102學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：
個位數字為7，最小的是107、最大的是2007。可以將此視為等差數列：首頁a1=107、公差d=10、末項an=2007，求n?
$$a_n=a_1+(n-1)\times d\Rightarrow 2007=107+10(n-1)\Rightarrow 190=n-1\Rightarrow n=191$$ 故選(B)。

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解： $$令f(x)=x^{ 4 }-mx^{ 3 }-x^{ 2 }-5x+n=(x^{ 2 }-3x+2)Q(x)=(x-2)(x-1)Q(x)\\ \Rightarrow f(2)=f(1)=0\Rightarrow \begin{cases} 16-8m-4-10+n=0 \\ 1-m-1-5+n=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -8m+n+2=0 \\ -m+n-5=0 \end{cases}\\ \Rightarrow m=1,n=6\Rightarrow 2m+n=8$$ ，故選(D)。

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解： $${ 3 }^{ x+2 }={ 3 }^{ x }+24\sqrt { 3 } ={ 3 }^{ x }+{ 2 }^{ 3 }\times 3\times { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }={ 3 }^{ x }+{ 2 }^{ 3 }\times { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }\\ \Rightarrow { 3 }^{ x+2 }-{ 3 }^{ x }={ 2 }^{ 3 }\times { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }\Rightarrow { 3 }^{ x }\left( { 3 }^{ 2 }-1 \right) ={ 2 }^{ 3 }\times { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }\\ \Rightarrow { 3 }^{ x }\times { 2 }^{ 3 }={ 2 }^{ 3 }\times { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }\Rightarrow x=\frac { 3 }{ 2 }$$ ，故選(C)。

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解： $${ a }^{ 5 }={ b }^{ 3 }\Rightarrow 5\log { a } =3\log { b } \Rightarrow \frac { \log { b } }{ \log { a } } =\frac { 5 }{ 3 } =\log _{ a }{ b }$$ ，故選(D)。

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解： $$\int _{ \frac { -1 }{ 2 }  }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }{ \left( 1+\frac { x }{ 2 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 3 }  \right) dx } =\left( x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 9 }  \right) { | }_{ \frac { -1 }{ 2 }  }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }\\ =\left( \frac { 3 }{ 2 } +\frac { 9 }{ 16 } +\frac { 27 }{ 72 }  \right) -\left( \frac { -1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 16 } +\frac { -1 }{ 72 }  \right) \\ =2+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 7 }{ 18 } =2\frac { 8 }{ 9 } =\frac { 26 }{ 9 }$$ ，故選(D)。

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解： $${ \overline { AB } }^{ 2 }={ \overline { AC } }^{ 2 }+{ \overline { BC } }^{ 2 }-2\overline { AC } \overline { BC } \cos \angle C\\ \Rightarrow 25=100+81-180\cos \angle C\Rightarrow \cos \angle C=\frac { 13 }{ 15 } \\ \Rightarrow \cos \left( \pi -\angle C \right) =-\frac { 13 }{ 15 } \Rightarrow \cos \left( \angle A+\angle B \right) =-\frac { 13 }{ 15 }$$ ，故選(A)。

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解：
全部時數=5+4+4+2+2+2 =19
加權平均成績= $$72\times \frac { 5 }{ 19 } +68\times \frac { 4 }{ 19 } +72\times \frac { 4 }{ 19 } +82\times \frac { 2 }{ 19 } +75\times \frac { 2 }{ 19 } +86\times \frac { 2 }{ 19 } \\ =\frac { 1 }{ 19 } \times (360+272+288+164+150+172)=\frac { 1406 }{ 19 } =74$$ ，故選(D)。

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解：
$$貫軸長=\overline{PF}-\overline{PF'}=\sqrt{64+\frac{49}{9}}-\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{25}{3}-\frac{7}{3}=6$$ ，故選(B)。

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解： $$\overrightarrow { b } //\overrightarrow { a } \Rightarrow \overrightarrow { b } =k\overrightarrow { a } =\left( 3k,4k \right) \\ \Rightarrow \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left( 3,4 \right) \cdot \left( 3k,4k \right) =25k=-50\Rightarrow k=-2\\ \Rightarrow 2\overrightarrow { a } +3\overrightarrow { b } =2\left( 3,4 \right) +3\times \left( -2 \right) \left( 3,4 \right) =\left( -12,-16 \right) \\ \Rightarrow \left( 2\overrightarrow { a } +3\overrightarrow { b } \right) \cdot \left( 2\overrightarrow { a } +3\overrightarrow { b } \right) =\left( -12,-16 \right) \cdot \left( -12,-16 \right) =400\\ \Rightarrow \left| 2\overrightarrow { a } +3\overrightarrow { b } \right| =\sqrt { 400 } =20$$ ，故選(A)。

