105學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：
a=3/2
x=0⇒-2y+6=0⇒y=3=b
y=0⇒3x+6=0⇒x=-2=c
d=2×3÷2=3
ab-cd = (3/2)×3-(-2)×3 = 9/2+6 = 21/2

，故選(D)。

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解：

sinX的週期為2π⇒sin²X的週期為π
cosX的週期為2π⇒cos²X的週期為π
sinX+cosX的週期為2π⇒sin²X+cos²X的週期為π
，故選(B)。 

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解：
$$\sqrt { { a }^{ 2 }-3bc } =b-c\Rightarrow { a }^{ 2 }-3bc={ \left( b-c \right)  }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-2bc+{ c }^{ 2 }\\ \Rightarrow { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }+bc={ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-2bc\cos { \theta  } \\ \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { -1 }{ 2 }$$
，故選(B)。 

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解： $$\sec { \theta  } +\csc { \theta  } =1\Rightarrow \frac { 1 }{ \cos { \theta  }  } +\frac { 1 }{ \sin { \theta  }  } =1\\ \Rightarrow { \left( \frac { 1 }{ \cos { \theta  }  } +\frac { 1 }{ \sin { \theta  }  }  \right)  }^{ 2 }=1\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ \theta  }  } +\frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta  }  } +\frac { 2 }{ \sin { \theta  } \cos { \theta  }  } =1\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ \theta  } \sin ^{ 2 }{ \theta  }  } +\frac { 2 }{ \sin { \theta  } \cos { \theta  }  } =1\\ \Rightarrow { \left( \frac { 1 }{ \sin { \theta  } \cos { \theta  }  } +1 \right)  }^{ 2 }=2\Rightarrow \frac { 1 }{ \sin { \theta  } \cos { \theta  }  } =\pm \sqrt { 2 } -1$$ ，secθ與cscθ為異號，故選(C)。 

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5. 設a=cos40°cos80°cos160°，b=sin10°cos20°cos40°，則a+b之值為何？

(A)-1/4     (B)0      (C)1/4       (D)1/2

解：
$$a+b=\cos { 40° } \cos { 80° } \cos { 160° } +\sin { 10° } \cos { 20° } \cos { 40° } \\ =\cos { 40° } \left( \cos { 80° } \cos { 160° } +\sin { 10° } \cos { 20° }  \right) \\ =\cos { 40° } \left( \cos { 80° } \left( -\cos { 20° }  \right) +\sin { 10° } \cos { 20° }  \right) \\ =\cos { 20° } \cos { 40° } \left( -\cos { 80° } +\sin { 10° }  \right) \\ =\cos { 20° } \cos { 40° } \times 0=0$$
，故選(B)。 

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$$6. 已知向量\overrightarrow { a } =(-6,8)且與 \overrightarrow { b }之夾角為 60°，則向量\overrightarrow { a }在 \overrightarrow { b }上的正射影長為何？$$ (A)  5        (B) 7         (C) 5√3         (D) 10

解：

向量a長度×cos 60°=√(36+64)×½=5

，故選(A)。 

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7.  已知a、b為實數，若f(x)=x³+ax²+bx-6，g(x)=x²-7x+6，且f(x)可被g(x)整除，求2a+3b之值。

(A)  23        (B) 36         (C) 39         (D) 45

解：
f(x)可被g(x)整除⇒f(x)=m(x)g(x)⇒x³+ax²+bx-6=mx(x-6)(x-1)
f(1)=0⇒a+b=5
f(6)=0⇒6a+b=-35
由此可求得a=-8,   b=13⇒2a+3b=-16+39=23，故選(A)。 

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$$8. 知已A, B, C為常數，且對任意x均滿足\frac { 3{ x }^{ 2 }+9x-3 }{ \left( x-1 \right) { \left( x+2 \right)  }^{ 2 } } \\=\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x+2 } +\frac { C }{ { \left( x+2 \right)  }^{ 2 } } ，求B之值？$$ (A)-1    (B) 0   (C)1    (D)2

