105年國中教育會考(新店高中)重考數學詳解

試題來源：師大心測中心

解：$$2.5\div \left[ \left( \frac { 1 }{ 5 } -1 \right) \times \left( 2+\frac { 1 }{ 2 }  \right)  \right] =2.5\div \left[ \left( \frac { -4 }{ 5 }  \right) \times \left( \frac { 5 }{ 2 }  \right)  \right] \\ =2.5\div \left( -2 \right) =\frac { 5 }{ 2 } \times \frac { -1 }{ 2 } =\frac { -5 }{ 4 } $$，故選(A)。

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解：$$\begin{cases} 2x+y=14 \\ -3x+2y=21 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4x+2y=28 \\ -3x+2y=21 \end{cases}\Rightarrow 7x=7\Rightarrow x=1\\ \Rightarrow 2+y=14\Rightarrow y=12\Rightarrow x+y=12+1=13$$，故選(D)。

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解：$$\left( 2{ x }^{ 2 }-4 \right) \left( 2x-1-\frac { 3 }{ 2 } x \right) =\left( { x }^{ 2 }-2 \right) \left( 4x-2-3x \right) =\left( { x }^{ 2 }-2 \right) \left( x-2 \right) \\ ={ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }-2x+4$$，故選(D)。

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解：

正方形有四條對稱軸，如上圖，故選(B)。

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解：$$(A) 45=405\div 9  (C)81=405\div 5  (D)135=405\div 3$$，故選(B)。

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解：

A=(-1,-4), B=(0,-1)  C=(5,4)；a=-1+0+5=4, b=-4-1+4=-1, a-b=4-(-1)=5，故選(A)。

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解：

$$\angle AEC=\angle EBC+\angle BCE =\angle EBG+\angle GBC+\angle BCE\\ \Rightarrow 95=25+\angle GBC+20\Rightarrow \angle GBC=50\\ \overline{AD}//\overline{BC}\Rightarrow \angle AFB=\angle GBC=50 \Rightarrow \angle A=180-\angle AFB-\angle FBG \\ = 180-50-25=105$$，故選(C)。

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解：

8○2是三的倍數，○必須是2或5，有兩種可能，所以機率是2/6=1/3，故選(B)。

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解：

$$\angle BOC=2\angle BAC=2\times 45=90\\ \frac{90}{360}\times 圓周長=4\pi\Rightarrow 圓周長=16\pi\Rightarrow 半徑=8\Rightarrow \overline{BC}=半徑\times\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$，故選(B)。

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解：$$20<5-2(2+2x)<50\Rightarrow 20<5-4-4x<50\Rightarrow 19<-4x<49\\ \Rightarrow \frac { -19 }{ 4 } >x>\frac { -49 }{ 4 } \Rightarrow -5\ge x\ge -12\Rightarrow -5-12=-17$$，故選(C)。

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解：

先求出該直線方程式 y=-2x+10，再判斷哪一點在直線上，故選(C)。

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解：

$$已知 1+2+3+4+5+6+7+8=220..(1)\\ \triangle OGE\quad a+c+e+1=180..(2)\\ \triangle AOF \quad d+b+e+8=180..(3) \\ 五邊形OEFGA \quad 1+2+3+4+5+6+7+8+a+b+c+d+e=540..(4)\\式(4)-(1)\Rightarrow a+b+c+d+e=320...(6)\\ 式(2)+(3) \Rightarrow a+b+c+d+e+(e+1+8)=360...(7)\\式(7)-(6)\Rightarrow e+1+8=\angle BOD=40$$，故選(A)。

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解：$$甲\times乙=x^2-4=(x+2)(x-2), 乙\times丙=x^2+15x-34=(x+17)(x-2) \\ \Rightarrow 乙=(x-2), 甲=(x+2), 丙=(x+17)\Rightarrow 甲+丙=2x+19$$，故選(A)。

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解：$$\sqrt{11}=3.3...\Rightarrow 2\sqrt{11}-1=5.6....$$，故選(C)。

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解：
1F售出與未售出的座位數分別為4a、3a
2F售出與未售出的座位數分別為3b、2b
1F與2F未售出的座位數相等，即3a=2b, a=(2/3)b
售出與未售出的座位數比=4a+3b:3a+2b=(17/3)b:4b=17:12
故選(C)。

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解：$$男生平均=\frac { 10\times 50+10\times 70+10\times 90 }{ 30 } =70\\ 女生平均=\frac { 5\times 50+15\times 70+5\times 90 }{ 25 } =70$$男生成績呈現平均分配，而女生成績集中於中間位置，所以男生的四分位距較女生高，故選(A)。

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解：$$(甲作法) \overline{BC}=\overline{BD}\Rightarrow \triangle BCD為等腰, 但\triangle ABC 三角均不相等\\(乙作法)ABDC成為平行四邊形\Rightarrow \angle ABC=\angle BCD, \angle ACB = \angle CBD, \\ \Rightarrow \triangle ABC 與\triangle DCB 三個角角度相同, 且共用\overline{BC}，因此全等$$，故選(D)。

