104學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

先分科，在每科依簡單隨機抽樣，並非全體隨機抽樣，故選(C)。

---

解：

$$\vec { AB } =(-1-3,5-2)=(-4,3)\\ \vec { BC } =(9+1,-4-5)=(10,-9)\\ \vec { CA } =(3-9,2+4)=(-6,6)\\ \Rightarrow \vec { AB } +2\vec { BC } +3\vec { CA } =(-4,3)+2(10,-9)+3(-6,6)\\ =(-4,3)+(20,-18)+(-18,18)=(-2,3)$$

故選(A)。

---

解：

抽中白球的機率：8/10
抽中黃球的機率：2/10
期望值=50×(8/10)+100×(2/10) =  40+20 = 60，故選(B)。

---

解：

令f(x)=(x+2)p(x)-1，則
$$\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) f(x)+{ x }^{ 2 }+x+1\\ =\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) \left[ (x+2)p(x)-1 \right] +{ x }^{ 2 }+x+1\\ =\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) (x+2)p(x)-\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) +{ x }^{ 2 }+x+1\\ =\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) (x+2)p(x)-3{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+x$$

將x=-2代入上式，可得24+4-2=26，故選(D)。

---

5.  設七個實數a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆,a₇成等比數列，公比為r。若a₁+a₂=2且a₆+a₇=486，則r  =？

(A)  3    (B)  4    (C)  6    (D)  9

解：

令a₁=b,  則a₂ =br,  a₆=br⁵,  a₇=br⁶。
$$\begin{cases} { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }=2 \\ { a }_{ 6 }+{ a }_{ 7 }=486 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b+br=2 \\ b{ r }^{ 5 }+b{ r }^{ 6 }=486 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} b(1+r)=2 \\ b{ r }^{ 5 }(1+r)=486 \end{cases}\Rightarrow \frac { b(1+r) }{ b{ r }^{ 5 }(1+r) } =\frac { 2 }{ 486 } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { r }^{ 5 } } =\frac { 1 }{ 243 } \Rightarrow r=3$$
故選(A)。

---

6.  設a,b,c均為實數，且直線bx+cy=a通過第一、三、四象限，則直線ax+by=c可能為下列哪一個圖形？

解：

直線bx+cy=a通過第一、三、四象限，該直線為圖(B)。
當y=0時，x=a/b  > 0，即a與b同號；
當x=0時，y=a/c < 0，即a與c異號；
因此(a,b,c)=(+,+,-)或(-,-,+)。
考慮直線ax+by=c

當y=0時，x=c/a  < 0(由於a與c異號)；
當x=0時，y=c/b < 0(由於b與c異號)；
因此直線ax+by=c的圖形為(A)。

---

7.若直線L過點(2,1)及兩直線2x-y=4，x+3y=-5的交點，則直線的斜率為何？

(A)2      (B)3      (C)4        (D)5

解：

$$\begin{cases} 2x-y=4 \\ x+3y=-5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x-y=4 \\ 2x+6y=-10 \end{cases}\Rightarrow 7y=-14\\ \Rightarrow y=-2\Rightarrow 2x+2=4\Rightarrow x=1$$
兩直線的交點為(1,-2)；
過點(2,1)及(1,-2)直線的斜率為(-2-1)/(1-2)  =  -3/-1  = 3，故選(B)。

---

解：

由圖形可知sinθ=(-3/5)，cosθ=4/5
5sinθ+10cosθ=-3+8=5，故選(A)。

---

解：

a=sin150°=sin(-30°)=-1/2；
b=sec(-420°)=sec(-420°+360°)=sec(-60°)=1/cos(-60°)=2；
c=cot945°=cot(945°-360°-360°)=cot225°=cot45°=1；
因此b>c>a，故選(C)。

---

解：

$$\vec { a } \cdot \vec { b } =|\vec { a } ||\vec { b } |cos\theta =5\times 13\times \frac { 33 }{ 65 } =33$$
因此 $$\left( 4\vec { a } -\vec { b }  \right) \cdot \left( 2\vec { a } +\vec { b }  \right) =8{ \left| \vec { a }  \right|  }^{ 2 }+2\vec { a } \cdot \vec { b } -{ \left| \vec { b }  \right|  }^{ 2 }\\ =8\times { 5 }^{ 2 }+2\times 33-{ 13 }^{ 2 }=200+66-169=97$$
故選(C)。

---

解：

該項係數為9×3+(-5)×4  =  27-20 =7，故選(C)。

---

解：

(A)  當x為正值時，x2+7x+9>0，無正實數解。
(C)log(x+1)=-1➱x+1=0.1➱x=-0.9
(D)正弦值介於1與-1之間，不會大於1

故選(B)。

---

解：

$$\quad \quad log7.2=log\frac { 72 }{ 10 } =log72-log10=log(9\times 8)-log10\\ =log9+log8-log10=2log3+3log2-log10\\ =2\times 0.4771+3\times 0.301-1=0.9542+0.903-1\\ =0.8572$$

故選(B)。

---

解：

$$-\frac { 1 }{ 2 } \le x\le 5\Rightarrow (x-5)(x+\frac { 1 }{ 2 } )\le 0\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 2 } x-\frac { 5 }{ 2 } \le 0\Rightarrow -2{ x }^{ 2 }+9x+5\ge 0\\ \Rightarrow -\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 2 }+3x+\frac { 5 }{ 3 } \ge 0\\ \Rightarrow (a,b)=(-\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 5 }{ 3 } )\\ \Rightarrow 3a+6b=-2+10=8$$

