105學年四技二專統測--數學(A)詳解

105 學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統 一 入 學 測 驗 試 題 本-數學(A)

解答：$$\overline{AB}=5 \Rightarrow \sqrt{a^2+(1-(-2))^2}  =\sqrt{a^2+9}=5 \Rightarrow a^2+9=25 \Rightarrow a^2=16\\ \Rightarrow a=4 (a=-4不合，因為a\gt 0)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{A(1,1)\\ B(-3,9)} \Rightarrow \cases{\overline{AB}中點C=((1-3)/2,(1+9)/2)=(-1,5)\\ \overleftrightarrow{AB}斜率m={ 9-1\over -3-1}=-2} \\ \Rightarrow \overline{AB}垂直平分線:過C且斜率為-{1\over m}= {1\over 2}，即(y-5)={1\over 2}(x+1) \Rightarrow x-2y+11=0\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$(A)\times: \cases{\theta=10^\circ在第一象限\\ 100^\circ 在第二象限} \Rightarrow 兩者不在同一象限\\(B)\times: 10^\circ +360^\circ \ne 100^\circ \\(C)\bigcirc: 180^\circ: \pi = 10^\circ : x \Rightarrow x={\pi\over 18} \\(D)\times: 計算弧長採用的是弧度不是角度\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  } -\cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } +\sin { \frac { 5\pi  }{ 6 }  } -\cos { \frac { 5\pi  }{ 6 }  } +\sin { \frac { 7\pi  }{ 6 }  } +\cos { \frac { 7\pi  }{ 6 }  } \\ =\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  } -\cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } +\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  } +\cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } -\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  } -\cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } \\ =\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  } -\cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } =\frac { 1 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{\sin \theta\gt 0\\ \tan={\sin \theta\over \cos\theta} \lt 0} \Rightarrow \cos\theta \lt 0 \Rightarrow \cot\theta ={\cos \theta \over \sin \theta} \lt 0 \Rightarrow (\cos\theta,\cot\theta) =(負,負)在第三象限\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$f(x)=\sin^2 x-4\sin x+5 =(\sin x-2)^2+1\\ 由於-1\le \sin x\le 1 \Rightarrow -3 \le \sin x-2\le -1 \Rightarrow 1\le (\sin x-2)^2\le 9 \Rightarrow 2\le f(x)\le 10\\ \Rightarrow \cases{M=10\\ m=2} \Rightarrow M+m=12，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\overset{\large{\rightharpoonup}}{GE} =\overset{\large{\rightharpoonup}}{GF} +\overset{\large{\rightharpoonup}}{FE} =\overset{\large{\rightharpoonup}}{GF} +\overset{\large{\rightharpoonup}}{FD} +\overset{\large{\rightharpoonup}}{DE} =-(-\overset{\rightharpoonup}{ b} +4 \overset{\rightharpoonup}{ c}) -(3\overset{\rightharpoonup}{ b}-\overset{\rightharpoonup}{ a})+2\overset{\rightharpoonup}{ a} =3\overset{\rightharpoonup}{ a}- 2\overset{\rightharpoonup}{ b}-4\overset{\rightharpoonup}{ c}\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{\vec { a } +\vec { b } =(1+3,2+4)=(4,6)\\ \vec { a } -\vec { b } =(1-3,2-4)=(-2,-2)} \Rightarrow \left( \vec { a } +\vec { b }  \right) \cdot \left( \vec { a } -\vec { b }  \right) =\left| \vec { a } +\vec { b }  \right| \left| \vec { a } +\vec { b }  \right| \cos { \theta  } \\ \Rightarrow \left( 4,6 \right) \cdot \left( -2,-2 \right) =\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 } } \sqrt { { (-2) }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 } } \cos { \theta  } \\ \Rightarrow -20=2\sqrt { 13 } \times 2\sqrt { 2 } \cos { \theta  } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { -5 }{ \sqrt { 26 }  } \lt 0 \Rightarrow \theta \gt 90^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$利用長除法(見上圖)，可得f(x)=g(x)\cdot (x-4)+5x-9 \Rightarrow \cases{q(x)=x-4\\ r(x)=5x-9} \\ \Rightarrow 2q(x)-r(x)=2x-8-5x+9=-3x+1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{p(x)=a(x)(2x-1)+1 =2a(x)(x-{1\over 2})+1\\ q(x)=b(x)(2x-1)-1 =2b(x)(x-{1\over 2})-1}\\ 令f(x)=[p(x)]^{2016} +[q(x)]^{2016} =\left[ 2a(x)(x-{1\over 2})+1\right]^{2016} +\left[2b(x)(x-{1\over 2})-1 \right]^{2016}\\ \Rightarrow f({1\over 2})= 1^{2016}+(-1)^{2016} =2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$令f(x)=2x^3-ax^2-4x+3，則f(-1)=0 \Rightarrow -2-a+4+3=0 \Rightarrow a=5\\ \Rightarrow f(x)=2x^3-5x^2-4x+3 =(x+1)(2x^2-7x+3)=(x+1) (2x-1)(x-3) \\ \Rightarrow \alpha+\beta = {1\over 2}+3 ={7\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\frac { { 3 }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\cdot { 9 }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }\cdot { 27 }^{ \frac { 1 }{ 9 }  }\cdot { 81 }^{ 5 } }{ { 243 }^{ 4 } } =\frac { { 3 }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 2 }{ 6 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 9 }  }\cdot { 3 }^{ 20 } }{ { 3 }^{ 20 } } =\frac { { 3 }^{ 21 } }{ { 3 }^{ 20 } } =3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{\log _{ a }{ \sqrt [ 3 ]{ 25 }  } =\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow \log _{ a }{ { 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } } =\frac { 2 }{ 3 }  \\ \log _{ 8 }{ b=\frac { -1 }{ 3 }  } \Rightarrow { 8 }^{ \frac { -1 }{ 3 }  }=b  \\ \log _{ 2 }{ \frac { 1 }{ 16 }  } =c\Rightarrow \log _{ 2 }{ { 2 }^{ -4 } } =c } \Rightarrow \cases{a=5\\ b=1/2\\ c=-4} \Rightarrow a+2b+3c=5+1-12=-6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{L_1 的x截距\lt 0\\ L_2的x截距\gt 0} \Rightarrow \cases{-{c_1\over a_1} \lt 0\\ -{c_2\over a_2}\gt 0} \Rightarrow \cases{c_1\gt 0\\ c_2\lt 0}\\ 令\cases{f(x)=a_1x+b_1y+c_1\\ g(x)= a_2x+b_2y +c_2}，由於\cases{A與原點在L_1異側\\ A與原點在L_2 同側} \Rightarrow \Rightarrow \cases{f(x_1,y_1)f(0,0) \lt 0\\ f(x_1,y_1)f(0,0)\gt 0} \\ \Rightarrow \cases{(a_1x_1+ b_1y_1+c_1)c_1 \lt 0\\ (a_2x_1+ b_2y_1+c_2)c_2\gt 0} \Rightarrow \cases{(a_1x_1+ b_1y_1+c_1)  \lt 0\\ (a_2x_1+ b_2y_1+c_2) \lt 0}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：

