{2}{3})^2,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

24. 小華帶x元去買甜點，若全買紅豆湯圓剛好可買30杯，若全買豆花圓剛好可買40杯。已知豆花每杯比紅豆湯便宜10元，依題意可列出下列哪一個方程式？

解：

紅豆湯每杯賣x/30元，豆花每杯賣x/40元，所以x/40=(x/30)-10，選(A)。

---

25. 如圖(十四)，座標平面上直線L的方程式為3x-y=-3。若有一直線L'的方程式為y=a，則a的值在下列哪一個範圍時，L'與L的交點會在第二象限？

(A)1<a<2  (B)3<a<4  (C)-1<a<0  (D)-3<a<-2

解：

直線L與y軸交於(0,3)，與x軸交於(-1,0)，所以0<a<3，才能使L'與L交於第二象限。故選(A)。

---

26. 計算$\sqrt{114^2-64^2-50^2}$之值為何？

(A)0  (B)25  (C)50  (D)80

解： $$\sqrt{114^2-64^2-50^2}=\sqrt{114^2-50^2-64^2} =\sqrt{(114+50)(114-50)-64^2}=\sqrt{164\times 64-64^2}\\ =\sqrt{64(164-64)}=\sqrt{64\times 100}=\sqrt{8^2\times 10^2}=8\times 10=80,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

27. 圖(十五)為圖(十六)中三角柱$ABCEFG$的展開圖，其中$\overline{AE}、\overline{BF}、\overline{CG}、\overline{DH}$是三角柱的邊。若圖(十五)中，$\overline{AD} =10，\overline{CD}=2$，則下列何者可為$\overline{AB}$長度？

(A) 2  (B) 3  (C) 4  (D) 5

解：

圖(十五)中 CD=2 →圖(十六)AC=2

圖(十五)中 AD=10 →圖(十六) AB+BC+AC=10→AB+BC=8

若AB=2→BC=6, AB+AC=4<BC , 不合，兩邊之和應大於第三邊。

若AB=3→BC=5, AB+AC=5=BC , 不合，兩邊之和應大於第三邊。

若AB=5→BC=3, BC+AC=5=AB , 不合，兩邊之和應大於第三邊。

故選(C)。

---

28. 如圖(十七)，一圓桌周圍有20個箱子，依順時針方向編號1~20。小明在1號箱子中丟入一顆紅球後，沿著圓桌依順時針方向行走，每經過一個箱子就依下列規則丟入一顆球：

1.若前一個箱子丟紅球，經過的箱子就丟綠球。

2.若前一個箱子丟綠球，經過的箱子就丟白球。

3.若前一個箱子丟白球，經過的箱子就丟紅球。

已知他沿著圓桌走了100圈，求4號箱內有幾顆紅球？

(A)33  (B) 34  (C) 99  (D) 100

解：

三種色球，20個箱子，所以每60個箱子(每三圈)回到原始順序，且每個箱子都各有紅綠白三種色球各1顆。因此在第99圈後，每個箱子各有不同色球33個，計99顆球。第100圈的順序為紅綠白紅綠白...，第4號箱子新增一個紅球，所以共有34個紅球，故選(B)。

---

29. 如圖(十八)，梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90度，E點在CD上，且DE:EC=1:4。若AB=5，BC=4，AD=8，則四邊形ABCE的面積為何？

(A)24  (B)25  (C)26  (D)27

解：

梯形面積=(8+4)x5/2=30，△ABC面積=4X5/2=10，△ACD面積=30-10=20。

由於DE:EC=1:4=△AED:△ACE，△ACE= △ACDx4/5= 20X4/5= 16。

則四邊形ABCE的面積=△ABC+△ACE=10+16=26，故選(C)。

---

30. 有一個二次函數$y=x^2+ax+b$，其中a、b為整數。已知此函數在座標平面上的圖形與x軸交於兩點，且兩交點的距離為4。若此圖形的對稱軸為x=-5，則此圖形通過下列哪一點？

(A) (-6,-1)   (B) (-6, -2)   (C) (-6, -3)  (D) (-6, -4)

解：

假設圖形與X軸交於A、B兩點，C=(-5,0)。由於AB相距4，且C為中點，所以A=(-3,0)、B=(-7,0)。由A、B兩點代入函數，可得y=(x+3)(x+7)。當x=-6, y=(-3)(1)=-3，故選(C)。

---

31. 若一元二次方程式$x^2-2x-3599=0$的兩根為a、b，且a>b，則$2a-b$之值為何？

(A) -57  (B) 63  (C) 179  (D) 181

解：

故選(D)。

---

32. 如圖(十九)，邊長12的正方形$ABCD$中，有一個小正方形$EFGH$，其中E、F、G分別在$\overline{AB}、\overline{BC}、\overline{FD}$上。若$\overline{BF}=3$，則小正方形的邊長為何？

解：

$\overline{FC}=\overline{BC}-\overline{BF}=12-3=9$，因此直角三角形斜邊長$\overline{DF}^2= \overline{FC}^2 + \overline{CD}^2 =9^2+12^2=15^2\Rightarrow \overline{DF}=15$。

現在要證明△EBF與△FCD相似：∠B=∠C=90，∠EFB+∠DFC= 90 =∠DFC+∠FDC→∠EFB=∠FDC，因此兩三角形三對角均相等(AAA)，故相似。

所以$\frac{\overline{EF}}{\overline{BF}} =\frac{\overline{DF}}{\overline{DC}}\Rightarrow \frac{\overline{EF}}{3}=\frac{15}{12}\Rightarrow \overline{EF}=\frac{15}{12}\times 3=\frac{15}{4}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$。

---

33.

對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？

(A)兩人皆正確   (B) 兩人皆錯誤

(C)甲正確、乙錯誤  (D)甲錯誤、乙正確

解：

甲的作法中，平行線會均分線段BC，但不會均分弧BC，如上圖。乙的作法中，E點即為圓心，平行線將垂直平分線段BC，同時均分弧BC，如下圖。

所以選(D)。

---

34. 圖(廿一)的長方形ABCD中，E點在AD上，且BE=2AE。今分別以BE、CE為摺線，將A、D向BC的方向摺過去，圖(廿二)為對摺後A、B、C、D、E五點均在同一平面上的位置圖。若圖(廿二)中，∠AED=15度，則∠BCE的度數為何？

(A) 30  (B) 32.5  (C) 35  (D) 37.5

解：

$\overline{BE}=2\overline{A'E}\Rightarrow \triangle A'BE$三內角為$90^\circ-30^\circ-60^\circ$

又$\triangle BA'E$與$\triangle BAE$全等，所以$\triangle ABE$三內角也是$90^\circ-30^\circ-60^\circ$；

由題意知$\angle AED=15^\circ\Rightarrow \angle AFE=90-15=75^\circ=\angle BFG$

在$\triangle FGB中\Rightarrow \angle FGB=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ=\angle DGC\Rightarrow \angle DCG=15^\circ$

令$\angle BCE=a\Rightarrow \angle ECD'=90-a$,見上圖。

由於$\triangle CDE$與$\triangle CD'E$全等，所以$90-a=15+a\Rightarrow a=75/2=37.5$

故選(D)。

--- END ---