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2016年5月25日 星期三

100學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源:技專校院入學測驗中心

238564=4a212323265=(22)a21232215=22a21222115=22a21910=22aa=1920,故選(A)







原點在x+y-9=0的左下側,所以x+y-9<=0;
原點不在2x-3y-3=0的右下側,所以2x-3y-3>=0;
故選(A)。80


a,b|a+b|2=|a|2+|b|2125=80+|b|2|b|2=45|b|=35,故選(C)



(1,1),a=5,b=3c=4,(5,1),(3,1)(x+5)2+(y1)2+(x3)2+(y1)2=P=2a=10,故選(D)


a=(0.4)+(0.4)2+(0.4)3++(0.4)n+0.4a=(0.4)2+(0.4)3++(0.4)n+0.6a=0.4a=23b=(0.2)+(0.2)2+(0.2)3++(0.2)n+0.2b=(0.2)2+(0.2)3++(0.2)n+0.8b=0.2b=14ab=23/14=83,故選(C)



x2+y2+6x8y=0x2+6x+9+y28y+16=25(x+3)2+(y4)2=52(3,4),=5(1,0)42+42=32>52(1,0),故選(A)




f(x)=(x1)5f(x)=5(x1)4f(x)=20(x1)3limx2f(x)f(2)x2=f(2)=20
故選(D)


(B)α=π2,β=0cos(αβ)=0,αβ(C)α=π4,β=3π4sinπ4=sin3π4,αβ(D)α=π,β=0sin(π0)=0,αβ
故選(A)





9個球取3個,有C(9,3)=84種可能;
3個1號球取1個,有3種可能、3個0號球取2個,也有3種可能;
機率為(3x3)/84=3/28,故選(B)





開口向上,所以a>0;
當x=0時,y<0,即c<0;
兩根一正一負,且兩根之和>0,也就是-ab>0,  因此b<0,  abc>0
兩根均為實數解,b²-4ac>0
因此點P在第一象限,故選(A)


f(x)=g(x)(6x2+x15)+ax+b=g(x)(2x3)(3x+5)+ax+b=g(x)×2(x32)×3×(x+53)+ax+b{f(32)=27f(53)=8{32a+b=2753a+b=8a=6,b=18a+b=24,故選(D)




L1:y=mx+b=m=2(0,4)L1b=4L1:y=2x4L2x,y12(1,0)(0,2)L2:y=2x+2L1L2=|4222+12|=65,故選(D)






過D點作一直線,與AB垂直並交於E點,如上圖。\\\overline{AC}=\overline{BC}\Rightarrow \triangle ABC為等腰直角\Rightarrow \angle B=45°\Rightarrow \overline{AB}=3\sqrt{2}\\ \triangle EBD 也是等腰直角\Rightarrow \overline{EB}=\overline{ED}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\\ 在直角\triangle ACD中, {\overline{AD}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{CD}}^2=10\Rightarrow \overline{AD}=\sqrt{10}\\\cos{\theta}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}= \frac{\overline{AB}- \overline{EB}}{\overline{AD}}= \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{5}},故選(D)





\cos ^{ 2 }{ 100° } -\sin ^{ 2 }{ 100° } =\cos { \left( 100°+100° \right)  } =\cos { 200 } °<0,故選(B)




A=\left( 0,\frac { 53 }{ 7 }  \right) ,B=\left( 7,\frac { 115 }{ 7 }  \right) \Rightarrow \overline { AB } =\sqrt { { 7 }^{ 2 }+{ \left( \frac { 168 }{ 7 }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { 49 }^{ 2 }+{ 168 }^{ 2 } }{ { 7 }^{ 2 } }  } \\ =\sqrt { \frac { { 7 }^{ 2 }\left( { 7 }^{ 2 }+{ 24 }^{ 2 } \right)  }{ { 7 }^{ 2 } }  } =\sqrt { { 7 }^{ 2 }+{ 24 }^{ 2 } } =25,故選(C)





\overrightarrow { AB } =(x+13,y+19)\\ \left| \overrightarrow { AB }  \right| =26\Rightarrow \sqrt { { (x+13) }^{ 2 }+{ (y+19) }^{ 2 } } =26\Rightarrow { (x+13) }^{ 2 }+{ (y+19) }^{ 2 }={ 26 }^{ 2 }\\ \Rightarrow x=26\cos { \theta  } -13,y=26\sin { \theta  } -19\\ \overrightarrow { AB } 與\overrightarrow { u } 同方向\Rightarrow \frac { x+13 }{ y+19 } =\frac { 26\cos { \theta  }  }{ 26\sin { \theta  }  } =\frac { 5 }{ 12 } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 5 }{ 13 } ,\sin { \theta  } =\frac { 12 }{ 13 } \\ \Rightarrow x=26\times \frac { 5 }{ 13 } -13=-3,y=26\times \frac { 12 }{ 13 } -19=5\Rightarrow 3x-4y=-9-20=-29\\ ,故選(B)




