101學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$3{ x }^{ 2 }-3x\le 6\Rightarrow { x }^{ 2 }-x-2\le 0\Rightarrow (x-2)(x+1)\le 0\Rightarrow -1\le x\le 2$$ ，故選(C)。

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解：
x=0, y=1,x+y=2  三條直線的交點為(0,1),  (0,2), (1,1)，交點代入2x-y，可得-1, -2,1。因此最大值為1，故選(C)。

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解： $${ x }^{ 2 }-2x-4y+1=0\Rightarrow y=\frac { { \left( x-1 \right)  }^{ 2 } }{ 4 } \Rightarrow 頂點V=(1,0)\\ y=1\Rightarrow { x }^{ 2 }-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\Rightarrow A=(3,1),B=(-1,1)\\ \triangle ABV面積=\overline { AB } \times \left( V至\overline { AB } 距離 \right)\div2 =4\times1\div2=2$$ ，故選(B)。

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解： $$\lim _{ x\rightarrow 6 }{ \frac { f\left( x \right) -f\left( 6 \right)  }{ x-6 }  } =f^{ ' }\left( 6 \right) ={ 6 }^{ 2 }-6\times 6=0$$ ，故選(A)。

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解： $$\log { 1 } +\log { 2 } +\log { 3 } +\log { 4 } +\log { 5 } -\log { 6 } \\ =0+\log { 2 } +\log { 3 } +2\log { 2 } +\left( 1-\log { 2 }  \right) -\left( \log { 2 } +\log { 3 }  \right) \\ =1+\log { 2 } =1+0.301=1.301$$ ，故選(B)。

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解： $$kx+3y+10=0\Rightarrow y=\frac { -kx-10 }{ 3 } \\ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=4\Rightarrow { x }^{ 2 }+{ \left( \frac { -kx-10 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }=4\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+\left( \frac { { k }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+20kx+100 }{ 9 }  \right) =4\Rightarrow \left( 9+{ k }^{ 2 } \right) { x }^{ 2 }+20kx+64=0\\ \Rightarrow { \left( 20k \right)  }^{ 2 }-4\times \left( 9+{ k }^{ 2 } \right) \times 64<0\Rightarrow 400{ k }^{ 2 }-256{ k }^{ 2 }-2304<0\\ \Rightarrow 144{ k }^{ 2 }<2304\Rightarrow { k }^{ 2 }<16\Rightarrow -4<k<4$$ ，故選(A)。

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解： $$x=1代入切線方程式\Rightarrow y-2=0\Rightarrow y=2\Rightarrow 切點坐標(1,2)\\ 切線方程式y-2=4\left( x-1 \right) \Rightarrow 切線斜率=4\\ y=a{ x }^{ 2 }+bx\Rightarrow y'=2ax+b\Rightarrow 2a=4\Rightarrow a=2\\ (1,2)代入抛物線\Rightarrow 2=a+b\Rightarrow b=0\Rightarrow 3a-2b=3\times 2-0=6$$ ，故選(B)。

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解： $$P=(-1,1),\quad Q=(2,4)\Rightarrow \overline { PQ } =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =3\sqrt { 2 }$$ ，故選(D)。

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解： $$2\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v } =2\left( a,2 \right) +\left( 3,2a \right) =\left( 2a+3,2a+4 \right) \\ \left( A \right) a=-3\Rightarrow 2\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v } =\left( -3,-2 \right) 與\overrightarrow { w } =\left( -1,2 \right) 不平行\\ \left( B \right) \left( 2\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v }  \right) \cdot \overrightarrow { w } =0\Rightarrow \left( 2a+3,2a+4 \right) \cdot \left( -1,2 \right) =2a+5=0\Rightarrow a=\frac { -5 }{ 2 } \\ \left( C \right) \left| 2\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v }  \right| =5\Rightarrow { \left( 2a+3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 2a+4 \right)  }^{ 2 }=25\Rightarrow a=0,\frac { -7 }{ 2 } \\ \left( D \right) a=0\Rightarrow \left| 2\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v }  \right| =\left| \left( 3,4 \right)  \right| \neq \left| \left( -1,2 \right)  \right|$$ ，故選(B)。

