102學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：
$$a=\sqrt [ 3 ]{ 9 } =\sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 2 } } ={ 3 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }\\ b=\sqrt { 3\sqrt { 3 }  } =\sqrt { 3\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } =\sqrt { { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } } ={ 3 }^{ \frac { 3 }{ 4 }  }\\ c=\sqrt [ 5 ]{ 81 } =\sqrt [ 5 ]{ { 3 }^{ 4 } } ={ 3 }^{ \frac { 4 }{ 5 }  }\\ \because \frac { 4 }{ 5 } >\frac { 3 }{ 4 } >\frac { 2 }{ 3 } \therefore c>b>a$$ ，故選(A)。

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解：
向量AB與向量BC的夾角為120度(向量AB與向量AC的夾角才是60度)
$$\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { BC } =\left| \overrightarrow { AB }  \right| \left| \overrightarrow { BC }  \right| \cos { \theta  } \Rightarrow 9\times 9\times \cos { 120° } =-\frac { 81 }{ 2 }$$ ，故選(A)。

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解：
tanA=BC/CA⇒5/12=10/CA⇒CA=24
AB²=AC²+BC²⇒AB²=24²+10²=676=26²⇒AB=26
周長=10+24+26=60
，故選(D)。 

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解：
$${ P }_{ 3 }^{ 2n }=20\times { P }_{ 2 }^{ n }\Rightarrow \frac { \left( 2n \right) ! }{ \left( 2n-3 \right) ! } =20\times \frac { n! }{ \left( n-2 \right) ! } \\ \Rightarrow 2n\times \left( 2n-1 \right) \times \left( 2n-2 \right) =20\times n\times \left( n-1 \right) \\ \Rightarrow 4n\times \left( n-1 \right) \times \left( 2n-1 \right) =20\times n\times \left( n-1 \right) \\ \Rightarrow 2n-1=5\Rightarrow n=3$$ ，故選(B)。

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解：

1-85/20=95.75，故選(B)。 

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6. 設一個次數不小於3之多項式f(x)，以x+2除之餘-6，以x-3除之餘9。若以(x+2)(x-3)除f(x)所得餘式為r(x)，則r(1)之值為何？

(A)-6     (B)0      (C)3      (D)9

解：
令r(x)=ax+b,  則f(x)=p(x)(x+2)(x-3)+ax+b
f(-2)=-6，即-2a+b=-6
f(3)=9，即3a+b=9
 解上述兩式可得a=3,b=0
因此r(1)=a+b=3+0=3，故選(C)。

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$$7.若\theta 為一銳角，且a=\sin { \frac { \theta  }{ 3 }  } ,b=\cos { \left( \frac { \theta  }{ 3 } +\frac { \pi  }{ 2 }  \right)  }, c=\tan { \frac { \theta  }{ 3 }  } ，\\則下列何者正確?$$ (A)b<c<a     (B)a<b<c     (C)c<b<a    (D)b<a<c
解：
由於θ為一銳角，所以c>a>0；
又cos(θ+90°)<0，故選(D)。

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8.設A(-2,1)、B(1,3)、C(1,-1)為△ABC的三個頂點。若直線L經A過點，且L等分△ABC的面積，則直線L的方程式為何？
(A)y=1       (B)y=2        (C)x+2y=1      (D)x-2y=3
解：

A點不經過選項(B)與(C)的直線；
直線y=1均分線段BC，故選(A)。

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9. 有一棟大樓在下午2時太陽照射的影子(如圖(一)之線段BC)長為25公尺，此時從大樓的影子端(即C點)，測得大樓頂端的光線與地平面所成之夾角(∠BCA)為60°。若已知在下午2時與4時，太陽從大樓頂端射出的光線夾角  (∠CAD)為30°。則在下午4時，此大樓的影子(如圖(一)之線段BD)長為多少公尺？

在△ABC中，AB=BC×√3=25√3
在△ABD中，BD=25√3×√3=75，故選(C)。

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解：
$$\log _{ \frac { 2 }{ 3 }  }{ \left( 2x-8 \right)  } >1+\log _{ \frac { 2 }{ 3 }  }{ \left( x+6 \right)  } =\log _{ \frac { 2 }{ 3 }  }{ \frac { 2 }{ 3 } \left( x+6 \right)  } \\ \Rightarrow \left( 2x-8 \right) <\frac { 2 }{ 3 } \left( x+6 \right) \Rightarrow 6x-24<2x+12\Rightarrow x<9$$
由於2x-8>0，即x>4，故選(B)。

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解：

該區域為一菱形, 由四個相同的三角形組成
面積=(2×1÷2)×4 =4，故選(B)。

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解：
$$\cot { \alpha  } +\cot { \beta  } =\frac { 3 }{ 2 } ,\cot { \alpha  } \cot { \beta  } =-3\\ { \left( \cot { \alpha  } +\cot { \beta  }  \right)  }^{ 2 }=\cot ^{ 2 }{ \alpha  } +\cot ^{ 2 }{ \beta  } +2\cot { \alpha  } \cot { \beta  } \\ \Rightarrow \frac { 9 }{ 4 } =\cot ^{ 2 }{ \alpha  } +\cot ^{ 2 }{ \beta  } -6\Rightarrow \cot ^{ 2 }{ \alpha  } +\cot ^{ 2 }{ \beta  } =\frac { 33 }{ 4 }$$ ，故選(D)。

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(A)甲廠0天，乙廠10天       (B)甲廠1天，乙廠6天
 (C)甲廠15天，乙廠0天        (D)甲廠3天，乙廠4天
解：
甲：10A+20B
乙：30A+10B
假設甲工廠要m天及乙工廠n天完成150台A車及100台B車，即
10m+30n=150
20m+10n=100
可求得m=3, n=4，故選(D)。

