104學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

$$-5\le x\le 3\Rightarrow (x+5)(x-3)\le 0\Rightarrow { x }^{ 2 }+2x-15\le 0\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+2x\le 15\Rightarrow a=2,b=15\Rightarrow a+b=17$$ ，故選(D)。

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解：
恆在x軸上方代表y值>0。
當x=0時，(B)=-1
當x=1時，(C)=1-5+3=-1；(D)=3+1-5=-1
因此(B)(C)(D)不符條件，故選(A)。

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解：
全部33位遊客⇒7+a+1+b+5+1=33⇒a+b=19
中位數為32代表小於32歲的人數與大於32歲的人數相同，即
7+a=b+5+1⇒a+1=b，將此結果代入a+b=19可得2a+1=19⇒a=9,b=10。
因此遊客人數最多的是54歲，該年齡的遊客有10人，故選(C)。

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解：
$$\begin{cases} 2x+3y=-4 \\ 3x-4y=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 6x+9y=-12 \\ 6x-8y=10 \end{cases}\Rightarrow 17y=-22\\ \Rightarrow y=\frac { -22 }{ 17 } ,x=\frac { -1 }{ 17 } \Rightarrow x+y=\frac { -23 }{ 17 }$$ ，故選(A)。

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5.  將(x⁴-3x³+2x-5)(x³-2)(x+3)乘開化簡後，x³項的係數為何？

(A)  -5     (B)  -3     (C) 3      (D) 5

解：

x³項的係數=(-3)×(-2)×3+(-5)×1×3  =  18-15=3，故選(C)。

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$$6. 已知\sin { \theta  } =\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ 2 } ,則\frac { \sin { \theta  }  }{ 1+\cos { \theta  }  } +\frac { \sin { \theta  }  }{ 1-\cos { \theta  }  } =?$$
解：
$$\frac { \sin { \theta  }  }{ 1+\cos { \theta  }  } +\frac { \sin { \theta  }  }{ 1-\cos { \theta  }  } =\frac { \sin { \theta  } (1-\cos { \theta  } ) }{ 1-\cos ^{ 2 }{ \theta  }  } +\frac { \sin { \theta  } (1+\cos { \theta  } ) }{ 1-\cos ^{ 2 }{ \theta  }  } \\ =\frac { \sin { \theta  } (1-\cos { \theta  } ) }{ \sin ^{ 2 }{ \theta  }  } +\frac { \sin { \theta  } (1+\cos { \theta  } ) }{ \sin ^{ 2 }{ \theta  }  } =\frac { 1-\cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  }  } +\frac { 1+\cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  }  } \\ =\frac { 2 }{ \sin { \theta  }  } =2\times \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } -1 } =4\times \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2 } =2(\sqrt { 3 } +1)$$ ，故選(C)。

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$$7. 若\sin { \theta  } =\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ 2 } ,則\sqrt { 2-2\cos { 2\theta  }  } =?$$
$$(A)\frac { 1 }{ 3 } \quad \quad (B)\frac { \sqrt { 2 }  }{ 3 } \quad \quad (C)\frac { 2 }{ 3 } \quad \quad (D)\frac { 2\sqrt { 2 }  }{ 3 }$$ 解：
$$\sqrt { 2-2\cos { 2\theta  }  } =\sqrt { 2-2\left( \cos ^{ 2 }{ \theta  } -\sin ^{ 2 }{ \theta  }  \right)  } =\sqrt { 2-2\left( 1-2\sin ^{ 2 }{ \theta  }  \right)  } \\ =\sqrt { 2-2\left( 1-2\times \frac { 1 }{ 9 }  \right)  } =\sqrt { 2-\frac { 14 }{ 9 }  } =\sqrt { \frac { 4 }{ 9 }  } =\frac { 2 }{ 3 }$$ ，故選(C)。

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8. 已知平面上四點座標為A(57,23)、B(7,-2)、C(5,12)、D(x,y)。
$$若向量\overrightarrow { AD } =\frac { 7 }{ 4 } \overrightarrow { AB } -\frac { 3 }{ 4 } \overrightarrow { AC } ,\quad 則x+y=?$$