$$T為一梯形OABC ={((a-1)+a)\times 1\over 2} =a-{1\over 2}={1\over 2} \Rightarrow a=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$圓面積=r^2\pi =25\pi \Rightarrow 圓半徑r=5，而圓心在(3,-4)，因此圓方程式為(x-3)^2+(y+4)^2=5^2\\ 令f(x,y)=(x-3)^2+(y+4)^2-5^2 \\ (A) \times:\cases{x\lt 0\\ y\gt 0 }\Rightarrow f(x,y)=(x-3)^2+(y-4)^2-5^2 \gt 0 \Rightarrow 第二象限的點皆在圓外\\(B) \times: f(-3,4)=(-6)^2+8^2-25\gt 0 \Rightarrow (-3,4)在圓外\\(C) \times: f(4,-3)=1^2+ 1^2-25\lt 0 \Rightarrow (4,-3)在圓內\\ (D)\bigcirc: f(0,0)=(-3)^2+4^2-5^2=0 \Rightarrow 原點在圓上\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$圓心(a,-a)在L:3x+4y+1=0上 \Rightarrow 3a-4a+1=0 \Rightarrow a=1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{a_1=1 \\a_4=a_1+3d=10} \Rightarrow d=3 \Rightarrow S_{10}=a_1+a_2+\cdots +a_{10} ={(2a_1+9d)\times 10\div 2} \\ =(2+27)\times 5=145，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{x_2=x_1與x_4的等比中項 \Rightarrow x_2^2=x_1x_4\\ x_3=27 \Rightarrow x_1+2d=27} \Rightarrow (x_1+d)^2=x_1(x_1+3d) \Rightarrow (27-d)^2=(27-2d)(27+d)\\ \Rightarrow 27^2-54d+d^2=27^2-27d-2d^2 \Rightarrow 3d^2-27d=0 \Rightarrow \cases{d=0(不合,違反d\gt 0)\\ d=9} \\\Rightarrow  x_2 =x_3-d=27-9=18，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$${ C }_{ 2 }^{ 9 }{ C }_{ 2 }^{ 7 }{ C }_{ 2 }^{ 5 }{ C }_{ 3 }^{ 3 }=\frac { 9! }{ 7!2! } \times \frac { 7! }{ 5!2! } \times \frac { 5! }{ 3!2! } \times 1=7560，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$5位老人坐5個位置有5!坐法、3位兒童坐3個位置有3!坐法、\\4位成人坐2個位置有P(4,2)坐法，因此共有5!×3!×P(4,2)=5!×3!×C(4,2)×2!，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$A\cup B= A+B-A\cap B \Rightarrow 300=135+245-A\cap B \Rightarrow A\cap B=80\\ \Rightarrow P(A\cap B)={A\cap B\over S} ={80\over 500}=0.16，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$X代表取到黃包的數量\Rightarrow P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-C^8_3/C^{12}_2-C^8_2C^4_1/C^{12}_3\\ =1-{56\over 220}-{112\over 220} ={52\over 220} ={13\over 55}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$每枚硬幣被取出的機率=1/20，\\任取二枚的可能情形：
50元硬幣2枚、50元硬幣1枚及10元硬幣1枚、10元硬幣2枚；\\其相對應的期望值為:\\\frac { 100\times { C }_{ 2 }^{ 5 }+60\times { C }_{ 1 }^{ 5 }{ C }_{ 1 }^{ 15 }+20\times { C }_{ 2 }^{ 15 } }{ { C }_{ 2 }^{ 20 } } =\frac { 100\times 10+60\times 75+20\times 105 }{ 190 } \\ =\frac { 1000+4500+2100 }{ 190 } =40，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$最高分一定大於平均值，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考，其他統測試題及詳解