104學年四技二專統測--數學(S)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

(A) 當x=0，y=-3，y截距小於0

(B) 點(2,1) 未經過該直線

(C) 當x=0，y=-6，y截距小於0

(D) 當x=0，y=4, 當y=0，x=8/3

故選(D)。

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解：

直接計算(1,-2)與四點的斜率是否為3即可

(A) (-2-1)/(1-2)=3

(B) (-2-5)/(1-2)=7

(C) (-2+1)/(1-4)=1/3

(D) (-2-3)/(1-4)=5/3

故選(A)。

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解：

$$\frac { { a }_{ 1 }+{ a }_{ n } }{ 2 } \times n=504\Rightarrow \frac { 20+\left[ 20+\left( n-1 \right) \times 4 \right]  }{ 2 } \times n=504\\ \Rightarrow \left[ 20+\left( n-1 \right) \times 2 \right] \times n=504\Rightarrow { n }^{ 2 }+9n-252=0\\ \Rightarrow \left( n+21 \right) \left( n-12 \right) =0\Rightarrow n=12$$
故選(C)。

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解：

公比為-1，前偶數項的和為零。前80項的總和為零，所以前81項的總和就是第1項，故選(C)。

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(A) 10x-2   (B) 6x+2   (C) 4x-1   (D) 2x+1

解：

$$4{ x }^{ 3 }+x+2=f\left( x \right) \left( 2{ x }^{ 2 }-x+3 \right) -4x-1\\ \Rightarrow f\left( x \right) =\frac { 4{ x }^{ 3 }+x+2+4x+1 }{ 2{ x }^{ 2 }-x+3 } =\frac { 4{ x }^{ 3 }+5x+3 }{ 2{ x }^{ 2 }-x+3 } \\ =\frac { 2x\left( 2{ x }^{ 2 }-x+3 \right) +2{ x }^{ 2 }-x+3 }{ 2{ x }^{ 2 }-x+3 } =\frac { \left( 2{ x }^{ 2 }-x+3 \right) \left( 2x+1 \right)  }{ 2{ x }^{ 2 }-x+3 } \\ =2x+1$$ ，故選(D)。

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6. 已知平面上三點A(-1,3), B(2,1), C(4,-2)，求向量AB+BC=？

(A) (-5,-2)   (B) (-5,5)  (C) (5,2)  (D) (5,-5)

解：

$$\overrightarrow { AB } +\overrightarrow { BC } =\left( 2-(-1),1-3 \right) +\left( 4-2,-2-1 \right) =\left( 3,-2 \right) +\left( 2,-3 \right) =\left( 5,-5 \right)$$
，故選(D)。

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7. 已知平面上三點P(a,b)、Q(-1,2)、R(-2,1)共線，R介於P、Q之間且PQ=2QR，則a-b=?

(A) -5    (B)  -3    (C) -1    (D) 1

解：

由Q、R兩點可求出該直線方程式為y=x+3
P(a,b)經過該方程式，所以b=a+3 ⇒a-b=-3，故選(B)。

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8. 已知f(x)、q(x)為多項式且f(x)=(x³-2x²-3x)q(x)+x²-4，則下列敘述何者為真？
(A) f(x)除以x²-2x-3的餘式為x²-4
(B) f(x)除以x-3的餘式為-4
(C) f(x)除以x+1的餘式為-4
(D) f(x)除以x的餘式為-4

解：

f(x)=(x³-2x²-3x)q(x)+x²-4
=x[(x²-2x-3)q(x)+x]-4
，故選(D)。

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解：

3720 = 360×10+120
繞一圈長度=10π，繞120度相當於120/360=(1/3)圈=10π/3
共計10π×10+10π/3=314+10.5=324.5
，故選(B)。

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解：

tanθ=(-3/4)⇒sinθ=-3/5, cosθ=4/5
因此(cosθ+1)/sinθ= (9/5)/(-3/5)= -3，故選(A)。

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解：

sin2015°=sin(360°×5+215°)= sin215° = sin(180°+35°) = sin(-35°) = -sin(35°)，故選(B)。

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解：

$$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \cos { \theta  } =5\times 2\times \cos { 120° } \\ =10\times \frac { -1 }{ 2 } =-5$$ ，故選(B)。

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解：

(A) 半徑是2不是4

(B) x²+6x+(y-1)²-7=0⇒(x+3)²+(y-1)²=16，圓心在第二象限

(C) (x-3)²+y²+4y=12⇒(x-3)²+(y+2)²=16

(D) x²-8x+y²+4y=16⇒(x-4)²+(y+2)²=36，半徑不是4

故選(C)。

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解：

由題意可知: 欲求600x+1000y之最大值
先求出所圍區域之頂點座點，再套入600x+1000y
$$\begin{cases} x=3y \\ x+y=500 \end{cases}\Rightarrow x=375,y=125\Rightarrow 600x+1000y=350000$$
，故選(B)。

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解：

$${ 1.1 }^{ n }=11\Rightarrow n\log { 1.1 } =\log { 11 } =\log { \left( 1.1\times 10 \right)  } \\ \Rightarrow n\log { 1.1 } =\log { 1.1 } +\log { 10 } \\ \Rightarrow n=\frac { \log { 1.1 } +1 }{ \log { 1.1 }  } =\frac { 1.0414 }{ 0.0414 } =25.15$$
，故選(C)。

