102學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：
每兩頂點構成一條直線，再扣除29條邊線，即 $${ C }_{ 2 }^{ 29 }-29=\frac { 29! }{ 27!2! } -29=377$$
故選(C)。

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解：
$30000\times\frac{2}{2000}+15000\times\frac{5}{2000}+1000\times\frac{30}{2000}=82.5$，故選(B)。

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解： $$a=\frac { 2 }{ \sqrt [ 4 ]{ 8 }  } =\frac { 2 }{ { 2 }^{ \frac { 3 }{ 4 }  } } ={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 4 }  },b=\sqrt { \frac { 1 }{ 2 }  } \cdot { 4 }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }={ 2 }^{ \frac { -1 }{ 2 }  }\cdot { 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }\\ \left( A \right) a\cdot b={ 2 }^{ \frac { 5 }{ 12 }  }<{ 2 }^{ 1 }\\ \left( B \right) a+b=1.1...+1.1...>2\\ \left( C \right) { 2 }^{ \frac { 1 }{ 4 }  }>{ 2 }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }\Rightarrow a>b\\ \left( D \right) { a }^{ 2 }={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  },{ b }^{ 3 }={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\Rightarrow a=b$$ ，故選(A)。

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解： $$\sum _{ k=1 }^{ 100 }{ \left( \frac { { a }_{ k } }{ 5 } -\frac { { b }_{ k } }{ 2 } +1 \right) } =\frac { 1 }{ 5 } \sum _{ k=1 }^{ 100 }{ { a }_{ k } } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=1 }^{ 100 }{ { b }_{ k } } +\sum _{ k=1 }^{ 100 }{ 1 } \\ =\frac { 1 }{ 5 } \times 205-\frac { 1 }{ 2 } \times 26+100=41-13+100=128$$ ，故選(D)。

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解： $$S=10+\frac { 10 }{ 1.001 } +\frac { 10 }{ { 1.001 }^{ 2 } } +\cdots +\frac { 10 }{ { 1.001 }^{ n } } +\cdots \\ \Rightarrow \frac { S }{ 1.001 } =\frac { 10 }{ 1.001 } +\frac { 10 }{ { 1.001 }^{ 2 } } +\cdots +\frac { 10 }{ { 1.001 }^{ n+1 } } +\cdots \\ \Rightarrow 10+\frac { S }{ 1.001 } =S\Rightarrow 10=\frac { 0.001 }{ 1.001 } S\Rightarrow S=10010$$ ，故選(B)。

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解：
此題相當於求x+y+z=10，其中x,y,z皆為非負整數。
共有H(3,10)=C(12,10)=66組解，故選(B)。

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解：
(A)共有8個數字，中位數為第4與第5的平均值，即(55+60)/2=57.5
(B)Q1={40,45,50,55}的中位數=(45+50)/2=47.5
(C)Q3={60,65,70,75}的中位數=(65+70)/2=67.5
(D)Q3-Q1=67.5-47.5=20
故選(D)。

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解： $$\frac { x+y+1 }{ 4 } =\frac { 2x-1 }{ 5 } =\frac { y+1 }{ 2 } \Rightarrow \begin{cases} \frac { x+y+1 }{ 4 } =\frac { 2x-1 }{ 5 }  \\ \frac { 2x-1 }{ 5 } =\frac { y+1 }{ 2 }  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 3x-5y=9 \\ 4x-5y=7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-2 \\ y=-3 \end{cases}\Rightarrow x-y=1$$ ，故選(D)。

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解：
焦點至準線距離=-1+5=4=2|c|, 正焦弦長=4|c|=8，故選(B)。

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解：
中心坐標=((-2+4)/2,(1+1)/2)=(1,1)$\Rightarrow$(C)是錯的
兩焦點坐標y值相同，表示橢圓為橫臥形的$\Rightarrow$(D)是錯的
兩焦點距離=4-(-2)=6，表示c值=6/2=3, 又a=10/2=5，因此b=4，故選(A)。

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解：

OC直線的斜率需介於OB直線與OA直線之間，見上圖
OB斜率=-0.8、OA斜率=0.25
OC斜率需在-0.8~0.25，故選(C)。

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解：
先求經過B、C的直線方程式: 5x+12y-1=0
再求A至直線的距離:  (15+12-1)/√(25+144) =26/13=2
故選(B)。