(A) -4     (B) -2    (C)  2    (D)  4

解：
由題意可知：
$$\overrightarrow { AD } =\left( x-57,y-23 \right) ,\overrightarrow { AB } =\left( 7-57,-2-23 \right) =\left( -50,-25 \right) ,\\ \overrightarrow { AC } =\left( 5-57,12-23 \right) =\left( -52,-11 \right) \\ \overrightarrow { AD } =\frac { 7 }{ 4 } \overrightarrow { AB } -\frac { 3 }{ 4 } \overrightarrow { AC } \Rightarrow \left( x-57,y-23 \right) \\ =\frac { 7 }{ 4 } \left( -50,-25 \right) -\frac { 3 }{ 4 } \left( -52,-11 \right) =\left( \frac { -194 }{ 4 } ,\frac { -142 }{ 4 }  \right) \\ \Rightarrow \left( x-57,y-23 \right) =\left( \frac { -97 }{ 2 } ,\frac { -71 }{ 2 }  \right) \\ \Rightarrow x=\frac { -97 }{ 2 } +57=\frac { 17 }{ 2 } ,y=\frac { -71 }{ 2 } +23=\frac { -25 }{ 2 } \\ \Rightarrow x+y=\frac { 17 }{ 2 } -\frac { 25 }{ 2 } =\frac { -8 }{ 2 } =-4$$ ，故選(A)。

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解：
(2+i)(a+bi) =  2a+2bi+ai-b  =  2a-b+(a+2b)i  =  15+5i
⇒2a-b=15且a+2b=5⇒a=7,b=-1⇒a+b=6，故選(B)。

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解：
八個數字任取3個，共有8!/(5!3!) = 56種取法。
將八個字分成兩組，第1組包含7、8兩個數字，其他6個數字皆屬第2組。
第1組至少要取出1個數，其他皆由第2組取出，因此有以下幾種情況
第1組取7，第2組任取2個數字，共有6!/(4!2!)=15種取法
第1組取8，第2組任取2個數字，共有6!/(4!2!)=15種取法
第1組取7及8，第2組任取1個數字，共有6種取法
以上共有15+15+6=36種取法，其機率為36/56=9/14，故選(D)。

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解：

先求出三條直線的交點A、B、C，再將此三點代入目標函數，找出最大值與最小值

$$\begin{cases} 2x-y=0 \\ x-4y=0 \end{cases}\Rightarrow A(0,0)\\ \begin{cases} x+3y=7 \\ x-4y=0 \end{cases}\Rightarrow B(4,1)\\ \begin{cases} 2x-y=0 \\ x+3y=7 \end{cases}\Rightarrow C(1,2)$$

f(A)=-2、f(B)=8-3-2=3、f(C)=2-6-2=-6

因此最大值為3、最小值為-6，兩者相加等於-3，故選(B)。

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解：
$$\frac { \sqrt { 2+h } -\sqrt { 2-h }  }{ h } =\frac { \left( \sqrt { 2+h } -\sqrt { 2-h }  \right) \left( \sqrt { 2+h } +\sqrt { 2-h }  \right)  }{ h\left( \sqrt { 2+h } +\sqrt { 2-h }  \right)  } \\ =\frac { \left( 2+h \right) -\left( 2-h \right)  }{ h\left( \sqrt { 2+h } +\sqrt { 2-h }  \right)  } =\frac { 2h }{ h\left( \sqrt { 2+h } +\sqrt { 2-h }  \right)  } \\ =\frac { 2 }{ \sqrt { 2+h } +\sqrt { 2-h }  } \\ \Rightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 2+h } -\sqrt { 2-h }  }{ h }  } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 2 }{ \sqrt { 2+h } +\sqrt { 2-h }  }  } \\ =\frac { 2 }{ \sqrt { 2 } +\sqrt { 2 }  } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }$$ ，故選(D)。

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解：
$$\int _{ -3 }^{ 3 }{ \left( 1-2x \right) \left( 1+2x \right) dx } =\int _{ -3 }^{ 3 }{ 1-4{ x }^{ 2 }dx } =x-\frac { 4 }{ 3 } { x }^{ 3 }{ | }_{ -3 }^{ 3 }\\ =\left( 3-\frac { 4 }{ 3 } \times 27 \right) -\left( -3-\frac { 4 }{ 3 } \times \left( -27 \right)  \right) =-33-33=-66$$ ，故選(A)。