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解：
$${ \left( 2x+1 \right)  }^{ 5 }展開後,x^{ 2 }的係數為C(5,3){ \times 2 }^{ 2 }\times { \left( -1 \right)  }^{ 3 }=-40\\ x的係數為C(5,4)\times 2{ \left( -1 \right)  }^{ 4 }=10\\ { \left( 2x+1 \right)  }^{ 5 }(x+1)的x係數為-40+10=-30$$ ，故選(A)。

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解： $$\begin{cases} -x+3y=ax \\ 3x+y=ay \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( -a-1 \right) x+3y=0 \\ 3x+\left( 1-a \right) y=0 \end{cases}\Rightarrow \frac { \left( -a-1 \right)  }{ 3 } =\frac { 3 }{ \left( 1-a \right)  } \\ \Rightarrow { a }^{ 2 }-1=9\Rightarrow a=\sqrt { 10 } (a>0\Rightarrow a\neq -\sqrt { 10 } )$$ ，故選(D)。

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解： $$\theta 為第三象限,且\tan { \theta =\frac { 3 }{ 4 }  } \Rightarrow \sin { \theta  } =-\frac { 3 }{ 5 } ,\cos { \theta  } =-\frac { 4 }{ 5 } \\ \frac { 2\sin { \theta  } -1 }{ 3+4\cos { \theta  }  } =\frac { -\frac { 6 }{ 5 } -1 }{ 3-\frac { 16 }{ 5 }  } =\frac { -\frac { 11 }{ 5 }  }{ -\frac { 1 }{ 5 }  } =11$$ ，故選(C)。

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解：

身高小於166公分的人數佔全體的(50%-34%)=16%，因此全體有$120\times  \frac{100}{16}=750$人，故選(B)。

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解：
甲有5種選擇、乙有四種選擇、丙有三種選擇，三人分別在不同車廂共有$5\times 4\times  3=60$種情況。全部有$5\times 5\times  5=125$種情況。因此機率為60/125=12/25，故選(C)。

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解： $$y^2=8x=4\times 2x\Rightarrow \overline{OF}=2\\又P代入拋物線可得36=8x\Rightarrow x=\frac{9}{2}\\灰色\triangle 的底為\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}，高為6，因此面積=\frac{5}{2}\times 6 \div 2=\frac{15}{2}$$ ，故選(A)。

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解： $$f\left( x \right) ={ \left( ax+b \right)  }^{ 3 }\Rightarrow f^{ ' }\left( x \right) =2{ a\left( ax+b \right)  }^{ 2 }\\ \begin{cases} f\left( 2 \right) =1 \\ f^{ ' }\left( 2 \right) =6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \left( 2a+b \right)  }^{ 3 }=1 \\ 3a{ \left( 2a+b \right)  }^{ 2 }=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a+b=1 \\ 3a=6 \end{cases}\\ \Rightarrow a=2,b=-3\Rightarrow a-b=5$$ ，故選(D)。

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解： $${ \left( \frac { \sqrt { 3 } -i }{ 1-i } \right) }^{ 8 }={ \left( \frac { \left( \sqrt { 3 } -i \right) \left( 1+i \right) }{ \left( 1-i \right) \left( 1+i \right) } \right) }^{ 8 }={ \left( \frac { \left( \sqrt { 3 } -i \right) \left( 1+i \right) }{ 2 } \right) }^{ 8 }={ \left( \frac { \left( \sqrt { 3 } +1 \right) +\left( \sqrt { 3 } -1 \right) i }{ 2 } \right) }^{ 8 }\\ =\frac { 1 }{ { 2 }^{ 8 } } { \left( 4\sqrt { 3 } +4i \right) }^{ 4 }={ \left( \sqrt { 3 } +i \right) }^{ 4 }={ \left( 2+2\sqrt { 3 } i \right) }^{ 2 }=-8+8\sqrt { 3 } i\\ \Rightarrow a=-8,b=8\sqrt { 3 } \Rightarrow { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }=64+192=256$$ ，故選(C)。