x-\frac { 3 }{ x } =-1\Rightarrow { x }^{ 2 }+x-3=0\Rightarrow \alpha +\beta =-1,\alpha \beta =-3\\ \left( \frac { 2 }{ \alpha  } +1 \right) \left( \frac { 2 }{ \beta  } +1 \right) =\frac { 4 }{ \alpha \beta  } +2\left( \frac { 1 }{ \alpha  } +\frac { 1 }{ \beta  }  \right) +1=\frac { 4 }{ \alpha \beta  } +2\left( \frac { \alpha +\beta  }{ \alpha \beta  }  \right) +1\\ =\frac { 4 }{ -3 } +2\left( \frac { -1 }{ -3 }  \right) +1=\frac { -4 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } +1=\frac { 1 }{ 3 } ,故選(B)





(8,-3)與(8,1)的對稱軸為y=-1\Rightarrow 拋物線方程式為{(y+1)}^2=4c(x-h)\\ \Rightarrow (8,1)及(2,-2)代入可求得h=0,c=\frac{1}{8}\Rightarrow 頂點坐標=(0,-1),故選(C)




f\left( x \right) =\sqrt { 2x-1 } ={ \left( 2x-1 \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\Rightarrow f^{ ' }\left( x \right) ={ \left( 2x-1 \right)  }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }\\ \int _{ 1 }^{ 5 }{ f^{ '' }\left( x \right)  } dx=f^{ ' }\left( x \right) \left.  \right| _{ 1 }^{ 5 }={ \left( 2x-1 \right)  }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }\left.  \right| _{ 1 }^{ 5 }={ 9 }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }-1=\frac { -2 }{ 3 } ,故選(A)





灰色面積=\triangle ABC+右半曲線面積=\frac { 1 }{ 2 } +\int _{ -1 }^{ 0 }{ { x }^{ 2 } } dx\\=\frac { 1 }{ 2 } +\left( \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right) \left.  \right| _{ -1 }^{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 5 }{ 6 } ,故選(B)




甲乙丙丁四人任意排列,有4!=24種排法;
甲乙丙丁四人任意排列,且甲乙相鄰,有3!x2=12
甲乙丙丁四人任意排列,且甲乙不相鄰,有24-12=12種排法
甲乙丙丁戊己庚七人任意排列,甲乙丙丁排在最前面,後面有三人任意排列有3!=6種排法,
前面四人排列且甲乙不相鄰有12種排法,所以共有12x6=72種排法,故選(B)





z=\cos { 78° } +i\sin { 78° } \Rightarrow { z }^{ 15 }=\cos { 78°\times 15 } +i\sin { 78°\times 15 } =\cos { 1170° } +i\sin { 1170° } \\ =\cos { \left( 1170°-360°\times 3 \right)  } +i\sin { \left( 1170°-360°\times 3 \right)  } =\cos { 90° } +i\sin { 90° } =i,故選(C)




\frac { -1 }{ 5 } <x<\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow \left( x+\frac { 1 }{ 5 }  \right) \left( x-\frac { 2 }{ 3 }  \right) <0\Rightarrow { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 15 } x-\frac { 2 }{ 15 } <0\\ \Rightarrow \left( -\frac { 15 }{ 7 }  \right) \left( { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 15 } x-\frac { 2 }{ 15 }  \right) >0\Rightarrow \left( -\frac { 15 }{ 7 }  \right) { x }^{ 2 }+x+\frac { 2 }{ 7 } >0\\ \Rightarrow a=-\frac { 15 }{ 7 } ,b=\frac { 2 }{ 7 } \Rightarrow 2a+b=\frac { -28 }{ 7 } =-4,故選(B)





\log _{ \sqrt { 2 }  }{ \frac { 3 }{ 2 }  } -\log _{ 2 }{ \frac { 27 }{ 160\sqrt { 2 }  }  } +\log _{ 4 }{ \frac { 36 }{ 25 }  } \\ =2\left( \log _{ 2 }{ 3 } -\log _{ 2 }{ 2 }  \right) -\log _{ 2 }{ \frac { { 3 }^{ 3 } }{ { 5\times 2 }^{ \frac { 11 }{ 2 }  } }  } +\frac { 1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ { \left( \frac { 2\times 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 2 } } \\ =2\left( \log _{ 2 }{ 3 } -1 \right) -\left[ 3\log _{ 2 }{ 3 } -\log _{ 2 }{ 5 } -\frac { 11 }{ 2 }  \right] +\left[ 1+\log _{ 2 }{ 3 } -\log _{ 2 }{ 5 }  \right] \\ =-2+\frac{11}{2}+1= \frac { 9 }{ 2 } ,故選(C)





abc=210,  
410,430,432,
610,630,632,650,652,654,
810,830,832,850,852,854,870,872,874,876,
共20個,故選(D)



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