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解：
$$m\log _{ 500 }{ 5 } +n\log _{ 500 }{ \sqrt { 2 }  } =1\Rightarrow \log _{ 500 }{ { 5 }^{ m } } +\log _{ 500 }{ { 2 }^{ \frac { n }{ 2 }  } } =1\\ \Rightarrow \lim _{ 500 }{ { 5 }^{ m }\times { 2 }^{ \frac { n }{ 2 }  } } =1\Rightarrow { 5 }^{ m }\times { 2 }^{ \frac { n }{ 2 }  }=500={ 5 }^{ 3 }\times { 2 }^{ 2 }\\ \Rightarrow m=3,n=4\Rightarrow m+n=7$$ ，故選(A)。

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解：

∠OAC=45°⇒△OCA為等腰直角⇒OA=OC=h

∠OBC=60°⇒OB=h/(√3)

由於B點在南60°西方向，所以∠AOB=90°+60°=150°

利用餘弦定理⇒AB²=OA²+OB²-2OAOcos150°

⇒500²=h²+(h/√3)²-2h×h/(√3)×(√3/2)

⇒500²=(7/3)h²⇒h=500×√3/√7=500×√(21/7

故選(B)。

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解：
P為直線L上一點，將P代入L⇒3a-4=2⇒a=2
兩線垂直，其斜率相乘=-1。
線段PQ的斜率: (b-1)/(-1-a) = (b-1)/(-3)
直線L斜率: 3x-4y=2⇒y=(3/4)x-(1/2)⇒斜率=3/4
兩直線斜率相乘[(b-1)/(-3)]×(3/4)=-1⇒b=5
a+b=2+5=7，故選(A)。

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解：
考慮x³係數⇒a=2；

當x=-1時：-2+1+5-3=d⇒d=1；

當x=0時：-3=a+b+c+d⇒b+c=-6 ---------------------(1)

當x=1時：2+1-5-3=8a+4b+2c+d⇒2b+c=-11-------(2)

由(1)及(2)可求得b=-5,  c=-1，因此abcd=2×(-5)×(-1)×1=10，故選(C)。

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解：
令公比為r，則b=ar、c=ar²、d=ar³。
由於a+b=20，所以a+b+c+d=65⇒c+d=45
$$\begin{cases} a+b=20 \\ c+d=45 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+ar=20 \\ { ar }^{ 2 }+{ ar }^{ 3 }=45 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a\left( 1+r \right) =20 \\ a{ r }^{ 2 }\left( 1+r \right) =45 \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { a\left( 1+r \right)  }{ a{ r }^{ 2 }\left( 1+r \right)  } =\frac { 20 }{ 45 } \Rightarrow \frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } =\frac { 4 }{ 9 } \Rightarrow r=\frac { 3 }{ 2 } \\ \Rightarrow a\left( 1+\frac { 3 }{ 2 }  \right) =20\Rightarrow a=8$$ ，故選(D)。

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解：
$$25{ x }^{ 2 }+16{ y }^{ 2 }-100x+32y-284=0\\ \Rightarrow 25\left( { x }^{ 2 }-4x+4 \right) +16\left( { y }^{ 2 }+2y+1 \right) -100-16-284=0\\ \Rightarrow 25{ \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+16{ \left( y+1 \right)  }^{ 2 }=400\\ \Rightarrow \frac { { \left( x-2 \right)  }^{ 2 } }{ 16 } +\frac { { \left( y+1 \right)  }^{ 2 } }{ 25 } =1$$
由上式可知 中心座標(2,-1), 長軸a=5,  短軸b=4 
 ⇒c=3⇒焦點座標 (2, -1±3)⇒(2,2)在第一象限，(2,-4)在第四象限，故選(D)。

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解：
P在圖形上⇒f(1)=5⇒a+b=5......(1)
f(x)=ax²+bx⇒f'(x)=2ax+b
由題意知f'(1)=3，即2a+b=3.....(2)
由式(1)及(2)可得a=-2, b=7
因此f'(2)=4a+b = -8+7=-1，故選(B)。

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解：
陰影部份介於上方直線與下方曲線之間，面積可由「直線方程式」減去「曲線方程式」，即1-(-x²/2+x+1/2)  =  x²/2-x+1/2，故選(D)。