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解：
a+2i為一根，則另一根為a-2i。兩根之和=2a=-2$\Rightarrow a=-1, 兩根之積=c\Rightarrow c=5$，故選(D)。

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解： $$\frac { 2a }{ 2 } =\frac { 18 }{ 2a } \Rightarrow a=\pm 3\\ a=3\Rightarrow 數列a+4,2,a+7=7,2,10非等比數列\\ a=-3\Rightarrow 數列a+4,2,a+7=1,2,4為等比數列\\ \Rightarrow a=-3$$ ，故選(B)。

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解：
$$由常數項2可知 x^3+ax^2+bx+2=(x^2+x+1)(x+2)=x^3+3x^2+3x+2\\ \Rightarrow a=b=3 \Rightarrow a+b=6$$ ，故選(D)。

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解： $$f\left( x \right) =x^{ 5 }+ax^{ 4 }+bx^{ 3 }+5x^{ 2 }+2x-5=(x-1)(x+1)Q(x)\\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( 1 \right) =0 \\ f\left( -1 \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1+a+b+5+2-5=0 \\ -1+a-b+5-2-5=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b+3=0 \\ a-b-3=0 \end{cases}\\ \Rightarrow a=0,b=-3\Rightarrow 3a+b=-3$$ ，故選(A)。

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解： $$-\csc{160}=-\csc{20}=-\sec{70}=\sec{70}=\sec{\left(70+180\right)}=\sec{250}$$
，故選(D)。

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解： $$\overline{PQ}的中點坐標A=\left(\frac{2-2}{2},\frac{4-2}{2}\right)=(0,1)；\\\overline{PQ}的斜率=\frac{-2-4}{2+2}=\frac{-3}{2}\\點A代入直線\Rightarrow 3+b=0\Rightarrow b=-3\\直線斜率=\frac{-a}{3}, \overline{PQ}斜率與直線L斜率乘積=-1\Rightarrow \frac{-3}{2}\times \frac{-a}{3}=-1 \Rightarrow a=-2\\ \Rightarrow a+b=-2-3=-5$$ ，故選(B)。

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解： $$\overrightarrow{AB}=(a-1,1)與\overrightarrow{CD}=(-b,-1)平行\Rightarrow \frac{a-1}{1}=\frac{-b}{-1}\Rightarrow a-b=1\\ \overrightarrow{BD} =(-a,-4)與\overrightarrow{AC}=(b-1,-2)垂直\Rightarrow -a(b-1)+8=0\\由以上兩式可知b^2=9\Rightarrow b=3(b為正數), a=4\Rightarrow a+2b=4+6=10$$ ，故選(D)。

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解：
甲、乙、丙、丁四人為A組，其他四人為B組。A組至少2人,其他由B組組合委員會，可以有
2+3、3+2、4+1三種組合方式，共有C(4,2)C(4,3)+C(4,3)C(4,2)+C(4,4)C(4,1) = 24+24+4=52種，故選(C)。

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解：
連續擲骰子三次，無論出現什麼點數，機率都是1/216
三次點數和為5的可能是1+1+3、1+3+1、1+2+2、2+1+2、2+2+1、3+1+1，有六種可能，所以機率為6/216=1/36，故選(C)。

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解： $$f'(x)=3x^2+6x \Rightarrow f(x)=x^3+3x^2+c, 其中c為常數\\f(1)=3\Rightarrow 1+3+c=3 \Rightarrow c=-1 \Rightarrow f(x)=x^3+3x^2-1 \\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 }{ f\left( x \right) dx } =\int _{ 0 }^{ 2 }{ \left( x^{ 3 }+3x^{ 2 }-1 \right) dx } =\left. \left( \frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }-x \right)  \right| _{ 0 }^{ 2 }=4+8-2=10$$ ，故選(A)。

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解： $${ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2ay=0\Rightarrow { x }^{ 2 }+{ \left( y-a \right)  }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\Rightarrow 圓心=(0,a),半徑=a\\ 圓心代入y={ 2 }^{ x }\Rightarrow a={ 2 }^{ 0 }=1\\ 圓心至直線L的距離=半徑\Rightarrow \frac { -4+k }{ 5 } =1\Rightarrow k=9\\ \log _{ 2 }{ a } +\log _{ 5 }{ { \left( k-4 \right)  }^{ 2 } } =\log _{ 2 }{ 1 } +\log _{ 5 }{ { 5 }^{ 2 } } =0+2=2$$ ，故選(B)。