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解：$$甲+丙=2甲+40\Rightarrow 丙=甲+40\\ 甲+乙+丙=3乙-180\Rightarrow 甲-2乙+丙+180=0\\ \Rightarrow 甲-2乙+(甲+40)+180=0\Rightarrow 2甲-2乙+220=0\\ \Rightarrow 乙-甲=\frac { 220 }{ 2 } =110$$，故選(B)。

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解：

$$在直角\triangle AOE中, 已知\overline{AO}=5, \overline{OE}=3 \Rightarrow \overline{AE}=4\\ \Rightarrow \overline{BE}=\overline{AB}-\overline{AE}=10-4=6\\ 在直角\triangle BEO中, 已知\overline{BE}=6, \overline{OE}=3 \Rightarrow \overline{BO}=\sqrt{45}\\ 在直角\triangle BOG中, 已知\overline{BO}=\sqrt{45}, \overline{OG}=3 \Rightarrow \overline{BG}=6$$，故選(C)。

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解：$$令c_1=(a_1+b_{31}), c_2=(a_2+b_{30}), ..., c_{31}=(a_{31}+b_1), 此仍為一等差數列,公差為d\\由題意知: c_2=29, c_{30}=-9 \Rightarrow 此列數總和=\frac{\left(c_1+c_{31}\right)\times 31}{2}=\frac{\left(c_1+c_1+30d\right)\times 31}{2}\\=\frac{\left(c_1+d+c_1+29d\right)\times 31}{2}=\frac{\left(c_2+c_{30}\right)\times 31}{2}=\frac{\left(29-9\right)\times 31}{2}=310$$，故選(B)。

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解：

$$\overline{AB}=\overline{AD}\Rightarrow \triangle ABD為等腰直角\Rightarrow \angle ABD=45\\ \angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=105-45=60, 又\overline{BC}=\overline{DC}\Rightarrow \triangle BDC為正三角形\\ \triangle ABD為等腰直角\Rightarrow B,D的中點E為外心, F為\triangle BCD的外心\\ \overline{AB}=5\sqrt{6}\Rightarrow \overline{BE}=5\sqrt{6}\div\sqrt{2}=5\sqrt{3}\Rightarrow \overline{CE}=5\sqrt{3}\times \sqrt{3}=15\Rightarrow \overline{EF}=15\div 3=5$$，故選(A)。

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解：$$y=-x^2+4x-k=-{\left(x-2\right)}^2+4-k\Rightarrow D=(2, 4-k)\\ 當x=0時, y=-k\Rightarrow C=(0, -k)\\ \triangle ABC與\triangle ABD的面積比就是|-k|:|4-k| = 1:4\\ \Rightarrow k:4-k=1:4\Rightarrow 4-k=4k\Rightarrow k=\frac{4}{5}$$，故選(D)。

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解：
b為正數，其它均為負數，所以b最大；
真分數次數越多，數值越小，但負數相反，即c>a
故選(C)。

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解：$$\frac { \overline { AE }  }{ \overline { AB }  } =\frac { \overline { DE }  }{ \overline { BC }  } \Rightarrow \frac { \overline { AE }  }{ 4 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \overline { AE } =\frac { 4 }{ 3 } \\ \frac { \overline { AF }  }{ \overline { AB }  } =\frac { \overline { FG }  }{ \overline { BN }  } \Rightarrow \frac { \overline { AE } +\overline { EF }  }{ \overline { AB }  } =\frac { \overline { FG }  }{ \overline { BN }  } \\ \Rightarrow \frac { \frac { 7 }{ 3 }  }{ 4 } =\frac { 1 }{ \overline { BN }  } \Rightarrow \overline { BN } =\frac { 12 }{ 7 } $$，故選(D)。

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解：
正角錐的底面是一個正三角形，假設邊長為a
正角錐的側面均為相同的等腰三角形，假設腰長為b, 底邊長為a
依題意可知3a=15, 且2b+a=27, 則a=5, b=11, 所有邊長和=3a+3b=48
另一種可能3a=27, 2b+a=15, 則a=9,b=3。此解之側邊三角形邊長分別為3,3,9，不符三角形二邊之和大於第三邊的條件，所以這組解不合。故選(D)。

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解：$$(1)八邊形的每一邊長=2x\Rightarrow \overline{AI}=(\overline{AD}-邊長)\div 2 = 13-x\\
同理\overline{AE}=(\overline{AB}-邊長)\div 2 =11-x\\兩股長各為13-x及11-x\\(2)在直角\triangle AEI中 {\overline{EI}}^2={\overline{AI}}^2+{\overline{AE}}^2\Rightarrow {(2x)}^2={(13-x)}^2+{(11-x)}^2\\ \Rightarrow x^2+24x-145=0\Rightarrow (x+29)(x-5)=0\Rightarrow x=5, 負值不合\Rightarrow 邊長=2x=10$$

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解：$$\triangle ADC:\triangle DBC=\overline { AD } :\overline { DB } =1:3\\ \Rightarrow \overline { AD } =3\Rightarrow \overline { DB } =9\\ \triangle ACD\sim \triangle ABC理由如下:\\ \angle A=\angle A且\overline { AC } :\overline { AD } =2:1=\overline { AB } :\overline { AC } \Rightarrow 符合SAS條件\\ 因此\angle ACD=\angle B$$

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-- END --