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解： $$\overrightarrow { AB } +\overrightarrow { BC } +\overrightarrow { CD } +\overrightarrow { DE } =\overrightarrow { AE } \\ =\left( \frac { -23 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 3 } ,\frac { -10 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 4 }  \right) =\left( \frac { -73 }{ 12 } ,\frac { -37 }{ 12 }  \right) \\ \Rightarrow m-n=\frac { -73 }{ 12 } +\frac { 37 }{ 12 } =-3$$ ，故選(A)。

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解： $$\overline { AB } =\sqrt { { \left( \cos { \frac { \pi  }{ 12 }  } -\cos { \frac { 3\pi  }{ 4 }  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \sin { \frac { \pi  }{ 12 }  } -\sin { \frac { 3\pi  }{ 4 }  }  \right)  }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { \left( \cos { \frac { \pi  }{ 12 }  } +\cos { \frac { \pi  }{ 4 }  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \sin { \frac { \pi  }{ 12 }  } -\sin { \frac { \pi  }{ 4 }  }  \right)  }^{ 2 } } \\ =\sqrt { \cos ^{ 2 }{ \frac { \pi  }{ 12 }  } +2\cos { \frac { \pi  }{ 12 }  } \cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } +\cos ^{ 2 }{ \frac { \pi  }{ 4 }  } +\sin ^{ 2 }{ \frac { \pi  }{ 12 }  } -2\sin { \frac { \pi  }{ 12 } \sin { \frac { \pi  }{ 4 }  }  } +\sin ^{ 2 }{ \frac { \pi  }{ 4 }  }  } \\ =\sqrt { 2+2\left( \cos { \frac { \pi  }{ 12 }  } \cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } -\sin { \frac { \pi  }{ 12 } \sin { \frac { \pi  }{ 4 }  }  }  \right)  } =\sqrt { 2+2\cos { \left( \frac { \pi  }{ 12 } +\frac { \pi  }{ 4 }  \right)  }  } \\ =\sqrt { 2+2\cos { \left( \frac { \pi  }{ 3 }  \right)  }  } =\sqrt { 2+1 } =\sqrt { 3 }$$ ，故選(D)。

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解：

先求四直線的交點(0,0), (0,3), (2,0),(1,2)，再代入f可得0,9,2,7，最大值為9，故選(C)。

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解：
$$x^3+ax^2+3x+b+1=(x^2+x-2)p(x)=(x+2)(x-1)p(x)\\x=1\Rightarrow 1+a+3+b+1=0\Rightarrow a+b=-5\\x=-2\Rightarrow -8+4a-6+b+1=0\Rightarrow 4a+b=13\\ \Rightarrow a=6, b=-11 \Rightarrow a-b=6+11=17$$ ，故選(A)。

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解： $$\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -6 & x \\ 1 & x & 4 \end{matrix} \right| =0\Rightarrow -24-3x+2x+18+8-{ x }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+x-2=0\Rightarrow (x+2)(x-1)=0\Rightarrow x=1,-2$$ ，故選(C)。

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解： $$\log _{ 12 }{ 15 } =\frac { \log _{ 10 }{ 15 }  }{ \log _{ 10 }{ 12 }  } =\frac { \log _{ 10 }{ 3 } +\left( 1-\log _{ 10 }{ 2 }  \right)  }{ \log _{ 10 }{ 3 } +\left( 2\log _{ 10 }{ 2 }  \right)  } \\ =\frac { y+1-x }{ y+2x }$$ ，故選(D)。

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解： $$\sin { A } :\sin { B } :\sin { C } =5:7:8\Rightarrow \overline { BC } :\overline { AC } :\overline { AB } =5:7:8\\ \Rightarrow { \overline { BC }  }^{ 2 }={ \overline { AC }  }^{ 2 }+{ \overline { AB }  }^{ 2 }-2\overline { AC } \overline { AB } \cos { A } \\ \Rightarrow \cos { A } =\frac { 49+64-25 }{ 112 } =\frac { 11 }{ 14 }$$ ，故選(A)。

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解：
(A)cotA=AB/BC=1/BC≠BC
(B)tanA=DE/AE≠DE
(C)sinC=sin(∠ADE)=AE/AD=AE
(D)secC=AC/BC≠AC
故選(C)。

