102學年四技二專統測--數學(S)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

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解： $$坐標為\left(\pm 4,\pm 3\right)$$ ，故選(A)。

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解： $$\frac{1}{2}+3d=\frac{7}{2}\Rightarrow d=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}, y=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\Rightarrow x+y=4$$ ,故選(B)。

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解： $$假設P坐標為\left(x,0\right)\Rightarrow \overline{PA}=\sqrt{\left({x-4}^2+4^2\right)}=2\sqrt{5}\Rightarrow x^2-8x+12=0\\ \Rightarrow (x-6)(x-2)=0\Rightarrow x=2 \quad or\quad x=6$$ ,故選(B)。

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解： $$\overline{AB}=\sqrt{{\left(-2-4\right)}^2+{\left(6+2\right)}^2} =\sqrt{36+64}=10\Rightarrow \overline{AB}=4,\overline{PB}=6$$ ,故選(A)。

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解： $$x=\frac{3}{2}代入多項式\Rightarrow 4\times{\left(\frac{3}{2}\right)}^3-7\times\left(\frac{3}{2}\right)+5=\frac{27}{2}-\frac{21}{2}+5=8$$ ，故選(D)。

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解： $$x=3代入多項式為0\Rightarrow 3^3-6\times 3^2+3k+21=0\Rightarrow 3k=6\Rightarrow k=2$$ ，故選(C)。

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解： $$x\left(4-x\right)=-5\Rightarrow x^2-4x-5=0\Rightarrow (x-5)(x+1)=0\Rightarrow x=5,-1$$ ，故選(C)。

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解：

$$斜率=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}, \overline{BC}<1且\overline{AB}>1\Rightarrow 斜率<1$$ ，故選(C)。

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解： $$\frac{\pi}{3}\Rightarrow 同界角=\frac{\pi}{3}+2\pi=60°+360°=420°$$ ，故選(D)。

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解：

由上圖可知sin17°=sin(180°-17°)=sin163°，故選(A)。

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解： $$-1\le\cos x\le 1\Rightarrow 0\le\left|\cos x\right|\le 1\Rightarrow 2\le\left|\cos x\right|+2\le3$$ ，故選(B)。

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解： $$P=\left(\frac{1-3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=\left(-1,3\right)\\ \Rightarrow P至直線距離= \left|\frac{-3-12}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=\frac{15}{5}=3$$ ，故選(B)。

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解： $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(1,2)+(1,1)=(2,3)\\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(1,2)\cdot (2,3)=2+6=8$$ ，故選(D)。

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解： $$\overrightarrow { AB } =-2\overrightarrow { AC } \Rightarrow \left( 2-1,-1-2 \right) =-2\left( a-1,b-2 \right) \Rightarrow \left( 1,-3 \right) =-2\left( a-1,b-2 \right) \\ \Rightarrow \begin{cases} -2(a-1)=1 \\ -2(b-2)=-3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=\frac { 1 }{ 2 }  \\ b=\frac { 7 }{ 2 }  \end{cases}\Rightarrow a+b=4$$ ，故選(C)。

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解： $${ a }^{ x }=\frac { \sqrt { { a }^{ 7 } }  }{ \sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 2 } }  } =\frac { { a }^{ \frac { 7 }{ 2 }  } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } } ={ a }^{ \frac { 7 }{ 2 } -\frac { 2 }{ 3 }  }={ a }^{ \frac { 17 }{ 6 }  }\Rightarrow x=\frac { 17 }{ 6 }$$ ，故選(A)。

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解： $$\log _{ 4 }{ \sqrt [ 3 ]{ 16 }  } =\log _{ 4 }{ \sqrt [ 3 ]{ { 4 }^{ 2 } }  } =\log _{ 4 }{ { 4 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } } =\frac { 2 }{ 3 }$$ ，故選(D)。

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解： $$圓方程式為{ \left( x-a \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-b \right)  }^{ 2 }={ r }^{ 2 }，其中r\neq 0為半徑\\ (C)x^2+y^2-2=-1\Rightarrow {(x-0)}^2+{(y-0)}^2=1^2$$ ，故選(C)。

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解： $$圓心至直線的距離=半徑\Rightarrow \left|\frac{-1}{\sqrt{2}}\right|=\sqrt{a} \Rightarrow a=\frac{1}{2}$$ ，故選(B)。

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解： $$\angle A:\angle B:\angle C=3:1:2\Rightarrow \angle A=3k,\angle B=k,\angle C=2k\\ 內角和=180，因此3k+k+2k=180\Rightarrow k=30\\ \Rightarrow \angle A=90°,\angle B=30°,\angle C=60°\\ \Rightarrow \overline { AC } :\overline { AB } :\overline { BC } =1:\sqrt { 3 } :2\\ \Rightarrow \frac { \overline { AB } +\overline { BC }  }{ \overline { AC } +\overline { BC }  } =\frac { \sqrt { 3 } +2 }{ 1+2 } =\frac { 2+\sqrt { 3 }  }{ 3 }$$ ，故選(D)。

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解： $${ \overline { AB }  }^{ 2 }-{ \overline { AC }  }^{ 2 }={ \overline { BC }  }^{ 2 }+\overline { AC } \overline { BC } \Rightarrow { \overline { AB }  }^{ 2 }={ \overline { AC }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }+\overline { AC } \overline { BC } \\ 餘弦定理可知{ \overline { AB }  }^{ 2 }={ \overline { AC }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }-2\overline { AC } \overline { BC } \cos { C } ,因此\\ { \overline { AC }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }+\overline { AC } \overline { BC } ={ \overline { AC }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }-2\overline { AC } \overline { BC } \cos { C } \\ \Rightarrow \cos { C } =\frac { -1 }{ 2 }$$ ，故選(B)。

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解：

$\left(3+1\right)\times\left(4+1\right)\times\left(6+1\right)=4\times 5\times 7=140$，故選(C)。

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解：
第1個數字不能為0，所以有5種排法；第2個數字在剩下的5個數字中任選，也有5種排法，依序有4、3、2、1種排法，總共有$5\times  5\times 4\times  3\times  2\times  1=600$種排法，但其中有兩個相同的數字，因此共可排出600/2=300個六位數，故選(B)。

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解：

$$A'_{ 1 }\cap A_{ 2 }\Rightarrow 右邊粉紅區域,A'_{ 2 }\cap A_{ 1 }\Rightarrow 左邊黃色區域,A_{ 1 }\cap A_{ 2 }\Rightarrow 中間重疊區域\\ A'_{ 1 }\cap A'_{ 2 }\Rightarrow 白色區域\Rightarrow P\left( A'_{ 1 }\cap A'_{ 2 } \right) =1-P\left( A'_{ 1 }\cap A_{ 2 } \right) -P\left( A'_{ 2 }\cap A_{ 1 } \right) -P\left( A_{ 1 }\cap A_{ 2 } \right) \\ =1-0.3-0.3-0.3=0.1$$ ，故選(A)。

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解：

B組樣本數值為A組的2倍加1，因此標準差為A組的兩倍，故選(B)。

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解：

第1位為7號、第2位為17號、第3位為27號，故選(D)。

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