故選(D)。

---

解：

$$\begin{cases} x+y=9 \\ x-3y=5 \end{cases}\Rightarrow (x,y)=(8,1)$$
兩直線的交點即為B點，如下圖：

四邊形OABC即是所圍區域，其面積相當於△AOD減去△BOD
△AOD=OD×OA÷2  =  9×9÷2  = 81/2
△BOD=4×1÷2  =  2
四邊形OABC面積 =81/2 -2  = 77/2，故選(A)

---

16. 設a為實數，且直線3x+4y+1=0與圓(x-a)²+y²=4沒有交點，則a可能為下列哪一個數？

(A)  -3        (B)  -2      (C)  3      (D)  4

解：

該圓的圓心為(a,0)，即圓心在X軸上；半徑為2。
由於直線為無限延伸，因此只要檢查最左邊的圓與最右邊的圓與直線是否有交點。

A(-3,0)至直線距離為 |-9+0+1|/5 =  8/5  <  2⇒直線與圓有交點；
D(4,0)至直線距離為 |12+0+1|/5 =  13/5 >  2⇒直線與圓沒交點；

故選(D)。

---

17. 從7位男生、3位女生中，任選4人到醫院實習。若此4人中至少有1位女生，則共有多少種選取的方式？

(A) 95     (B) 135    (C) 175    (D) 215

解：

男女人數有以下三種可能：
3男1女→7!/(3!4!)×3=35×3=105
2男2女→7!/(2!5!)×3=21×3=63
1男3女→7×1=7
共有105+63+7 =175種可能，故選(C)。

---

18.  某班學生期中考成績的平均分數為42分、標準差為6分。若將每位學生的原始成績都乘以同一個數a後再加4，使得調整後的平均分數為60分，則調整後的標準差為幾分？

(A)  6      (B)   8      (C)  10      (D)  12

解：

平均分數變化與分數調整公式相同，即

42×a+4  = 60 ⇒ a=4/3
標準差隨倍數連動，與加減分無關，因此標準差變為6×4/3=8，故選(B)。

---

19.  某校對全體新生進行一項邏輯推理的測驗，其成績呈常態分配，如圖(一)所示，平均數μ為62分、標準差σ為8分。若成績低於70分的學生有672人，則成績介於54分到78分的學生約有多少人？

(A)  600     (B)  620    (C)  638    (D)  652

解：

此圖形與x軸所圍的面積即為全班人數，假設為N。
依標準差將此圖形垂直分割成a,  b,  c,  d  共八塊(常態分配圖形為左右對稱)，如下圖

2a占全部份的68%⇒2a=0.68N⇒a=0.34N
2a+2b占全部份的95%⇒2(a+b)=0.95N⇒b=0.135N
2c+2d占全部份的5%⇒2(c+d)=0.05N⇒c+d=0.025N
低於70分的學生有672人⇒2a+b+c+d=(0.68+0.135+0.025)N = 672 ⇒ 0.84N=672 ⇒ N=800。
介於54分到78分的人數=2a+b = (0.68+0.135)N = 0.815N = 652，故選(D)。

---

解：

令外接圓半徑為r，
∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-120°-150°=90°⇒△AOC為等腰直角⇒n=√2r
在△AOB中，利用餘弦定理AB²=AO²+BO²-2AOBOcos120°  ⇒ m²=r²+r²-2r²(-1/2)=  3r² ⇒ m=√3r
m/n = √3/√2 = √6/2，故選(D)。

---

解：

由兩切點可知圓心座標為(8,6)，並可知半徑為4，故選(A)。

---

解：

兩根之和=1/3⇒sinθ+cosθ=1/3
兩根之積=a/3⇒sinθcosθ=a/3

(sinθ+cosθ)²=sinθ²+cosθ²+2sinθcosθ ⇒ 1/9=1+2a/3 ⇒ a=-4/3，故選(A)。

---

(A)5√3/14   (B)15√3/14    (C)  35√3/2    (D)  105√3/2

解：

由餘弦定理可知  AB²=AC²+BC²-2ACBCcos120° = 9+25+15 = 49 ⇒ AB = 7。
令BD=a及CD=h，則 h²=5²-a² = 3²-(7-a)² ⇒
 25-a² = 9-(49-14a+a²) ⇒ a=65/14 

h²=5²-a² = 25 - 4225/196 = 675/196 ⇒ h = 15√3/14，故選(B)。

---

24. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列。若甲、乙、丙三人相鄰，且丙介於甲、乙之間，則此六人共有多少種排法？

(A)  42    (B)  44    (C) 46    (D)  48

解：

甲乙丙三人有兩種排法：甲丙乙及乙丙甲。
將甲乙丙三人視為一人，則原來六人視為四人，則此四人有4! =24種排法，因此共有24×2=48種排法，故選(D)。

---

25. 從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數中，任取相異的三個數，若每個數被取到的機會均等，則此三數的和為奇數的機率為何？

(A)  5/42     (B) 5/14    (C)  10/21   (D) 9/14

解：

三數的和為奇數必須是三個都是奇數或者一個奇數與兩個偶數。
奇奇奇的次數=5個奇數任取3個共有5!/(3!2!)=10種取法
1奇2偶的次數=5個奇數任取1個×4個偶數任取2個= 5×(4!/2!2!)  =  5×6  = 30
以上兩種情況共有10+30=40種取法
9個數字任取3個共有9!/(3!6!) = 84種取法
因此三數和為奇數的機率為40/84 = 10/21，故選(C)。

--END--

---