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$$14.設a和b均為實數，若不等式a{ x }^{ 2 }+bx-5<0的解為\quad \frac { -3 }{ 2 } <x<\frac { 5 }{ 3 } ,\\則a+b=?\\ (A)\frac { 5 }{ 3 } \quad \quad (B)\frac { 7 }{ 3 } \quad \quad (C)5\quad \quad \quad (D)7$$
解：
$$\frac { -3 }{ 2 } <x<\frac { 5 }{ 3 } \Rightarrow \left( x-\frac { 5 }{ 3 }  \right) \left( x+\frac { 3 }{ 2 }  \right) <0\Rightarrow { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 6 } x-\frac { 5 }{ 2 } <0\\ \Rightarrow { 2x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } x-5<0\Rightarrow a=2,b=-\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow a+b=\frac { 5 }{ 3 }$$ ，故選(A)。

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15.若氣象局最初發佈某一颱風圈其外緣以圓方程式表示：x²+y²+4x-6y-3=0，因受大氣環流影響，經過數小時後颱風中心(即圓心)坐標(h,k)向西和向北各移動一單位(即新圓心坐標為(h-1,k+1))，且暴風半徑增為原來的1.5倍，問新暴風圈外緣之圓方程式為何？
(A)x²+y²+6x-8y+1=0         (B)x²+y²+6x-8y-11=0
(C)x²+y²+2x-4y-19=0         (D)x²+y²+2x-4y-31=0
解：
原方程式x²+y²+4x-6y-3=0，即(x+2)²+(y-3)²=4²，其半徑為4；
新方程式(x+3,y-4)²=(4×1.5)²，即x²+y²+6x-8y-11=0
，故選(B)。 

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解：
當P=(0,-1)時，P在圓上也在直線上，因此m=0
假設P=(cosθ,sinθ)，P至L的距離為(3cosθ+4sinθ+4)/5
由於3cosθ+4sinθ的最大值為√(3²+4²)=5
最大值M=(5+4)/5=9/5=1.8，故選(C)。

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解：
500×(100/125)+1000×(20/125)+10000×(4/125)+20000×(1/125)
=(50000+20000+40000+20000)/125  =  130000/125 = 1040，故選(C)。

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解：
成績由小至大：60,75,78,80,80,95
眾數：出現最多的數字⇒80
全距：最大-最小=95-60=35
中位數：第3與第4的平均=(78+80)/2=79
算數平均數：(60+75+78+80+80+95)/6 = 468/6=78
，故選(D)。

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解：
$$\log _{ 2 }{ \left( \frac { \cos { 30° } -\tan { 45° }  }{ \tan { 60° } -2\cot { 45° }  }  \right)  } =\log _{ 2 }{ \left( \frac { \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } -1 }{ \sqrt { 3 } -2 }  \right)  } =\log _{ 2 }{ \left( \frac { \frac { \sqrt { 3 } -2 }{ 2 }  }{ \sqrt { 3 } -3 }  \right)  } \\ =\log _{ 2 }{ \frac { 1 }{ 2 }  } =-1$$
，故選(A)。 

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解：
令x⁴-3ax²+bx+4=(x²+x+2)(x²+mx+n)
當x=0⇒4=2n⇒n=2
x³係數為0⇒m+1=0⇒m=-1
因此x⁴-3ax²+bx+4=(x²+x+2)(x²-x+2)⇒a=-1,b=0
，故選(C)。

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解：
令S₁=7+10+13+...(7+32×3)=(7+103)×33/2=1815
令S₂=(8-9)+(11-12)+(14-15)...(104-105)=(-1)×33=-33
S₁+S₂=1815-33=1782，故選(B)。

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(A)x≤45         (B)45≤x≤47.5    (C)52.5≤x≤55     (D)x≥57.5
解：

(A)x≤45 =μ-2σ，佔全部的(1-13.5%-34%-34%-13.5%)/2=2.5%
(B)=(C)=13.5%
(D)57.5公克=μ+3σ，佔全部的(1-99.7%)/2=0.15%
，故選(D)。

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23. 若一元二次實係數方程式x²+2kx-k+6=0的兩根均為負數，則k可能為下列哪一個值？

(A)1/2     (B)3/2      (C)11/2       (D)13/2

解：
方程式有兩根，其判別式>0，即4k²-4(6-k)>0⇒(k+3)(k-2)>0⇒k>2, k<-3；
兩根均為負數，兩根相加為負數且相乘為正數，即-2k<0 且(6-k)>0⇒0<k<6
由以上二式可知2<k<6，故選(C)。

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24.  設甲、乙兩班比賽棒球，規則是以先取得四勝者為勝方，且每場比賽皆有勝負。若現已賽畢三場，甲班以二勝一負取得優勢，則往後有幾種可能賽事序列來決定勝方？

(A)8        (B)9        (C)10       (D)11

解：
往後各賽事勝方序列
甲甲
甲乙甲
乙甲甲
乙乙甲甲
乙甲乙甲
甲乙乙甲
----以上均為甲為勝方-----
乙乙乙甲
乙乙甲乙
乙甲乙乙
甲乙乙乙
----以上均為乙為勝方-----
共有6+4=10種可能序列，故選(C)。

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解：
7個正數中任取1個，有7種選擇；
5個負數中任取1個，有5種選擇；
乘積為負的有7×5=35種可能；
全部有C(12,2)=66種可能；
因此乘積為負的機率為35/66約為0.53
因此相乘積為正的機為1-0.53=0.47
，故選(B)。 

當然也可以7個正數取兩個，或5個負數取兩個，共有C(7,2)+C(5,2)=31種，其機率為31/66約等於0.47。

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