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解： $$\sin ^{ 2 }{ 210° } +\cos ^{ 2 }{ 570° } +\sec ^{ 2 }{ 930° } -\tan ^{ 2 }{ 1290° } +\csc ^{ 2 }{ 1650 } -\cot ^{ 2 }{ 2010 } \\ =\sin ^{ 2 }{ 210° } +\cos ^{ 2 }{ 210° } +\sec ^{ 2 }{ 210° } -\tan ^{ 2 }{ 210° } +\csc ^{ 2 }{ 210 } -\cot ^{ 2 }{ 210 } \\ =\left( \sin ^{ 2 }{ 210° } +\cos ^{ 2 }{ 210° }  \right) +\left( \sec ^{ 2 }{ 210° } -\tan ^{ 2 }{ 210° }  \right) +\left( \csc ^{ 2 }{ 210 } -\cot ^{ 2 }{ 210 }  \right) \\ =1+1+1=3$$ ，故選(D)。

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解：用餘弦定理兩次求解： $${ \overline { BC }  }^{ 2 }={ \overline { AC }  }^{ 2 }+{ \overline { AB }  }^{ 2 }-2\overline { AC } \overline { AB } \cos { A } \Rightarrow 13=9+{ \overline { AB }  }^{ 2 }-3\overline { AB } \\ \Rightarrow \left( \overline { AB } -4 \right) \left( \overline { AB } +1 \right) =0\Rightarrow \overline { AB } =4(距離不可為負值)\\ { \overline { AB }  }^{ 2 }={ \overline { AC }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }-2\overline { AC } \overline { BC } \cos { C } \Rightarrow 16=9+13-6\sqrt { 13 } \cos { C } \\ \Rightarrow \cos { C } =\frac { 6 }{ 6\sqrt { 13 }  } =\frac { 1 }{ \sqrt { 13 }  }$$ ，故選(C)。

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解： $$\frac { \pi  }{ 2 } <\theta <\pi ,\quad \cos { \theta  } =\frac { -3 }{ 5 } \Rightarrow \sin { \theta  } =\frac { 4 }{ 5 } \\ \Rightarrow \sin { 2\theta  } =2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =2\times \frac { 4 }{ 5 } \times \left( \frac { -3 }{ 5 }  \right) =\frac { -24 }{ 25 } \\ \Rightarrow \cos { 2\theta  } =2\cos ^{ 2 }{ \theta  } -1=2\times \frac { 9 }{ 25 } -1=\frac { -7 }{ 25 } \\ \Rightarrow \sin { 2\theta  } <\cos { \theta  } <\cos { 2\theta  } <\sin { \theta  }$$ ，故選(C)。

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解： $$\frac { \left| 3x+y-4 \right|  }{ \sqrt { 3^{ 2 }+1^{ 2 } }  } =\frac { \left| x+3y-4 \right|  }{ \sqrt { 1^{ 2 }+3^{ 2 } }  } \Rightarrow 3x+y-4=\pm \left( x+3y-4 \right) \\ 令L_{ 3 }:3x+y-4=\left( x+3y-4 \right) \Rightarrow x-y=0;\\ 令L_{ 4 }:3x+y-4=-\left( x+3y-4 \right) \Rightarrow x+y-2=0\\ 現在要判斷L_{ 3 }、L_{ 4 }哪一條是銳角的角平分線!\\ 在L_{ 1 }上任找一點P(0,4),分別計算到L_{ 3 }及L_{ 4 }的距離\\ 到L_{ 3 }的距離=\left| \frac { -4 }{ \sqrt { 2 }  }  \right| =2\sqrt { 2 } ,到L_{ 4 }的距離=\left| \frac { 2 }{ \sqrt { 2 }  }  \right| =\sqrt { 2 } \\ 點P到L_{ 4 }的距離比較近,所以L_{ 4 }是銳角的角平分線$$ ，故選(A)。

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解：
八個數字任排減去第1個數字為0的八位數共有 $$\frac{8!}{2!2!4!}-\frac{7!}{2!4!}=420-105=315$$ ，故選(C)。

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