100學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

此函數為一直線，並經過(0,1)及(0.5, 0)，因此不會經過第三象限，故選(C)。

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解：

甲有四種可選，乙只能選剩下的三種，共有4x3=12，故選(C)。

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解：
小明與小華同一組只有一種分組法, 全部有C(4,2)/2=3種，因此兩人不同組有3-1=2種，故選(B)。

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解：
由小到大排列: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 共12個數字
中位數=第6與第7的平均, 即(3+3)/2=3=a
眾數=出現次數最多的就是2=b
(a,b)=(3,2)，故選(D)。

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解： $$72\times \frac{4}{10}+81\times \frac{3}{10}+a\times \frac{3}{10}=75\Rightarrow \frac{531+3a}{10}=75\Rightarrow a=73$$ ，故選(C)。

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解：

首項a=5, 公差d=7, 因此第101項=5+100x7=705，故選(D)。

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解： $$\begin{cases} 3x-7y=11 \\ 3y-7x=11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3x-7y=11 \\ -7x+3y=11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 21x-49y=77 \\ -21x+9y=33 \end{cases}\Rightarrow -40y=110\\ \Rightarrow y=\frac { -110 }{ 40 } =\frac { -11 }{ 4 } \Rightarrow 3x+\frac { 77 }{ 4 } =11\Rightarrow 3x=\frac { -33 }{ 4 } \Rightarrow x=\frac { -11 }{ 4 }$$ ，故選(D)。

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解： $$\sin { \frac { \pi  }{ 3 }  } \cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } +\tan { \frac { \pi  }{ 4 }  } \cot { \left( -\frac { \pi  }{ 4 }  \right)  } +\sin { \left( -\frac { 11\pi  }{ 6 }  \right)  } \cos { \frac { \pi  }{ 3 }  } \\ =\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \times \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } -1+\sin { \frac { \pi  }{ 6 } \times \frac { 1 }{ 2 }  } =\frac { 3 }{ 4 } -1+\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \\ =-\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } =0$$ ，故選(C)。

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解： $$\sin { \frac { 5\pi  }{ 3 }  } +\cos { \frac { 5\pi  }{ 3 }  } =\sin { \left( \frac { -\pi  }{ 3 }  \right)  } +\cos { \left( \frac { -\pi  }{ 3 }  \right)  } =\frac { -\sqrt { 3 }  }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1-\sqrt { 3 }  }{ 2 }$$ ，故選(D)。

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解： $$2x\left( x-2 \right) +a\left( x-2 \right) =\left( x-2 \right) \left[ 2x+a \right] =2\left( x-2 \right) \left( x+\frac { a }{ 2 }  \right) \\ \Rightarrow x-2=x+\frac { a }{ 2 } \Rightarrow a=-4$$ ，故選(A)。

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解： $${ a }_{ 1 }=5,d=\frac { 1 }{ 4 } \left( 15秒=\frac { 1 }{ 4 } 分 \right) \Rightarrow { S }_{ 10 }={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 10 }=\frac { \left( { a }_{ 1 }+{ a }_{ 10 } \right) \times 10 }{ 2 } \\ =5\left( 5+5+\frac { 1 }{ 4 } \times 9 \right) =5\times \frac { 49 }{ 4 } =\frac { 245 }{ 4 } =61\frac { 1 }{ 4 } =61分15秒$$ ，故選(D)。

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解： $$(y-0.4162):(0.4177-y)=2:3\Rightarrow 0.8354-2y=3y-1.2486\Rightarrow 5y=2.0840\\ \Rightarrow y=0.4168$$ ，故選(B)。

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解： $$M\left( -1,2 \right) =\left( \frac { a+3 }{ 2 } ,\frac { 0+b }{ 2 }  \right) \Rightarrow a=-5,b=4\\ A到y軸距離+B到x軸的距離=\left| -5 \right| +\left| 4 \right| =9$$ ，故選(A)。

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解： $$\sin { A } :\sin { B } :\sin { C } =\overline { BC } :\overline { AC } :\overline { AB } =1:\sqrt { 3 } :2\\ \Rightarrow \overline { BC } =K,\overline { AC } =\sqrt { 3 } K,\overline { AB } =2K\\ \Rightarrow 2\sqrt { 3 } \overline { BC } =2\sqrt { 3 } K,2\overline { AC } =2\sqrt { 3 } K,\sqrt { 3 } \overline { AB } =2\sqrt { 3 } K\\ \Rightarrow 2\sqrt { 3 } \overline { BC } =2\overline { AC } =\sqrt { 3 } \overline { AB } =2\sqrt { 3 } K$$ ，故選(A)。

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解：
取到紅球的機率=3/5、取到白球的機率=2/5；
第1次取到紅球且第2次取到白球的機率=(3/5)x(2/5)=6/25
第1次取到白球且第2次取到紅球的機率=(2/5)x(3/5)=6/25
兩機率相加=12/25=0.48，故選(D)。

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解： $$在等腰直角\triangle ADC中，\overline{DC}=\overline{AC}=50\\在直角\triangle ABC中，\overline{BC}=\sqrt{3}\times\overline{AC}=50\sqrt{3}\\ \Rightarrow \overline{BD}=\overline{BC}-\overline{DC}=50\sqrt{3}-50=50(\sqrt{3}-1)$$ ，故選(B)。

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解：
過(1,3)及(2,5)的直線方程式 y=2x+1，(a,2)代入可得2=2a+1, 因此a=0.5，故選(C)。

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解： $$\log { \left( 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6 \right)  } =\log { 1 } +\log { 2 } +\log { 3 } +\log { 4 } +\log { 5 } +\log { 6 } \\ =0+\log { 2 } +\log { 3 } +2\log { 2 } +\left( 1-\log { 2 }  \right) +\left( \log { 2 } +\log { 3 }  \right) \\ =1+3\log { 2 } +2\log { 3 } =1+0.903+0.9542=2.8572\approx 3$$ ，故選(B)。

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解：

餘式為0，所以a=3, b=2，a+b=5，故選(C)。

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解：
假設L: y=mx+b，(3,4)與(9,-4)代入，可求得L: y=(-4/3)x+8；(0,0)至L距離=$\frac{24}{5}=4.8$故選(B)。

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解： $${ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2x+2y+1=0\Rightarrow { \left( x+1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y+1 \right)  }^{ 2 }=1$$ ，圓心為(-1,-1), 半徑=1；此圓與x軸及y軸均相切，又(0,1)在x=0上，故選(A)。

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解： $$\begin{cases} 2A+2B=2000 \\ 3A+B=2400 \\ A+B+2C=3200 \end{cases}三式相加\Rightarrow 6A+4B+2C=7600$$ ，故選(B)。

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解：
(a,b)=(3,2),(4,2),...,(12,2)=10種
(a,b)=(4,3),(5,3),...,(12,3)=9種
......
(a,b)=(11,10),(12,10)=2種
(a,b)=(12,11)=1種
共有10+9+8..+1=55種可能
全部有(a,b)=(2,2)..(12,12)=11x11=121，所以機率=55/121<0.5，故選(A)。

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解： $$\left( 58+60+62+64+66+68+73+75+76+78 \right) \div 10=68=\mu \\ 變異數=\frac { 100+64+36+16+4+0+25+49+64+100 }{ 10 } =45.8$$ ，故選(A)。

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解： $$\left( 1,b \right) 代入\Rightarrow a+3b-6\ge 0$$ ，只有(B)符合，故選(B)。

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