101學年四技二專統測--數學(D)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{PS}  (3,-2)+(4,-3)+(1,0)=(8,-5) \Rightarrow \overrightarrow{PS}=(-8,5)$$ ，故選(A)。

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解：

將各交點A, B, C, D 代入f, 可得f(A)=0, f(B)=18, f(C)=17, f(D)=10，最大值為18，故選(B)。

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解： $$令D為\overline{AB}中點，坐標為\left(\frac{2}{2},\frac{2}{2}\right)=(1,1)\\ \overrightarrow{AB}=(-2,-4), \overrightarrow{CD}=(2,1-k)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=-4-4+4k=0 \Rightarrow k=2$$ ，故選(D)。

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解： $$\overrightarrow{AB}=(0-1,4-3)=(-1,1)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right| =\sqrt{1+1} =\sqrt{2}$$ ，故選(B)。

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解：

將x=-1,1,2,-2代入f(x)，若結果為零，即為因式。f(-2)=-8+20-2-10=0，故選(D)。

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解：

只有(A)的向量長度為1，故選(A)。

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解： $$\overrightarrow { a } +\overrightarrow { b } =\left( 60+5t,-6 \right) ,\quad \overrightarrow { a } -\overrightarrow { b } =\left( 60-5t,-12 \right) \\ \Rightarrow \frac { 60+5t }{ 60-5t } =\frac { -6 }{ -12 } \Rightarrow 120+10t=60-5t\Rightarrow t=-4$$ ，故選(B)。

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解： $$2x^3-^2-5-2=0\Rightarrow (x+1)(2x+1)(x-2)=0\Rightarrow 三根為2,-1,\frac{-1}{2}$$ ，故選(C)。

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解： $$\sqrt{128}-\sqrt{98}+\sqrt{200}=8\sqrt{2}-7\sqrt{2}+10\sqrt{2}=11\sqrt{2}$$ ，故選(B)。

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解： $$\frac{k}{1}=\frac{1}{k}=\frac{-3}{3}\Rightarrow k=-1$$ ，故選(A)。

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解： $$\begin{cases} x+6y-2=0 \\ 3x+4y-6=0 \end{cases}\Rightarrow x=2,y=0\\ 令該直線方程式為y=mx+b\\ y=mx+b與x-y=0平行\Rightarrow m=1\\ (2,0)經過y=mx+b\Rightarrow 2m+b=0\Rightarrow 2+b=0\Rightarrow b=-2\\ \Rightarrow 直線方程式為y=x-2$$ ，故選(C)。

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解： $$在L_1上任找一點(1,0)，求其至L_2的距離=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$$ ，故選(C)。

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解：

$$\triangle ABC=\overline{BC}\times(A至\overline{BC}距離)\div 2 =\sqrt{6^2+4^2}\times \frac{5}{\sqrt{13}}\div 2 =5$$
，故選(D)。

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解：

圓心至(3,4)的距離就是半徑=5，故選(D)。

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解： $$x^2+y^2-2x+2y+k=0\Rightarrow {(x-1)}^2+{(y+1)}^2=-k+2\Rightarrow 圓心(1,-1)\\ 圓心至直線x-2=0的距離=半徑\Rightarrow 1=-k+2\Rightarrow k=1$$ ，故選(C)。

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解：

$$\overline{DA}=\overline{DC}=2\Rightarrow \triangle ADC 為等腰直角\Rightarrow \angle CAD=45\Rightarrow \angle CAB=180-45=135$$ ，故選(B)。

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解：
$$\frac{4}{-3-a}=\frac{2}{1}\Rightarrow -3-a=2\Rightarrow a=-5\\ \frac{1-3}{3-b}=\frac{2}{1}\Rightarrow 3-b=-1 \Rightarrow b=4$$ ，故選(C)。

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解： $$f(0)=1\Rightarrow c=1\\x=1在頂點\Rightarrow f'(1)=0\Rightarrow 2a+b=0\\f(1)=3\Rightarrow a+b+c=3\Rightarrow a+b=2\\由2a+b=0及a+b=2可求得a=-2,b=4$$
，故選(A)。

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解： $$\sin{B}=\frac{3}{5}\Rightarrow \sin{A}=\frac{4}{5}且\cos{A}=\frac{3}{5}\\ \Rightarrow \frac{\sin{A}}{1+\cos{A}} = \frac{\frac{4}{5}}{1+\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}$$ ，故選(B)。

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解： $$\cos{\left(\frac{-31\pi}{6}\right)}=\cos{\left(6\pi\frac{-31\pi}{6}\right)} =\cos{\left(\frac{5\pi}{6}\right)}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$$ ，故選(A)。

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解： $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi, \sin{\alpha}=\frac{3}{5}\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{-4}{5}\\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}, \tan{\beta}=\frac{12}{5}\Rightarrow \sin{\beta}=\frac{12}{13}, \cos{\beta}=\frac{5}{13}\\ \Rightarrow \sin{\left(\alpha+\beta\right)}=\sin{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\beta}\cos{\alpha}=\frac{3}{5}\times\frac{5}{13}+\frac{12}{13}\times\frac{-4}{5}\\=\frac{15-48}{65}=\frac{-33}{64}$$ ，故選(B)。

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解： $$\tan { \theta  } +\cot { \theta  } =\frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } +\frac { \cos { \theta  }  }{ \sin { \theta  }  } =\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta  } +\cos ^{ 2 }{ \theta  }  }{ \sin { \theta \cos { \theta  }  }  } =\frac { 1 }{ \sin { \theta \cos { \theta  }  }  } =\frac { 18 }{ 7 }$$ ，故選(D)。

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解：

a-b>0 即a>b；又ab<0，因此a>0，b<0。故選(A)。

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解： $$\frac { \pi  }{ 2 } <\theta <\pi 且\sin { \theta  } =\frac { 3 }{ 5 } \Rightarrow \cos { \theta  } =-\frac { 4 }{ 5 } \\ \tan { 2\theta  } =\frac { \sin { 2\theta  }  }{ \cos { 2\theta  }  } =\frac { 2\sin { \theta  } \cos { \theta  }  }{ 2\cos ^{ 2 }{ \theta  } -1 } =\frac { \frac { -24 }{ 25 }  }{ \frac { 32 }{ 25 } -1 } =\frac { -24 }{ 7 }$$ ，故選(A)。

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解：

a=11,b=3，2a-3b=22-9=13，故選(D)。

-- end --