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解： $$2+3\cos { 2\theta } =0\Rightarrow \cos { 2\theta } =\frac { -2 }{ 3 } \Rightarrow 2\cos ^{ 2 }{ \theta } -1=\frac { -2 }{ 3 } \\ \Rightarrow \cos ^{ 2 }{ \theta } =\frac { 1 }{ 6 } \Rightarrow \sin ^{ 2 }{ \theta } =1-\cos ^{ 2 }{ \theta } =\frac { 5 }{ 6 } \\ \sin ^{ 4 }{ \theta } -\cos ^{ 4 }{ \theta } =\left( \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) \\ =\left( \sin ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) =\frac { 5 }{ 6 } -\frac { 1 }{ 6 } =\frac { 2 }{ 3 }$$ ，故選(C)。

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解： $$\frac { 4{ x }^{ 2 }-6x-3 }{ { \left( 2x-3 \right)  }^{ 2 } } =\frac { 4{ x }^{ 2 }-6x-3 }{ 4{ x }^{ 2 }-12x+9 } =1+\frac { 6x-12 }{ 4{ x }^{ 2 }-12x+9 } \\ =1+\frac { 3\left( 2x-3 \right) -3 }{ { \left( 2x-3 \right)  }^{ 2 } } =1+\frac { 3 }{ 2x-3 } -\frac { 3 }{ { \left( 2x-3 \right)  }^{ 2 } } \\ \Rightarrow a=1,b=3,c=-3\Rightarrow a+b+2c=-2$$ ，故選(B)。

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解： $$\left| \begin{matrix} x+2 & 13 & 16 \\ 11 & 14 & 17 \\ 12 & 15 & 18 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} x & 13 & 16 \\ 11 & 14 & 17 \\ 12 & 15 & 18 \end{matrix} \right| +2\begin{vmatrix} 14 & 17 \\ 15 & 18 \end{vmatrix}\\ =3+2\begin{vmatrix} 14 & 17 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=3-6=-3$$ ，故選(B)。

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解：

$$\int _{ 0 }^{ 6 }{ f\left( x \right) dx } =\int _{ 0 }^{ 2 }{ f\left( x \right) dx } +\int _{ 2 }^{ 6 }{ f\left( x \right) dx } =\int _{ 0 }^{ 2 }{ f\left( x \right) dx } +灰色+紅色\\ =\frac { -13 }{ 3 } +\frac { 16 }{ 3 } +\frac { \left( 1+3 \right) \times 4 }{ 2 } =1+8=9$$ ，故選(C)。

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解：
由兩直線可求其交點為(-9/2, -20)，再代入2x+ay+b=0可得
-9-20a+b=0，即20a-b+9=0-----(1)；
2x+ay+b=0的斜率為(-2/a)=2，可知a=-1，代入式(1)可得-20-b+9=0，b=-11。因此a+b=-1-11=-12，故選(A)。

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解： $$f(x)=\frac{x^1-1}{5x^2-2x-3}=\frac{(x+1)(x-1)}{(5x+3)(x-1)} =\frac{x+1}{5x+3}\Rightarrow f(1)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$ 故選(B)。

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解：
$$令L_1, L_2的方程式分別為3x+4y=k_1及3x+4y=k_2\\將(-29,23)及(31,23)分別代入L_1及L_2可得k_1=5, k_2=185\\ \Rightarrow 兩直線距離=\frac{(185-5)}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{180}{5}=36$$ 故選(B)。

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解： $$x=\frac { -\left( 12k+18 \right) \pm \sqrt { { \left( 12k+18 \right)  }^{ 2 }-36\left( 4{ k }^{ 2 }+12k+5 \right)  }  }{ 18 } \\ =\frac { -\left( 12k+18 \right) \pm 12 }{ 18 } \Rightarrow x=\frac { -2k-1 }{ 3 } ,\frac { -2k-5 }{ 3 } \\ \Rightarrow \frac { -2k-1 }{ 3 } >1且\frac { -2k-5 }{ 3 } <0\Rightarrow k<-2且k>\frac { -5 }{ 2 } \\ \Rightarrow \frac { -5 }{ 2 } <k<-2$$ 故選(A)。
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