解：
$$\frac { 3{ x }^{ 2 }+9x-3 }{ \left( x-1 \right) { \left( x+2 \right)  }^{ 2 } } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x+2 } +\frac { C }{ { \left( x+2 \right)  }^{ 2 } } \\ x=0\Rightarrow \frac { -3 }{ -4 } =\frac { A }{ -1 } +\frac { B }{ 2 } +\frac { C }{ 4 } \Rightarrow 4A-2B-C=-3\\ x=-1\Rightarrow \frac { -9 }{ -2 } =\frac { A }{ -2 } +\frac { B }{ 1 } +\frac { C }{ 1 } \Rightarrow A-2B-2C=-9\\ x=2\Rightarrow \frac { 27 }{ 16 } =\frac { A }{ 1 } +\frac { B }{ 4 } +\frac { C }{ 16 } \Rightarrow 16A+4B+C=27\\ \begin{cases} 4A-2B-C=-3 \\ A-2B-2C=-9 \\ 16A+4B+C=27 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 6B+7C=33 \\ 12B+5C=39 \end{cases}\Rightarrow B=2$$
，故選(D)。 

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解：
當a=0時，代入第(1)式⇒0-0=5，矛盾！
當a=1時，第(1)式⇒x-y=5，第(2)式⇒x-y=3，矛盾！
$a=2\Rightarrow \begin{cases} 2x-2y=5 \\ 2x-y-z=3 \\ -y+z=1 \end{cases}\Rightarrow (1)-(2)\Rightarrow \begin{cases} -y+z=2 \\ -y+z=1 \end{cases}$，亦矛盾。

故選(D)。 

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解：
$$\left| \begin{matrix} 2a & b & b \\ 6c & 3c & 3b \\ 2c-2a & c-a & c-a \end{matrix} \right| \\ =6ac(c-a)+6bc(c-a)+6{ b }^{ 2 }(c-a)-6bc(c-a)-6bc(c-a)-6ab(c-a)\\ =6ac(c-a)+6{ b }^{ 2 }(c-a)-6bc(c-a)-6ab(c-a)\\ =6(c-a)\left[ ac+{ b }^{ 2 }-bc-ab \right] =6(c-a)\left[ a(c-b)+b(b-c) \right] \\ =6(c-a)\left[ -a(b-c)+b(b-c) \right] =6(c-a)(b-a)(b-c)\\ =-6(a-b)(b-c)(c-a)=-6\times -2=12$$
，故選(D)。 

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解：
$${ z }_{ 1 }^{ 2 }{ z }_{ 2 }^{ 4 }={ \left( \sqrt { 3 } +i \right)  }^{ 2 }{ \left( 1+i \right)  }^{ 4 }=\left( 2+2\sqrt { 3 } i \right) (-4)=-8-8\sqrt { 3 } i\\ =16\left( \frac { -1 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } i \right)$$
，故選(A)。 

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解：

A=(1,3) 、B=(2,2)、C=(2,1)、D(2,0)四點符合條件，故選(B)。 

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解：
$$\begin{cases} a+c+e=168 \\ b+d+f=84 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+a{ r }^{ 2 }+a{ r }^{ 4 }=168 \\ ar+a{ r }^{ 3 }+a{ r }^{ 5 }=84 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a\left( 1+{ r }^{ 2 }+{ r }^{ 4 } \right) =168 \\ ar\left( 1+{ r }^{ 2 }+{ r }^{ 4 } \right) =84 \end{cases}\Rightarrow \frac { a\left( 1+{ r }^{ 2 }+{ r }^{ 4 } \right)  }{ ar\left( 1+{ r }^{ 2 }+{ r }^{ 4 } \right)  } =\frac { 168 }{ 84 } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ r } =2\Rightarrow r=\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow a\left( 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 16 }  \right) =168\\ \Rightarrow a=128\Rightarrow d=a{ r }^{ 3 }=128\times \frac { 1 }{ 8 } =16$$
，故選(C)。 