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解：

$${ 8 }^{ x }{ \left( \sqrt { 6 }  \right)  }^{ y }={ 2 }^{ 9 }{ 3 }^{ 3 }\Rightarrow \log { { 8 }^{ x }{ \left( \sqrt { 6 }  \right)  }^{ y } } =\log { { 2 }^{ 9 }{ 3 }^{ 3 } } \\ \Rightarrow \log { { 8 }^{ x } } +\log { { \left( \sqrt { 6 }  \right)  }^{ y } } =\log { { 2 }^{ 9 } } +\log { { 3 }^{ 3 } } \\ \Rightarrow x\log { 8 } +y\log { \sqrt { 6 }  } =9\log { 2 } +3\log { 3 } \\ \Rightarrow x\log { { 2 }^{ 3 } } +y\log { { 6 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } =9\log { 2 } +3\log { 3 } \\ \Rightarrow 3x\log { 2 } +\frac { y }{ 2 } \log { 6 } =9\log { 2 } +3\log { 3 } \\ \Rightarrow 3x\log { 2 } +\frac { y }{ 2 } \left( \log { 2 } +\log { 3 }  \right) =9\log { 2 } +3\log { 3 } \\ \Rightarrow \left( 3x+\frac { y }{ 2 }  \right) \log { 2+ } \frac { y }{ 2 } \log { 3 } =9\log { 2 } +3\log { 3 } \\ \Rightarrow \begin{cases} 3x+\frac { y }{ 2 } =9 \\ \frac { y }{ 2 } =3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=6 \end{cases}\Rightarrow x-y=-4$$
，故選(C)。

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17. 已知△ABC中，a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對邊長，若a=6，∠B=105°，∠C=30°，則c=？

(A) 2√3    (B) 3√2   (C) 2√6    (D) 3√6

解：

6²π×(40/360) = 36π×(1/9)=4π，故選(C)。

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18. 用0,1,2,7四個數字組成四位數(數字不能重複)，共可得幾個不同的四位數？

(A) 17   (B) 18   (C) 23    (D) 24

解：

千位數不能為0，否則就不是四位數，有三種選擇
百位數有三種選擇、十位數有兩種選擇、個位僅剩一個數字
所以共有3×3×2×1=18，故選(B)。

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19. 已知圓x²+y²=9與直線y=x-k，則當k為下列何值時，圓與直線不相交？
(A) -5   (B) 0   (C) 2    (D) 4

解：

$${ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=9\Rightarrow { x }^{ 2 }+{ \left( x-k \right)  }^{ 2 }=9\Rightarrow 2{ x }^{ 2 }-2kx+{ k }^{ 2 }-9=0\\ \Rightarrow x=\frac { 2k\pm \sqrt { { 4k }^{ 2 }-8\left( { k }^{ 2 }-9 \right)  }  }{ 4 } =\frac { 2k\pm \sqrt { { -4k }^{ 2 }+72 }  }{ 4 } \\ \Rightarrow { -4k }^{ 2 }+72\ge 0\Rightarrow 18\ge { k }^{ 2 }\Rightarrow 3\sqrt { 2 } \ge k\ge -3\sqrt { 2 }$$
，-5不在範圍內，故選(A)。

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20. 已知直線L的方程式為3x-y=k。若平面上兩點P(-1,1)、Q(2,-1)分別在直線L的左右側，則k的範圍為何？

(A) -4<k<7    (B) -7<k<4    (C) 7<k 或k<-4    (D) 4<k或k<-7

解：

令f(x,y)=3x-y-k
P、Q兩點不同側，代表f(P)×f(Q)<0
即(-3-1-k)×(6+1-k)<0⇒(-4-k)(7-k)<0⇒(k-7)(k+4)<0
⇒-4<k<7，故選(A)。

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解：

所有可能減去「取出皆為白球的機率」
$$1-\frac { { C }_{ 3 }^{ 8 } }{ { C }_{ 3 }^{ 10 } } =1-\frac { \frac { 8! }{ 5!3! }  }{ \frac { 10! }{ 7!3! }  } =1-\frac { 56 }{ 120 } =1-\frac { 7 }{ 15 } =\frac { 8 }{ 15 }$$
，故選(D)。

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解：

相當於求50a+10b+5c=100，有多少組解？其中a, b, c皆為大於等0的整數。
(1)當a=2，只有一解
(2)當a=1，b=5,4,3,2,1,0有6組解
(3)當a=0，b=10,9, ...,1,0有11組解
共有1+6+11 = 18，故選(C)。

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解：

x³-x²-x=0⇒x(x²-x-1)=0⇒x=0, 或x=(1±√5)/2 ⇒x=0, 1.62, -0.62

1.62介於1與2之間，故選(D)。

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解：

令DB=a、BC=h，如下圖

∠CDB=60°⇒(√3)a=h

∠CAB=30°⇒(√3)h=2+a⇒a=(√3)h-2 代入上式

⇒(√3)[(√3)h-2]=h⇒3h-2√3=h⇒h=√3

，故選(A)。

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25. 設-2、-1、0、1、2的標準差為σ₁，18、19、20、21、22的標準差為σ₂，48、49、50、50、53的標準差為σ₃，則下列敘述何者為真？

(A) σ₁=σ₂<σ₃   (B) σ₁=σ₂<σ₃   (C) σ₁=σ₂<σ₃  (D) σ₁=σ₂<σ₃

解：

第1組數字與其均值(0)的差值分別為 2、1、0、1、2
第2組數字與其均值(20)的差值分別為 2、1、0、1、2
第3組數字與其均值(50)的差值分別為 2、1、0、0、3
各組數字的差值平方和為10、10、14，所以σ₁=σ₂<σ₃
，故選(A)。

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