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解： $$\left( A \right) \frac { 2x+3y+z }{ 3 } \ge \sqrt [ 3 ]{ 2x\cdot 3y\cdot z } \Rightarrow 4\ge \sqrt [ 3 ]{ 6xyz } \Rightarrow \frac { 32 }{ 3 } \ge xyz\\ \left( B \right) \frac { x+x+y+y+y+z }{ 6 } \ge \sqrt [ 6 ]{ x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y\cdot z } \Rightarrow 2\ge \sqrt [ 6 ]{ { x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }z } \Rightarrow 64\ge { x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }z\\ \left( C \right) \frac { 2x+3y+\frac { z }{ 2 } +\frac { z }{ 2 }  }{ 4 } \ge \sqrt [ 4 ]{ 2x\cdot 3y\cdot \frac { z }{ 2 } \cdot \frac { z }{ 2 }  } \Rightarrow 3\ge \sqrt [ 4 ]{ \frac { 3 }{ 2 } xy{ z }^{ 2 } } \Rightarrow 54\ge xy{ z }^{ 2 }\\ \left( D \right) \frac { 2x+\frac { 3y }{ 2 } +\frac { 3y }{ 2 } +z }{ 4 } \ge \sqrt [ 4 ]{ 2x\cdot \frac { 3y }{ 2 } \cdot \frac { 3y }{ 2 } \cdot z } \Rightarrow 3\ge \sqrt [ 4 ]{ \frac { 9 }{ 2 } x{ y }^{ 2 }z } \Rightarrow 18\ge x{ y }^{ 2 }z$$ ，故選(D)。

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解： $$已知g\left( x \right) =m\left( x \right) \left( 2x-3 \right) +1且f\left( x \right) =g\left( x \right) \left( 2x-3 \right) +5\\ \Rightarrow { \left( f\left( x \right)  \right)  }^{ 2 }={ \left[ g\left( x \right) \left( 2x-3 \right) +5 \right]  }^{ 2 }={ \left( g\left( x \right)  \right)  }^{ 2 }{ \left( 2x-3 \right)  }^{ 2 }+10g\left( x \right) \left( 2x-3 \right) +25\\ ={ \left( g\left( x \right)  \right)  }^{ 2 }{ \left( 2x-3 \right)  }^{ 2 }+10\left[ m\left( x \right) \left( 2x-3 \right) +1 \right] \left( 2x-3 \right) +25\\ ={ \left( g\left( x \right)  \right)  }^{ 2 }{ \left( 2x-3 \right)  }^{ 2 }+10m\left( x \right) { \left( 2x-3 \right)  }^{ 2 }+10\left( 2x-3 \right) +25\\ ={ \left( 2x-3 \right)  }^{ 2 }\left[ { \left( g\left( x \right)  \right)  }^{ 2 }+10m\left( x \right)  \right] +20x-5$$ ，故選(B)。

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解： $$令\angle BAC=\theta \\ \Rightarrow \overline { BC } =\overline { AB } \sin { \theta  } =13\sin { \theta  } ,\overline { AC } =\overline { AB } 人\cos { \theta  } =13\cos { \theta  } \\ \Rightarrow \triangle ABC=39=\overline { BC } \times \overline { AC } \div 2={ 13 }^{ 2 }\sin { \theta  } \cos { \theta  } \div 2\\ \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 6 }{ 13 } \Rightarrow \sin { 2\theta  } =2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { 12 }{ 13 } \\ \Rightarrow \cos { 2\theta  } =\sqrt { 1-\sin ^{ 2 }{ 2\theta  }  } =\frac { 5 }{ 13 } \\ \triangle A'B'C=\overline { B'C } \times \overline { A'C } \div 2={ 13 }^{ 2 }\sin { 2\theta  } \cos { 2\theta  } \div 2\\ ={ 13 }^{ 2 }\times \frac { 12 }{ 13 } \times \frac { 5 }{ 13 } \div 2=30$$ ，故選(D)。

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解：
f(3h)-f(0)=[(3h)²-3h+1]²-1-0 =(9h²-3h+1)²-1
h的係數為-3-3=-6，因此該極值=-6/2=-3，故選(A)。

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解：
四選項的直線斜率均為-1，因此先求f(x)斜率為-1的切點，再檢查該切點經過哪一條直線。
$$f'(x)=3x^2-6x+2=-1\Rightarrow {(x-1)}^2=0\Rightarrow x=1\\ \Rightarrow f(1)=1-3+2+4=4 \Rightarrow 切點坐標為(1,4) \Rightarrow x+y=5$$ ，故選(C)。

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-- end --