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解：
$$\log _{ \sqrt { 6 }  }{ 36 } -\log _{ \frac { 1 }{ 6 }  }{ 6 } +\log _{ 6 }{ \sqrt { 12 }  } \\ =\frac { \log { 36 }  }{ \log { \sqrt { 6 }  }  } -\frac { \log { 6 }  }{ \log { \frac { 1 }{ 6 }  }  } +\frac { \log { \sqrt { 12 }  }  }{ \log { 6 }  } \\ =\frac { 2\log { 6 }  }{ \frac { 1 }{ 2 } \log { 6 }  } -\frac { \log { 6 }  }{ -\log { 6 }  } +\frac { \frac { 1 }{ 2 } \log { 12 }  }{ \log { 6 }  } \\ =4+1+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( 2\log { 2 } +\log { 3 }  \right)  }{ \log { 2 } +\log { 3 }  } =5+\frac { \log { 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \log { 3 }  }{ \log { 2 } +\log { 3 }  } \\ =5+\frac { p+\frac { q }{ 2 }  }{ p+q } =5+\frac { 2p+q }{ 2\left( p+q \right)  }$$
，故選(A)。 

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解：

真分數開的次方越多，數字變得越大，故選(A)。 

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16.  試求139⁶除以4的餘數為何？

(A)3       (B)2      (C)1     (D)0

解：
139⁶=(34×4+3)⁶⇒求139⁶除以4的餘數=求3⁶除以4的餘數
3⁶=27×27=(6×4+3)(6×4+3)求3⁶除以4的餘數=求3²除以4的餘數 ⇒9=4×2+1
，故選(C)。 

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17. 若同時擲兩粒公正的骰子，則下列何者正確？

(A)點數和等於5的機率大於點數和等於8的機率

(B)點數和等於6的機率大於點數和等於7的機率

(C)點數和等於7的機率大於點數和等於9的機率

(D)點數和等於9的機率大於點數和等於8的機率

解：
擲兩粒公正的骰子共有6×6=36種情形
點數和為5的情形{(1,4)(2,3)(4,1)(3,2)}有4種
點數和為6的情形{(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)}有5種
點數和為7的情形{(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)}有6種
點數和為8的情形{(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)}有5種
點數和為9的情形{(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)}有4種
，故選(C)。 

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18.  連續投擲一公正硬幣四次，觀察其出現正反面的情形。已知E為第二次投擲出現正面的事件，F為第三次投擲出現正面的事件，G為第四次投擲中至少出現兩次正面的事件。若p(A)表示事件A發生的機率，則下列敘述何者正確？

(A)p(E)=1/8      (B)p(E∩G')=1/8      (C)p(F|E)=1/4    (D)p(G)=11/16

解：
E={X正XX}共有2×2×2=8種
F={XX正X}共有2×2×2=8種 
G=全部減去(沒有正面或只有一次面)=全-{反反反反、正反反反、反正反反、反反正反、反反反正}=16-5=11種
(A) p(E)=8/16=1/2
(B) G'=沒有正面或只有一次面={反反反反、正反反反、反正反反、反反正反、反反反正}⇒E∩G'={反正反反}⇒p(E∩G')=1/16
(C)p(F|E)=p(F∩E)/p(E)=4/8=1/2
(D) p(G)=11/16

，故選(D)。 

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解：
挑選數字較集中，與平均值的距離較小者
，故選(C)。 

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解：
圓方程式: (x-1)²+(y-1)²=1 ⇒ 圓心O=(1,1)，半徑r=1
圓與直線的交點A=(1,0)、B=(0,1)
(A)線段AB長度=√2
(B)O至AB距離=1/√2
(C)面積=1×1÷2=1/2
(D)A=(1,0)、B=(0,1)
，故選(C)。 