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$$22. 若行列式\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } & { c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { b }_{ 3 } & { c }_{ 3 } \end{vmatrix}=2,則\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { c }_{ 1 }+a_{ 1 } & { { b }_{ 1 }-2c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 }+a_{ 2 } & { { b }_{ 2 }-2c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 }+a_{ 3 } & { { b }_{ 3 }-2c }_{ 3 } \end{vmatrix}=?$$

(A) -4    (B)  -2    (C) 2    (D)  4

解：
行列式中任二列相同，其值為零；任二列交換，其值正負號改變。
$$\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { c }_{ 1 }+a_{ 1 } & { { b }_{ 1 }-2c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 }+a_{ 2 } & { { b }_{ 2 }-2c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 }+a_{ 3 } & { { b }_{ 3 }-2c }_{ 3 } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & a_{ 1 } & { { b }_{ 1 }-2c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & a_{ 2 } & { { b }_{ 2 }-2c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & a_{ 3 } & { { b }_{ 3 }-2c }_{ 3 } \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { c }_{ 1 } & { { b }_{ 1 }-2c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 } & { { b }_{ 2 }-2c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 } & { { b }_{ 3 }-2c }_{ 3 } \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { c }_{ 1 } & { { b }_{ 1 }-2c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 } & { { b }_{ 2 }-2c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 } & { { b }_{ 3 }-2c }_{ 3 } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { c }_{ 1 } & { -2c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 } & { -2c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 } & { -2c }_{ 3 } \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { c }_{ 1 } & { { b }_{ 1 } } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 } & { { b }_{ 2 } } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 } & { { b }_{ 3 } } \end{vmatrix}\\ =-2\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { c }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 } & { c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 } & { c }_{ 3 } \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { c }_{ 1 } & { { b }_{ 1 } } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 } & { { b }_{ 2 } } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 } & { { b }_{ 3 } } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { c }_{ 1 } & { { b }_{ 1 } } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 } & { { b }_{ 2 } } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 } & { { b }_{ 3 } } \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} { { a }_{ 1 } } & { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } & { c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { b }_{ 3 } & { c }_{ 3 } \end{vmatrix}=-2$$ ，故選(B)。

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解：
$$\begin{cases} { 3 }^{ a }=5 \\ { 5 }^{ b }=9 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=\log _{ 3 }{ 5 }  \\ b=\log _{ 5 }{ 9 }  \end{cases}\\ \Rightarrow ab=\log _{ 3 }{ 5 } \times \log _{ 5 }{ 9 } =\frac { \log { 5 }  }{ \log { 3 }  } \times \frac { \log { 9 }  }{ \log { 5 }  } \\ =\frac { \log { 9 }  }{ \log { 3 }  } =\frac { 2\log { 3 }  }{ \log { 3 }  } =2$$ ，故選(C)。

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24. 已知三角形的三邊長分別為3公分、3公分、4公分，則此三角形之外接圓半徑為何？

(A) 2√5/5     (B)  3√5/5    (C) 7√5/10    (D)  9√5/10

解：

假設圓心在O點，半徑為r，如下圖

由於三角形為等腰，所以圓心在BC的中垂線上。
DC=BC/2 =  4/2  =2
在直角三角形ADC中，AC²=AD²+DC²⇒9=AD²+4⇒AD=√5
在直角三角形ODC中，OC²=OD²+DC²⇒r²=(AD-OA)²+4
⇒r²=(√5-r)²+4  ⇒ r²=(5-2√5r+r²)+4  ⇒r=9/(2√5) = 9√5/10，故選(D)。

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25. 將6顆相同紅球分給三個人且全部分完，若每人至少分到一顆紅球，則共有多少種分法？

(A)6     (B)  10    (C)  20    (D) 27

解：
先將三顆紅球分給每一個人
剩下三顆紅球任意分給三個人，相當於將三個球分成三堆，每一堆球數沒有限制，可分成(0,0,3)、(1,1,1)、(0,1,2)，
而(0,0,3)有三種，即(0,0,3)、(0,3,0)、(3,0,0)
(1,1,1)只有一種；(0,1,2)有六種排列，所以共有3+1+6=10種分法，故選(B)。

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