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解：
點(3,6)至兩焦點的距離和=3+5=8
計算各點至兩焦點的距離和:
(A) 5+3 = 8
(B) √5 +√5 ≠8
(C) 1+3 ≠8
(D) √5 +√2 ≠8
，故選(A)。 

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解：
$$f\left( x \right) =\frac { x\left( 2x-1 \right) { \left( 13x+2 \right)  }^{ 4 } }{ \sqrt { 27x+9 }  } =\frac { \left( 2{ x }^{ 2 }-x \right) { \left( 13x+2 \right)  }^{ 4 } }{ \sqrt { 27x+9 }  } \\ =\left[ \left( 2{ x }^{ 2 }-x \right) { \left( 13x+2 \right)  }^{ 4 } \right] { \left( 27x+9 \right)  }^{ \frac { -1 }{ 2 }  }\\ \Rightarrow f^{ \prime  }\left( x \right) =\left[ \left( 4x-1 \right) { \left( 13x+2 \right)  }^{ 4 }+\left( 2{ x }^{ 2 }-x \right) 4{ \left( 13x+2 \right)  }^{ 3 }\times 13 \right] { \left( 27x+9 \right)  }^{ \frac { -1 }{ 2 }  }+\\ \left[ \left( 2{ x }^{ 2 }-x \right) { \left( 13x+2 \right)  }^{ 4 } \right] \left[ \frac { -1 }{ 2 } { \left( 27x+9 \right)  }^{ \frac { -3 }{ 2 }  }\times 27 \right] \\ \Rightarrow f^{ \prime  }\left( 0 \right) =\left[ -1\times { 2 }^{ 4 }+0 \right] \times { 9 }^{ \frac { -1 }{ 2 }  }+0=-16\times \frac { 1 }{ 3 }$$
，故選(A)。 

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解：
$$\int _{ -1 }^{ 3 }{ \left| 2x-1 \right| dx=\int _{ -1 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }{ \left( 1-2x \right) dx } +\int _{ \frac { 1 }{ 2 }  }^{ 3 }{ \left( 2x-1 \right) dx }  } \\ =\left( x-{ x }^{ 2 } \right) { | }_{ -1 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }+\left( { x }^{ 2 }-x \right) { | }_{ \frac { 1 }{ 2 }  }^{ 3 }=\left[ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right) -\left( -2 \right)  \right] +\left[ \left( 6 \right) -\left( -\frac { 1 }{ 4 }  \right)  \right] \\ =\frac { 9 }{ 4 } +\frac { 25 }{ 4 } =\frac { 34 }{ 4 } =\frac { 17 }{ 2 }$$
，故選(B)。 

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解：
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { 2{ n }^{ 2 }+1 }{ n } -\frac { 2{ n }^{ 2 }+n+2 }{ n+2 }  \right)  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { (2{ n }^{ 2 }+1)(n+2) }{ n(n+2) } -\frac { n(2{ n }^{ 2 }+n+2) }{ n(n+2) }  \right)  } \\ =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { 3{ n }^{ 2 }-n+2 }{ { n }^{ 2 }+2n }  \right)  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { 3{ n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } }  \right)  } =3$$
，故選(D)。 

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(A) 11/4   (B) 27/4   (C) 91/4   (D) 221/4

解：

f(x)=g(x)⇒x³+3x²=4 ⇒x³+3x²-4=0 ⇒ (x-1)(x²+4x+4)=0
⇒(x-1)(x+2)²=0 ⇒x=1,-2⇒求出交點A=(-2,4)、B=(1,4)
封閉區域面積=
$$\int _{ -2 }^{ 1 }{ 4-({ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 })dx= } \int _{ -2 }^{ 1 }{ 4-{ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }dx } \\ =\left( 4x-\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 }-{ x }^{ 3 } \right) { | }_{ -2 }^{ 1 }=\frac { 11 }{ 4 } +4\\ =\frac { 27 }{ 4 }$$
，故選(B)。 

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-- end --